广东深圳实验学校高中部高二数学上学期期中

深圳实验学校高中部2019-2020学年度第一学期期中考试高二数学试题时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。1抛物线的焦点坐标是ABCD2若，构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是A，B，C，D，3方程表示的曲线是A一个点B一条直线C两条直线D双曲线4如图1，在平行六面体中，与的交点为设，则下列向量中与相等的向量是ABCD5椭圆与椭圆（）的 图1A长轴长相等B短轴长相等C离心率相等D焦距相等6设平面与平面的夹角为，若平面，的法向量分别为和，则ABCD7与圆及圆都外切的圆的圆心在A圆上B椭圆上C抛物线上D双曲线的一支上8以，为顶点的三角形是A等边三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰直角三角形9已知点在抛物线上，点在直线上，则的最小值是ABCD10在直三棱柱中，分别是，的中点，则与所成角的余弦值是ABCD11已知双曲线（，）的离心率，若，是双曲线上任意三点，且，关于坐标原点对称，则直线，的斜率之积为ABCD12已知空间直角坐标系中，是单位球内一定点，是球面上任意三点，且向量，两两垂直，若（注：以表示点的坐标），则动点的轨迹是A为球心，为半径的球面B为球心，为半径的球面C为球心，为半径的球面D为球心，为半径的球面二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13双曲线上一点与它的一个焦点间的距离等于1，那么点与另一个焦点间的距离等于 14，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是 15图2为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 （注：重力加速度取，精确到） 图216已知椭圆，一组平行直线的斜率是，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知空间三点，（1）求以，为邻边的平行四边形的面积；（2）若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标18（本小题满分12分）设抛物线（）上的点与焦点的距离为，到轴的距离为（1）求抛物线的方程和点的坐标；（2）若点位于第一象限，直线与抛物线相交于，两点，求证：19（本小题满分12分）如图3，在三棱锥中，是的重心（三条中线的交点），是空间任意一点（1）用向量，表示，并证明你的结论；（2）设，请写出点在的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）图320（本小题满分12分）已知动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是定值（其中，）（1）求动点的轨迹方程；（2）当，变化时，指出（1）中轨迹方程表示的曲线形状21（本小题满分12分）如图4，四边形为梯形，四边形为矩形，平面平面，为的中点（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小图422（本小题满分12分）已知直线：经过椭圆：（）右焦点，且与椭圆相交于，两点，为的中点，的斜率为（为坐标原点）（1）求椭圆的方程；（2）若直线与圆：（）相切，且圆的动切线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值深圳实验学校高中部2019-2020学年度第一学期期中考试高二数学试题参考答案与评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。题号123456789101112答案DCCADBDDBABB12解：选择B由得，即又，两两垂直，所以是以，为三条相邻棱的长方体中与顶点相对的顶点由，得（*）又，所以，同理，三式相加，得，代入（*）式，得，即（定值）所以，动点的轨迹是以为球心，为半径的球面注：本题也可以采用排除法分别考虑与重合和点在球面上两种极端情形，研究即得答案二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13 17 14 15 1.41（N） 16注：1、第15小题中，无单位（N）不扣分；（2）第16小题中，未注明不给分三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知空间三点，（1）求以，为邻边的平行四边形的面积；（2）若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标解：（1）由已知，1分所以，；2分3分故以，为邻边的平行四边形的面积等于5分（2）设，由已知，得6分7分 8分所以，向量或 10分18（本小题满分12分）设抛物线（）上的点与焦点的距离为，到轴的距离为（1）求抛物线的方程和点的坐标；（2）若点位于第一象限，直线与抛物线相交于，两点，求证：解：（1）由抛物线的定义知，点到准线的距离为，1分即有2分解之，得， 3分所以，抛物线的方程为， 4分点的坐标为或 6分证明：（2）联立直线与抛物线的方程，7分解之，得或，即，或，10分又，所以故12分注：1、点，的坐标只需写出一组；2、也可以利用根与系数的关系证明（略）19（本小题满分12分）如图3，在三棱锥中，是的重心（三条中线的交点），是空间任意一点（1）用向量，表示，并证明你的结论；（2）设，请写出点在的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）解：（1）2分证明如下： 4分 6分 7分 图3（2）设，则点在的内部（不包括边界）的充分必要条件是：，9分且，12分20（本小题满分12分）已知动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是定值（其中，）（1）求动点的轨迹方程；（2）当，变化时，指出（1）中轨迹方程表示的曲线形状解：（1）设，由已知，得2分所以，两边平方，得， 化简，得动点的轨迹方程为5分（2）因为，所以当时，（1）中轨迹方程化为，它表示的曲线是直线轴；7分当时，（1）中轨迹方程化为，它表示中心在原点，焦点在轴上，长半轴长为，短半轴长为的椭圆；9分当时，（1）中轨迹方程化为，它表示中心在原点，焦点在轴上，实半轴长为，虚半轴长为的双曲线 12分21（本小题满分12分）如图4，四边形为梯形，四边形为矩形，平面平面，为的中点（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小证明：（1）（法1）连结与相交于，连结1分因为四边形为矩形，所以为中点 图4又为的中点，所以，在中，3分平面5分（法2）因为四边形为矩形，且为的中点，所以1分3分从而与，是共面向量又平面，所以平面5分解：（2）因为四边形为矩形，所以又平面平面，平面，平面平面，所以平面7分而，所以，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图5 图5设，由已知，得，设平面的一个法向量为，则，且，所以，且，即，取，得，即同理，可求得平面的一个法向量为 10分所以，平面与平面的夹角为 12分22（本小题满分12分）已知直线：经过椭圆：（）右焦点，且与椭圆相交于，两点，为的中点，的斜率为（为坐标原点）（1）求椭圆的方程；（2）若直线与圆：（）相切，且圆的动切线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值解：（1）设，则，两式相减并整理，得，即所以 2分又直线：与轴的交点为，由已知，得3分联立，解得，所以，椭圆的方程为