二项式定理(测试卷含答案)

学习目标1 .熟练掌握二项式定理的展开式和相关概念.2.用二项式定理解决有关二项式定理的简单问题1 .二项式定理及其相关概念二项式定理式(a b)n=can can-1b can-kbk CBN，称为二项式定理二项式系数c (k=0，1，n )通项tk1=can-kbk (k=0，1，n )二项式定理的特例(1 x)n=C Cx Cx2 Cxk Cxn2 .二项式系数的四个性质(杨辉三角定律)(1)对称性： C=C；(2)性质： C=C C；(3)二项式系数的最大值： n为偶数时，中间的项取最大值，即取最大值的n为奇数时，中间的2项相等，同时取最大值，即最大值(4)二项式系数之和： C C C C C=2n，所使用的方法是代入法类型一二项定理的灵活应用在示例1中，当在方程(1x )至(1y ) 4中将xmyn项的系数表达为f(m，n )时，f (3，0 )至f (2，1 )至f (1，2 )至f (0，3 )=_ _ _ _ _(2)若已知的(1 ax)(1 x)5的展开式中的x2的系数为5，则a=_ _ _ _ _ _ _ _答案(1)120 (2)-1分析(1) f (3，0 ) f (2，1 ) f (1，2 ) f (0，3 )=CC CC CC CC=120。(2)(1 ax)(1 x)5=(1 x)5 ax(1 x)5x 2的系数为C aC10 5a=5，a=-1。反思与自觉二项式积展开式中的特定问题(1)分析各项二元展开式，发现各项特点(2)找出构成展开式中特定项目的构成部分(3)各求乘，相加后即得如果将跟踪训练1 (x )(2x-)5展开式中的各系数之和设为2，则该展开式的常数项为()A.-40 B.-20 C.20 D.40答案d解析指令x=1、(1 a)(2-1)5=2、 a=1因此，(x )(2x-)5展开式中的常数项是(2x-)5的展开式中的x的系数之和.(2x-)5的展开式项为Tk 1=C25-kx5-2k(-1)k5-2k=1，k=2展开式中x的系数为C25-2(-1)2=805-2k=-1，得到k=3展开式中的系数为C25-3(-1)3=-40在(x )(2x-)5的展开式中常数项为80-40=40例2-5的展开式中的常数项是：答案解析方法的一次式=5展开式的通项是=() (k1=0，1，2，5 )。k1=5时，T6=()5=4在0k15的情况下，展开式的通项式为=k2=0、1、2、5-k1。5-k1-2k2=0，即k1 2k2=5.k15且k1Z或常数项为4 CC2 CC()3=4【22222222222222卡卡653方法二原式=5=(x )25=(x )10。求出原式的展开式中的常数项，将(x )10变换为包含展开式中的x5项的系数，即C()5求出的常数项是=.反思和自觉的三项或三项以上的展开问题，应根据公式的特征转化为二项式来解决，转化的方法通常要注意配法、因子分解、项与项的结合、项与项的结合的合理性和简洁性跟踪训练2求出(x2 3x-4)4展开式中的x的系数.解法1 (x23 x-4 )4= (x23 x )-4 4=c (x23 x )4- c (x23 x ) 34 c (x23 x ) 242-c (x23 x ) 43 c 44显然，在上式中，由于第4项中只有包含x项，因此展开式中包含x的项的系数为-C343=-768 .方法2 (x23 x-4 )4= (x-1 ) (x4) 4=(x-1 )4(x4)4=(CX4- CX3CX2- CX c ) (CX4cx34 CX 242 Cx43 c44 )，因此展开式中包含x的项的系数为-C44 C43=-768 .今天是星期一，今天是第一天，第八十天是周()a .一b .二c .三d .四答案a分析求出的第810天是星期几，实质上是810除以7馀，用二项式定理变形求出馀数810=(7 1)10=710 c79 c7 1=7m 1(mn* )所以第八十天相当于第一天所以是星期一一般而言，可以通过检验和理解(1)使用二项式定理来被整除的问题必须以除数(或与除数密切相关联的数)和一定数量的和或差的形式利用二项式定理来展开，并且仅考虑后面的(或前面的)一项和二项(2)解决求馀数问题，必须构建有关主题条件的二项式如果跟踪训练3是aZ并且是0a13，并且512，015 a可以被13整除，则a=_答案1分析712015 a=(52-1 ) 2015 a=c 522015-c 522014 c 522013 -c 521-1 a能被13除尽，是0a13因此-1 a可以被13整除，因此a=1.类型二项式系数的综合应用例4中(2x)n已知(1)展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成为等差数列时，求出展开式中的二项式系数最大的项的系数(2)如果展开式中上位3项的二项式系数之和为79，则求出展开式中系数最大的项.解(1)从已知的2C=C C开始即，如果n2-21n 98=0，则n=7或n=14 .n=7时，展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项T4=C()4(2x)3=x3，T5=C()3(2x)4=70x4第四项系数是第五项的系数是70当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是第8项，其系数是C()727=3 432 .(C C C=79，即从n2 n-156=0开始得到n=-13 (截断)或n=12。将Tk 1项系数设为最大(2x)12=()12(1 4x)12由解是9.4k10.40kn，kN*，k=10展开式中系数最大的项是第11项即，T11=()12C410x10=16 896x10 .反思和自觉为了解决这些问题，首先区分二项式系数和二项式展开式项系数，然后理解其性质，最后总结解决这些问题的方法，特别注意阵列组合的计算问题。跟踪训练4知道n展开式中二项式系数之和比(2x xlg x)2n展开式中的奇数项的二项式系数之和少112，第二展开式中的二项式系数最大的项的值为1 120，求出x .问题意义上2n-22n-1=-112(2n-16)(2n 14)=0，n=4第2个展开式中二项式系数最大的项是第5项题意为C(2x)4(xlg x)4=1 120x4(1 lg x)=1x=1或4(1 lg x)=0求得的x的值为1或在x(1 x)6的展开式中，包含x3项的系数为()A.30 B.20C.15 D.10答案c在分析中，(1 x)6的展开式的第(k 1)项为Tk 1=Cxk，x(1 x)6的展开式中包含x3的项为Cx3=15x3，因此系数为15 .2.3的展开式中常数项为()A.-8 B.-12 C.-20 D.20答案c解析3=6展开式的公式将tk 1=c(-1)kx6-2k.6-2k=0求解为k=3展开式常数项为-C=-203.n为正奇数时，7n C7n-1 C7n-2 C7除以9的馀数为()A.0 B.2 C.7 D.8答案c解析式=(7-1) n-c=8n-1=(9-1) n-1=9n-c9n-1 c9n-2 -c9(-1 ) n-1 (-1 ) n-1.n为正奇数，因此(-1)n-1=-2=-9 7，馀数为7 .4 .如果已知的第五展开方程中包括的项的系数是30，则a等于()A. B.- C.6 D.-6答案d解析5的展开式通项Tk 1=C(-1)kak=(-1)kakC、-k=，k=122222222222222222222222226525.(x-m)8=a0 a1x a2x2 a8x8，但是a5=56时，a0 a2 a4 a6 a8=_答案128从已知条件得出a5=c (-m )3=-56 m3=56，8756； m=-1是a0 a2 a4 a6 a8=128。1 .两项展开式积展开式中的特定问题(1)分析各项二元展开式，发现各项特点(2)找出构成展开式中特定项目的构成部分(3)各求乘，相加后即得2 .三项或三项以上的推广问题根据公式特点，应改为二项式解决(一些题目可改为计数问题解决)，转换方法通常是处方、素因数分解、项和项的结合，在项和项结合时应注意合理性和简洁性。3 .为了处理能被二项式定理整除的问题，通常，底可以以除数(或与除数密切相关联的数)和一定数量的和或差的形式在二项式定理中展开，并且仅考虑后面的(或前面的)一项和二项4 .求二项展开式中各系数的和差：代入5 .确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质课堂作业一、选择问题一旦已知C 2C 22C 2nC=729，则C C C的值等于()A.64 B.32 C.63 D.31答案b分析从已知条件得到(1 2)n=3n=729，求解n=6.C C C=C C C=322 .二项式6的展开式中不包含x3项的系数之和为()A.20 B.24 C.30 D.36答案a分析二项式展开公式的通项公式Tk 1=C(-1)kx12-3k12-3k=3，解k=3展开式中x3项的系数为C(-1)3=-20所有系数之和为0，而不包括x3项的系数之和为203 .在(1x )6(2y ) 4的展开方程式中，包含x4y3项的系数为()A.210 B.120 C.80 D.60答案b分析是在(1 x)6(2 y)4展开式中，包含x4y3的项是Cx4C2y3=120x4y3.包含x4y3项的系数为1204 .在(1x ) n (n为正整数)的二项展开式中，若设奇数项之和为a、偶数项之和为b，则(1-x2)n的值为()A.0 B.ABC.A2-B2 D.A2 B2答案cn=a b，(1-x)n=A-B，22222222222222222222222222222265.9192除以100馀数为()A.1 B.81 C.-81 D.992答案b分析利用了9192=(100-9)92的展开式，或者利用了(90 1)92的展开式。方法1 (100-9 ) 92=c 10092-c 100919 c 1009092 - c 100991 c 992展开式的前92项必须全部除以100，只有最后一项必须除以100馀992=(10-1)92=c1092- c02-c1000 1前面的91项全部被100除尽，后面的2项和-919，因式为正，可以从前面的数字中分离出1 000，结果为1 000-919=812222222222222222222222方法2(90 1)92=c9092 c9091 c902 c90 c前91个项目全部被100整除，其馀2个项目为9290 1=8 281，显然8 281除以100馀数为816 .设m为正整数，其中(x y)2m展开方程式的最大系数为a，并且(x y)2m 1展开方程式的最大系数为b，并且如果13a=7b，则m等于()A.5 B.6 C.7 D.8答案b将(x y)2m展开式中的二项式系数的最大值解析为ca=c .同样，b=C .2222222000星际旅行6222222222222222卡卡卡卡卡6537.(x2 x y)5的展开表达式中，x5y2的系数为()A.10 B.20 C.30 D.60答案c分析易懂的Tk 1=C(x2 x)5-kyk设k=2，则T3=C(x2 x)3y2对于二项式(x2 x)3，Tt 1=C(x2)3-txt=Cx6-t由于t=1，因此x5y2系数为CC=30 .二、填空问题8 .已知的(a-x)5=a0 a1x a2x2 a5x5，如果a2=80则为a0 a1 a2 a5=_答案1分析(a-x)5的展开式的通项式为Tk 1=(-1)ka5-kCxk如果k=2，则a2=a3C=80知道a=2设二元展开式的x=115=1=a0 a1 a59 .在(a b ) n的二项式展开式中，如果奇数项的二项式系数之和为128，则二项式系数的最大值为_答案70解析从问题意识中解出2n-1=128、n=8展开式为n 1=8 1=9项中间项的二项式系数最大，因此，展开式中系数最大的项是第5项，最大值是C=70 .10.(1.05)6的计算结果到0.01的近似值为止正确的是_答案1.34分析(1. 05 )6=(10.05 )6=c c0. 05 c0. 052 c0. 053=10.30.0370. 0021. 3411