广东广州仲元中学高二数学上学期期中文

广东省广州市仲元中学2018-2019学年高二上期中考试文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，那么“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题得：，则成立，而且 ，所以前后互推都成立，故选C2. 某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为()A. 9B. 18C. 27D. 36【答案】B【解析】试题分析：根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，x+2x+160=430，x=90，即由比例可得该单位老年职工共有90人，在抽取的样本中有青年职工32人，每个个体被抽到的概率是用分层抽样的比例应抽取90=18人故选B考点：分层抽样点评：本题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过3.已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知，因为，所以，即，所以椭圆离心率为，故选C.点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.4.执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】该程序框图表示的是分段函数，输出的由得，由，得，输入的或，故选D.5.设非空集合满足，则（）A. ，有B. ，有C. ，使得D. ，使得【答案】B【解析】【分析】根据交集运算结果判定集合关系，再结合Venn图判断元素与集合的关系即可【详解】解：，A错误；B正确；C错误；D错误故选：B【点睛】本题考查命题真假的判断，考查子集的关系，属于基础题型.6.甲、乙两名同学次数学测验成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的平均数，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的标准差，则有A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论【详解】由茎叶图可知，甲的成绩分别为：78，79，84，85，85，86，91，92.乙成绩分别为：77，78，83，85，85，87，92，93.，；，故选B.【点睛】本题考查了茎叶图、平均数与方差的应用问题，是基础题.众数即出现次数最多的数据，中位数即最中间的数据，平均数即将所有数据加到一起，除以数据个数，方差是用来体现数据的离散程度的.7.已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），的线性回归方程为，则的值为（ ）A. -3B. -5C. -2D. -1【答案】A【解析】【分析】利用平均数公式计算样本中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可得结论.【详解】由题意知，样本中心点的坐标为，线性回归方程为，解得，故选A.【点睛】本题主要考查回归方程的性质，属于简单题. 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.8.已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由已知，即，所以，所以渐近线方程为，故选D考点：双曲线的几何性质9.7名学生中有且只有3名同学会说外语，从中任意选取2人，则这2人都会说外语的概率为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件总数，这2人都会说外语包含的基本事件个数，由此能求出这2人都会说外语的概率【详解】解：7名学生中有且只有3名同学会说外语，从中任意选取2人，基本事件总数，这2人都会说外语包含的基本事件个数，则这2人都会说外语的概率为故选：D【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型,考查运算求解能力，是基础题10.已知椭圆C：的离心率为，直线l与椭圆C交于两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】由椭圆的离心率可得的关系，得到椭圆方程为，设出的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l的斜率【详解】解：由，得，则椭圆方程为，设，则，把A，B的坐标代入椭圆方程得：，-得：，直线l的斜率为故选：C【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，是中档题11.（2011湖北）若实数a，b满足a0，b0，且ab=0，则称a与b互补，记（a，b）=ab那么（a，b）=0是a与b互补的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由（a，b）0得ab且；所以（a，b）0是a与b互补的充分条件；再由a与b互补得到：，且0；从而有，所以（a，b）0是a与b互补的必要条件；故得（a，b）0是a与b互补的充要条件；故选考点：充要条件的判定12.椭圆的左焦点为为上顶点，为长轴上任意一点，且在原点的右侧，若的外接圆圆心为，且，椭圆离心率的范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：设,外接圆的方程为,则,解之得,所以,由题设可得:,即,也即,因,故，即,也即,故,应选A考点：椭圆的标准方程和圆的标准方程【易错点晴】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求圆的一般方程的问题解答问题的关键是如何求出三角形的外接圆的圆心坐标,求解时充分借助题设条件将圆的方程设成一般形式,这是简化本题求解过程的一个重要措施,如果将其设为圆的标准形式,势必会将问题的求解带入繁杂的运算之中解答本题的另一个问题是如何建立关于的不等式问题,解答时也是充分利用题设中的有效信息,进行合理的推理判断,最终将问题化为的不等式的求解问题,注意到整个过程都没有将表示为的表达式,这也是简化本题求解过程的一大特点二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知点，动点满足，若，则_【答案】3【解析】【分析】由于动点满足，可知动点在椭圆上，利用椭圆的定义转化求解即可【详解】解：由于点，动点满足，即，即，因此P的轨迹是椭圆，且，因为，故答案为：3【点睛】本题考查了两点间的距离公式、椭圆的定义，是基本知识的考查14.已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则该双曲线的标准方程为_【答案】【解析】【分析】根据题意，双曲线一条渐近线方程为，可设双曲线方程为，又由双曲线过点，将点P的坐标代入可得的值，进而可得答案【详解】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，可设双曲线方程为，双曲线过点，即所求双曲线方程为，故答案为：【点睛】本题考查双曲线的标准方程的求法，需要学生熟练掌握已知渐近线方程时，如何设出双曲线的标准方程15.若“”是“函数的图象不过第三象限”的充要条件，则实数 _【答案】【解析】【分析】根据指数函数的性质，求出m的范围，结合充要条件的定义进行求解即可【详解】解：函数的图象不过第三象限，则，即，若”是“函数的图象不过第三象限”的充要条件，则，故答案为：【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合指数函数的性质求出m的范围是解决本题的关键16.设分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为，则的最大值为_【答案】15【解析】试题分析：，此时点P为直线与椭圆的交点，故填15考点：本题考查了椭圆定义点评：利用椭圆定义转化为求解距离差最值问题，然后借助对称性转化，根据两点之间线段最短进行求解，其过程简便.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.命题；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆若命题p与q至少有一个是假命题，求实数a的取值范围【答案】或【解析】【分析】先分别求出命题、q为真命题时，a的取值范围；再求出命题p与q都是真命题时，实数a的取值范围，进而可得出命题p与q至少有一个是假命题时，实数a的取值范围.【详解】解：若命题为真命题，当时，不等式恒成立，当时，要使恒成立则得，即，综上，即；若命题q为真命题，则方程表示焦点在y轴上的椭圆则得，即，即，若p与q至少有一个是假命题，则当同时为真命题时，则，得，则p与q至少有一个是假命题，对应或，即实数a的取值范围是或【点睛】本题主要考查由复合命题的真假求参数的问题，熟记复合命题真假的判定即可，属于基础题型.18.已知双曲线C：的一条渐近线倾斜角为，过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点，设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且（1）求双曲线C的离心率；（2）求双曲线C的方程【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根据双曲线的一条渐近线倾斜角为，得到，进而即可求出结果；（2）先由题意作出图像，得到双曲线的一条渐近线，作，求出；再由点到直线距离公式求出，进而即可求出结果.【详解】解：（1）双曲线C： 的一条渐近线倾斜角为，即，双曲线C的离心率（2）由题意可得图象如图，是双曲线的一条渐近线，即，作，所以是梯形；因为F是的中点，所以，又，所以由点到直线距离公式可得，则双曲线的方程为：【点睛】本题主要考查双曲线的离心率与方程，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.19.某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.（1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动.（i）共有多少种不同的抽取方法？（ii）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.【答案】（）210；（）（）12；（）【解析】试题分析：（）本问考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，由茎叶图可知，月均课外阅读时间不低于30小时的学生人数为7人，所占比例为 ，因此该校900人中的“读书迷”的人数为人；（）（）本问考查古典概型基本事件空间，设抽取的男“读书迷”为，抽取的女“读书迷”为， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，于是可以列出基本事件空间；（）根据题意可知，符合条件的基本事件为，于是可以求出概率.试题解析：（）设该校900名学生中“读书迷”有人，则，解得.所以该校900名学生中“读书迷”约有210人. （）（）设抽取的男“读书迷”为，抽取的女“读书迷”为， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，则从7名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各1人的所有基本事件为：，所以共有12种不同抽取方法 （）设A表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过2小时”，则事件A包含，6个基本事件， 所以所求概率 20.一台机器的使用年限（年）和所支出的维修费用（万元）有如下统计数据：已知与之间有线性相关关系.（）求关于的回归方程；（）估计使用年限为年时，维修费用约是多少?参考公式：线性回归方程中斜率和截距公式分别为： ，.【答案】（I）；（II）万元.【解析】【分析】（）求出对应的系数，求出回归方程即可；（）代入x的值，求出对应的函数值即可【详解】解:（）, , ,故线性回归方程为.（）当时,故估计使用年限为年时，维修费用约是万元.【点睛】本题主要考查线性回归方程.求回归直线方程的步骤：依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；计算的值；计算回归系数；写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.21.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.（1）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求的值；（3）在满足（2）的条件下，估计1月份该市居民用户平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：1）根据电价的分档情况，可以写出分段函数，当时，；当时，当时，；（2）由（1）可知：当时，则，根据频率分布直方图可知，解出；（3）分别求出各组中值点的电价，并求其概率（频率），再求平均值试题解析：（1）当时，；当时，当时，所以与之间的函数解析式为：；（2）由（1）可知：当时，则，结合频率分布直方图可知：，；（3）由题意可知可取50，150，250，350，450，550当时，当时，当时，当时，当时，当时，故的概率分布列为：257514022031041001020302015005所