Euler法与改进Euler法

常微分方程数值解法-欧拉法、改进欧拉法和四阶龙格库塔法,常微分方程数值解法,常微分方程主要有:(1)变量可分离的方程(2)一阶线性微分方程(贝努利方程)(3)可降阶的一类高阶方程(4)二阶常系数齐次微分方程(5)二阶常系数非齐次微分方程(6)全微分方程,常微分方程数值解法,主要内容：一、引言二、建立数值解法的常用方法三、Euler方法四、几何意义五、Euler方法的误差估计六、改进欧拉法七、四阶龙格库塔法七、程序设计要求,主要内容,许多实际问题的数学模型是微分方程或微分方程的定解问题,如物体运动,电路震荡,化学反映及生物群体的变化等.能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多,而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程的数值解法,重点,研究一阶常微分方程的初值问题的数值解,假定,常微分方程数值解法,初值问题数值解的提法,常微分方程数值解法,建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散化.,一般采用以下几种方法:,(1)用差商近似导数,(2)用数值积分近似积分,实际上是矩形法,宽,高,常用方法,(3)用Taylor多项式近似并可估计误差,常用方法,用差商近似导数,问题转化为,Euler方法的迭代公式,令,Euler方法,几何意义,五、Euler方法的误差估计,为简化分析，先考虑计算一步所产生的误差，即假设,是精确的，,估计误差,这种误差称为局部截断误差。,估计截断误差的主要方法是Taylor展开法，即将函数,取一次Taylor多项式近似函数，得,得Euler方法的局部截断误差公式为,结论：上式说明Euler公式的局部截断误差为,它的精度很差。,一般很少用它来求近似值，但是Euler法却体现了数值方法的基本思想。,注：Euler方法具有一阶精度，因此它的精度不高。,六,改进的Euler方法,改进的Euler方法,利用数值积分将微分方程离散化得梯形公式:,解决方法：有的可化为显格式，但有的不行,梯形方法为隐式算法,改进的Euler方法,梯形公式比欧拉法精度高一些,但计算量较大,实际计算中只迭代一次，这样建立的预测校正系统称作改进的欧拉公式。,改进的Euler方法,改进的Euler方法,二、改进的Euler法,梯形方法虽然提高了精度，但算法复杂，计算量大。如果实际计算时精度要求不太高，用梯形公式求解时，每步可以迭代一次，由此导出一种新的方法改进Euler法。这种方法实际上就是将Euler公式与梯形公式结合使用：先用Euler公式求,的一个初步近似值,，称为预测值，预测值,的精度可能很差，再用梯形公式校正求得近似值,即,改进Euler法,亦称为由Euler公式和梯形公式得到的预测校正(Predictor-Corrector)系统。,为便于上机编程，常改写成,改进Euler方法计算框图,开始,Y,N,例,解,（1）用Euler方法得算式为,（2）用改进的Euler方法得算式为,七、龙格-库塔法/*Runge-KuttaMethod*/,建立高精度的单步递推格式。,单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，以某一斜率沿直线达到(xi+1,yi+1)点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。,斜率一定取K1K2的平均值吗？,步长一定是一个h吗？,首先希望能确定系数1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在的前提假设下，使得,Step1:将K2在(xi,yi)点作Taylor展开,Step2:将K2代入第1式，得到,Step3:将yi+1与y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较,要求，则必须有：,这里有个未知数，个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。,注意到，就是改进的欧拉法。,Q:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,其中i(i=1,m)，i(i=2,m)和ij(i=2,m;j=1,i1)均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。,最常用为四级4阶经典龙格-库塔法/*ClassicalRunge-KuttaMethod*/：,2Runge-KuttaMethod,由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长h取小。,Runge-Kutta方法的设计思想,设法在xn,xn+1区间内多预报几个点的斜率值，利用这些斜率值，将他们加权平均作为平均斜率的近似，有可能构造出更高精度的计算格式,分别用欧拉法、改进欧拉法、四阶龙格库塔法及Dsolve方法求解并对比.,1,2,解常微分方程的初值问题,用欧拉法求解分别取步长h=0.1和h=0.05。,3,要求取步长h=0.2，计算y(1.2)和y(