广东惠州高三数学第二次调研考试理

惠州市2018届高三第二次调研考试理科数学全卷满分150分，时间120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（1）若(为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点在（ ）(A)第一象限(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限（2）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） (A) (B) (C) (D)（3）设为三条不同的直线，为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ）若，则与相交； 若则；若|，|，则； 若|，则|.(A)1 (B)2 (C)3 (D)4（4）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）(A) (B) (C) (D)（5）设随机变量服从正态分布，若，则实数等于（ ） (A)7 (B)6 (C)5 (D)4（6）周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（ ）(A) (B) (C) (D) （7）已知等差数列的前项和为，且，则数列的前10项和为（ ）(A) (B) (C) (D)（8）旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为（ ）(A)24 (B)18 (C)16 (D)10（9）已知，为双曲线的左右顶点，点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为，则双曲线的离心率为（ ）(A) (B) (C) (D)（10）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则最大值为()(A) (B) (C) (D)（11）函数部分图像如图所示，且，对不同的，若，有，则（ ） (A)在上是减函数 (B)在上是增函数 (C)在上是减函数 (D)在上是增函数（12）函数是定义在上的奇函数, 当时, ，则函数在上的所有零点之和为（ ） (A)8 (B) (C) (D)0二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（13）已知，且，则 _（14）某班共有56人，学号依次为1,2,3,56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2，30，44的同学在样本中，则还有一位同学的学号应为_（15）已知数列满足，则数列的通项公式为 （16）在四边形中，已知，与的夹角为，且，则_三解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。（17）（本小题满分12分）已知中，角的对边分别为，.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.（19）（本小题满分12分）某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，背诵结果只有“正确”和“错误”两种。其中某班级背诵正确的概率为，背诵错误的概率为，现记“该班级完成首背诵后总得分为”.（1）求且的概率；（2）记，求的分布列及数学期望.（20）（本小题满分12分）已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足，.（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点,是坐标原点，且时，求的取值范围.（21）（本小题满分12分）已知函数，（1）若函数的图象在处的切线与轴平行，求的值；（2）若，恒成立，求的取值范围（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线（为参数）和定点，、是此曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线的极坐标方程；（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围. 惠州市2018届高三第二次调研考试理科数学参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案ADCCBBBDDCBA1【解析】由题意知，其对应点的坐标为，在第一象限2【解析】集合，由可得，.3【解析】错，正确.4【解析】“不等式在上恒成立”即，同时要满足“必要不充分”，在选项中只有“”符合.5【解析】由随机变量服从正态分布可得对称轴为，又，与关于对称，即.6【解析】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的，转化为十进制数的计算为7【解析】由及等差数列通项公式得，又，8【解析】第1种：甲在最后一个体验，则有种方法；第2种：甲不在最后体验，则有 种方法，所以小明共有.9【解析】设双曲线方程为，不妨设点M在第一象限，所以，作轴于点，则，故，所以，将点代入双曲线方程，得，所以.10【解析】依题意，题中的几何体是三棱锥PABC(如图所示)，其中底面ABC是直角三角形，面ABC，因此，当且仅当，即时取等号，因此xy的最大值是64.11【解析】由题意，又，有，即，且，即，解得，单调递增.解得.所以选项B符合.12【解析】令，所以求的零点之和和的交点横坐标之和，分别作出时，和图象，如图 由于和都关于原点对称，因此的零点之和为0，而当时，即两函数刚好有1个交点，而当时的图象都在的上方，因此零点之和为8.二填空题：本题共4小题，每小题5分。13 14. 16 15. 16. 213【解析】；，由且可得.14【解析】由题意得，需要从56人中分成4组，每组的第2位学号为抽出的同学，所以有.15【解析】由两边同除可得，又，成以为首，公差为的等差数列，.16【解析】，又，代入式子可得三解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.解：（1）， 由正弦定理可得 2分，即又，即. 6分（2）由余弦定理可得， 9分 又，的面积为.12分18.解：（1）取中点，连接、，四边形是边长为的菱形，是等边三角形， 2分， 4分，平面平面，平面平面 5分（2），由（1）知，平面平面，平面，直线两两垂直以为原点建立空间直角坐标系，如图，则 6分设平面的法向量为，由，得，取，得， 8分设平面的法向量为，由，得，取，得， 10分，由图可知二面角为锐二面角，二面角的的余弦值为 12分 19.解：（）当时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首；由可得：若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对2首，此时的概率为：；4分（）的取值为10，30，50，又， ， 6分 ， 8分 10分3050的分布列为： 12分 20.解：（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以 所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，2分， 3分故点的轨迹方程是 4分 （2）设直线，直线与圆相切联立 6分 7分 8分 9分 10分所以为所求. 12分21.解：（1），的图象在处的切线与轴平行，即在处的切线的斜率为0，即， 4分（2）f(x)2(exxa)，又令h(x)2(exxa)，则h(x)2(ex1)0，h(x)在0，)上单调递增，且h(0)2(a1) 5分当a1时，f(x)0恒成立，即函数f(x)在0，)上单调递增，从而必须满足f(0)5a20，解得a，又a1，1a. 8分当a0，使h(x0)0且x(0，x0)时，h(x)0，即f(x)0，即f(x)0，即f(x)单调递增f(x)minf(x0)2ex0(x0a)230，又h(x0)2(ex0x0a)0，从而2 ex0(ex0)230, 解得0x0ln 3.由ex0x0aax0ex0，令M(x)xex，0xln 3，则M(x)1ex0，M(x)在(0，ln 3上单调递减，则M(x)M(ln 3)ln 33，又M(x)M(0)1，故ln 33a1. 11分综上，ln 33a. 12分（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。（22）解：（1）曲线C：可化为，其轨迹为椭圆，焦点为和 2分经过和的直线方程为，即，4分极坐标