二项式定理在解竞赛题中的应用

作者介绍：王阳，男性，1959.11生。陕西西安市，深圳市刘在中学数学首席教师，中国数学奥运会首席教练。二项式定理在解决竞争问题中的应用陕西省西安市中学王洋二项式定理的结构复杂，多年来在高考试题中没有显示出足够的知识地位，但是数学竞赛命题处理具有此定分的二项式定理的试题又经常使参与学生变得很挑剔。这里介绍应用二项式定理解决几个问题的方法。1.解决一些整数问题(1)构造对偶，使用二项式定理判断整数问题例1当时的整数部分是奇数还是偶数？证明你的结论。1980年迎春花数学竞赛分析：可以用整数和纯小数的和来表示，所以要判断整数的奇偶性，请考虑相应的共轭根，及其和是偶数，即整数部分是奇数，因此可以通过研究对偶和的和来开始。证明：首先，我们确定的整数部分是奇数。事实上，因为，而且因此，的整数部分是奇数。(2)用二项式定理构造处理定理问题的双重性范例2 .大于考试证的最小整数可以被整除(n(第6届新生数学竞赛)分析：考虑两者的和。证明：结合二项式定理是：较大的最小正整数将为2k。可以通过二项式定理知道。即，命题得到证明。注：这个问题也可以通过数学推导来证明。(3)二项式构成，递归证明范例3 .设置为非负整数，验证：可以分享。解析：联想到两个展开的结构，构成a的二项式，并尝试分离整数。证明：有二项式定理。要证明原来的问题，只要证明是整数就行了。但是很容易知道，从数学角度归纳的话，都是整数。(n=2k 1)。注：递归方法和归纳方法是解决这个问题的高招。范例4 .整数序列定义如下：(1) (2)证明：仅存在时。(第29届IMO选项)分析：前面的例子通过用二项式构成递归，证明成功完成了，这个问题提出了递归，对是否转前一个例子的思考是值得思考的。证明：条件(1)，(2)已知，设置后面括号里的一个项目是1，剩下的项目是两个共轭根型的和是2的倍数，所以后面括号里的数字的和是奇数事实上，命令要求(应用二项式定理)也就是说，所以也就是说。2.证明不等式范例5 .证明：对于任意正整数n，不等式成立。(第21届苏联数学竞赛)证明：通过二项式定理所以这个问题被证明了。范例6 .有所有nn的考试证明。，即可从workspace页面中移除物件。(1988年，全国高中数学联赛)分析：这个问题一般使用数学推导，但二项式定理的合理应用也是解决这个问题的好方法。证词1:证明的不平等的左边直接适用二项式定理证词2；转换后应用二项式定理。顺序，组合注：认证法2的替代和适用是适当的。值得一提。结合其他知识解决几个综合问题。一些复杂的问题看起来与二项式定理无关，但实际上，通过观察、分离问题的目的特征、联想构建合适的二项式模型，可以迅速解决问题。范例7 .序列，证明：包含无限多的完全平方。(第30个IMO词典主题)。分析：示例4的证明过程可以用的形式表示展开方程，因此只需要考虑的整数性质。证明：将m(称为二项式定理)设置为总数。:两个表达式相乘(1)2(1)的两边相乘3记住的总平方数。这证明了这个问题的结论。注：配置不等式(3)是成功解决此问题的关键。范例8 .数列定义如下：(n1，n是大于5的小数时的证明：(第29届IMO选项)分析：在联想到实例4的结构的这个问题中，递归公式求出了二项式模型，为运用数论知识开辟了道路。证明：命令(1)(2)(1)和(2)易于发布因为我注意到n是大于5的小数，已知(3)所以，这几个步骤应用了费马的小定理还有。注：费马小定理在解决整数问题中的工具作用不可低估，而转换数列是推广新数列的一般项目二项式模型是解决问题的关键。范例9 .系列，满足是参数，设置为给定小数，并查找满足以下两个条件的a的最小值：(1) p是小数。(2) p是小数，p(表示p不是整数)。(第23届IMO备选方案)解决方案：由主题条件知道如果你知道p是小数，通过二项式定理，P=2时。因此，设置(1)，(2)的先决条件是a满足的所有小数p的乘积。练习题1.在的展开模式中，用I记住它的整数部分，用F写下它的小数部分，证明：(F I)F是常量。非负整数n的证明：3.设定，作证：4.证明：数列中的每个项目都是整数，要求把其中的所有项目都除以3。5.证明系列中的每个项目都是自然数，当n为偶数或奇数时，每个项目都有形式。(1978年，捷克斯洛伐克数学竞赛)参考答案1.而且，2.=2=根据示例2，只是卡(*)而且也就是说，(*)成立。A=b的结论显然是成立的。只要证明Ab，结论就成立，这时原来的结论是，命令这时候，4.另外，可以很容易地看出，序列的前8个项目除以3的馀数，对于，这个序列中的所有项目都是0，(k，n)，也就是说，只有在。5.设置、时间和，以下是通过归纳证明