广东珠海高三数学学业质量检测 理

理科数学题参考答案 第 1 页 共 9 页 2 3 43 2 4 正视图侧视图 俯视图（第5题图） 珠海市珠海市 2013-20142013-2014 学年度第二学期高三学生学业质量监测学年度第二学期高三学生学业质量监测 理科数学试题及参考答案理科数学试题及参考答案 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，满分满分 4040 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符只有一项是符 合题目要求的合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项请在答题卡上填涂相应选项. .BADACDCBBADACDCB 1.已知集合0,1,2,3A ，集合2BxN x，则AB （） A3B0,1,2C 2 , 1D012 3， ， ， 2.设复数 1 1zi ， 2 2()zxi xR，若 12 zzR，则x （） A2B1C1D2 3.某校高考数学成绩近似地服从正态分布 2 (100,5 )N，且(110)0.98p，则(90100)p的值 为（）A0.49B0.52C0.51D0.48 4.通过随机询问 100 名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表： 男女总计 爱好104050 不爱好203050 总计3070100 由 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 算得 2 2 100 (10 3020 40) 4.762 50 50 30 70 K 参照右上附表，得到的正确结论是（） A在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关” B在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关” C有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关” D有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关” 5. 右上图是一个几何体的三视图， 由图中数据可知该几何体中最长棱的长度是 （） A 6B2 5C5D13 6. 执行如右图所示的程序框图，则输出的y=（） A 1 2 B1C1D2 2 ()P Kk0.100.050.025 k2.7063.84150.24 2y 开 始 结 束 1i 2014 ?i y输出 1ii 是 否 （第6题图） 1 1 y y 理科数学题参考答案 第 2 页 共 9 页 AB C DE （第12题图） 7.变量xy、满足线性约束条件 320 2 1 xy yx yx ， 则目标函数zkxy仅在点(0, 2)取得最小值， 则k的 取值范围是（） A3k B1k C31k D11k 8.设函数)(xfy 在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数 ( ),( ) ( ) ,( ) P f xf xP fx Pf xP ，则称 函数)(xfP为)(xf的 “P界函数” .若给定函数12)( 2 xxxf，2P ， 则下列结论不成立的是 （） A)0()0( PP ffffB)1 ()1 ( PP ffff C)2()2( PP ffffD)3()3( PP ffff 二二、填空题填空题：本大题共本大题共 7 7 小题小题，考生做答考生做答 6 6 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，满分满分 3030 分分其中其中第第 14141515 题是选做题题是选做题， 考生只能选做一题考生只能选做一题，两题全答的两题全答的，只计算前一题得分只计算前一题得分请将答案填在答题卡相应位置请将答案填在答题卡相应位置. . 9.已知数列 n a是等差数列，且 2 3a ， 6 11a ，则 n a的公差d为2 10.曲线 3 ( ) x f xe在点(0,1)处的切线方程为31yx 11.在区间 3 0, 2 上的余弦曲线cosyx与坐标轴围成的面积为3 12.已知菱形ABCD的边长为a， 0 60DAB，2ECDE ，则AE DB 的 值为 2 3 a 13.有一个半径为4的圆，现在将一枚半径为1的硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况， 则 硬币完全落入圆内的概率为 9 25 14 （坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为(2,) 2 ，半径为 2，直线 (0,) 2 R 被圆C 截得的弦长为2 3， 则的值等于 3 15 （几何证明选讲选做题几何证明选讲选做题）如图，CD是圆O的切线，切点为C，点B在圆O上， 2 3BC ， 0 60BCD，则圆O的面积为_4 （第15题图） C D B O 理科数学题参考答案 第 3 页 共 9 页 11 10 12 甲班 9 （第17题图） 乙班 2 5 4 4 2 2 1 3 3 3 三三、解答解答题题: :本本大大题共题共 6 6 小题小题，满分满分 8080 分分解答须写出文字说明解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤证明过程和演算步骤。 16.（本小题满分 12 分） 已知函数( )sin2 coscos2 sinf xxx，Rx，0， 3 () 42 f （1）求( )f x的表达式； （2）若 5 () 2313 f ，(,) 2 ，求cos的值 解： （1）由 3 () 42 f ，可得 3 sincoscossin 222 ，所以 3 cos 2 ， 3 分 又0， 5 6 5 分 555 ( )sin2 coscos2 sinsin(2) 666 f xxxx 6 分 （2）由 5 () 2313 f 可得 55 sin2() 23613 ，化简得 5 sin() 613 8 分 (,) 2 ， 27 (,) 636 ， 12 cos() 613 10 分 5 12 3 coscos()cos()cossin()sin 66666626 12 分 17. （本小题满分 12 分） 为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分） ，从甲、乙两个班 级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本， 如图是样本的茎叶图.规定： 成绩不低 于120分时为优秀成绩. （1） 从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据， 求其中只有一个优秀成绩 的概率； （2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数 为，求的分布列和数学期望E. 解： （1）设事件 A 表示“从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，其中只有一个优秀成绩” ，则： 1 2 2312 ( ) 5525 PCA4 分 理科数学题参考答案 第 4 页 共 9 页 （2）的所有可能取值为0,1,2,35 分 22 34 22 55 189 (0) 10050 CC P CC ，6 分 21112 34324 22 55 +4812 (1), 10025 CCCCC P CC 7 分 11122 32424 22 55 +303 (2)= 10010 CCCCC P CC ，8 分 211 214 22 55 41 (3)= 10025 CCC P CC ，9 分 的分布列为 10 分 的数学期望为 912316 0123 502510255 E 12 分 18. （本小题满分 14 分） 在右图的几何体中，/ABCDEFG面面， 0 120BACEDG ，四边形ABED是矩形，四边 形ADGC是直角梯形， 0 90ADG，四边形DEFG是梯形，/EFDG，1ABACADEF， 2DG （1）求证：FGADF面； （2）求二面角FGCD的余弦值 解： （1）连接DF，AF，作DG的中点H，连接EH /EFDH，1EFDHED， 四边形DEFH是菱形， EHDF2 分 又/EFHG，EFHG 四边形EFGH是平行四边形， 0123 P 9 50 12 25 3 10 25 1 （第 18 题） 理科数学题参考答案 第 5 页 共 9 页 A C B E D G F M O 第 18 题图 /FGEH FGDF4 分 由已知条件可知ADDG，ADED，所以ADEDGF面，所以ADFG 又 FGAD FGDF ADADF DFADF ADDFD 面 面 ，所以FGADF 面6 分 （2）过F作FODG于O，过O作OMCG于M，连接FM FODG，FOAD，FOADGC面，FOCG 又CGOM，FOCG，GCFOM面，CGMF FMO就是二面角FGCD的平面 角10 分 根据平面几何知识，可求得 3 2 FO ， 3 2 4 OM ， 30 4 FM 在直角三角形FMO中， 3 2 15 4 cos 530 4 OM FMO FM 13 分 二面角FGCD的余弦值为 15 5 14 分 19.（本小题满分 14 分） 设数列 n a的前 n 项和为 n S，数列 n S的前 n 项和为 n T，且满足nST nn 3 2 3 ， * Nn （1）求 1 a的值； （2）求数列 n a的通项公式； （3）记 2 )2( 2 n n n a a b， * Nn，求证：1 21 n bbb 解： （1）当 n=1 时，3 2 3 11 ST，因为 111 aST，所以3 2 3 11 aa，解得6 1 a2 分 （2）当2n时， ) 1(3 2 3 3 2 3 11 nSnSTTS nnnnn =3 2 3 2 3 1 nn SS 理科数学题参考答案 第 6 页 共 9 页 所以3 2 3 nn aS4 分 所以3 2 3 11 nn aS 由-得： 1 3 nn aa5 分 所以数列 n a是以 6 为首项，3 为公比的等比数列 所以 -1 6 32 3 nn n a 7 分 （3）当1n时，1 4 3 1 b8 分 当时2n 2 )2( 2 n n n a a b 22 ) 13( 3 )232( 34 n n n n ) 13)(13( 3 )33)(13( 3 1 1 nn n nn n 9 分 ) 13 1 13 1 ( 2 1 1 nn 10 分 所以) 13 1 3 1 ( 2 1 ) 13 1 13 1 ( 2 1 ) 13 1 13 1 ( 2 1 13221 121 nn n bbbb12 分 31111 ()=1-1 42 3 1312 31 nn （） 14 分 20.（本小题满分 14 分） 已知抛物线 2 :C xy，直线l与抛物线C交于A、B不同两点，且(6)OAOBp ， （1）求抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）设直线m为线段AB的中垂线，请判断直线m是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是， 请 说明理由； （3）记点A、B在x轴上的射影分别为 1 A、 1 B，记曲线E是以 11 AB为直径的圆，当直线l与曲线E 的相离时，求p的取值范围 解： （1）抛物线的焦点坐标为) 4 1 , 0(， 1 分 准线方程为： 4 1 y2 分 (2)设 2 () AA A xx，、 2 () BB B xx，A、B是不同的两点， AB xx且l不与x轴垂直 (6)OAOBp ， 22 6 ABAB xxpxx， AB中点的坐标为(3) 2 p ， 理科数学题参考答案 第 7 页 共 9 页 22 AB lABAB AB xx kkxxp xx 3 分 讨论：当0p 时，直线m的斜率 11 m AB k kp 直线m的方程为： 1 3() 2 p yx p ，即 17 2 yx p 4 分 令0 x 得 7 2 y ；即直线m恒过定点 7 (0)， 2 当0p 时，直线m的方程为：0 x ，也过点 7 (0)， 2 ； 5 分 故m恒过定点 7 (0)， 2 6 分 (3)由第(2)问可设直线AB的方程为：3() 2 p yp x，即 2 3 2 p ypx 联立 2 2 3 2 p ypx xy ，消去y得 2 2 30 2 p xpx 所以 2 2 12 2 12 4(3)0 2 3 2 p p xxp p xx 即 2 12 2 12 12 3 2 p xxp p xx 8 分 所以 2 222 11121212 ()44(3)12 2 p ABxxxxxxpp 所以以 11 AB为直径的圆的方程为 2 222 12 ()() 22 pp xy 10分 当直线l与曲线E相离时，圆心到直线l的距离dr，即 2 2 22 3 2212 2 ( 1) pp p p p 所以 2 2 123 2 1 p p ，即 22 6121pp，即 22 36(12)(1)pp 所以 42 11240pp， 即 22 (3) (8)0pp， 所以 2 8p 或 2 3p 12 分 理科数学题参考答案 第 8 页 共 9 页 又 2 12p ，且 2 0p 所以 2 03p或 2 812p 即30p，或03p，或2232p，或2 22 3p13 分 )32 ,22()22, 32()3, 3(p 所以当直线l与曲线E相离时， p的范围为)32 ,22()22, 32()3, 3(14 分 21. （本小题满分 14 分） 已知函数Raaxxaxf, 2 1 ln) 1()( 2 （1）当 1 = 3 a时，求( )f x得最大值； （2）讨论函数( )f x的单调性； （3）如果对任意 121212 (0,),()()4xxf xf xxx，恒成立，求实数a的取值范围 解： （1）当 1 = 3 a时， 2 211 ( )ln 332 f xxx， 2 22222(1)(1) ( ), 3333 xxx fxx xxx 2 分 所以( )f x的增区间为(0,1)，减区间为(1,)， 3 分 所以 1 ( )(1) 6 max fxf4 分 （2）对函数 2 1 ( )(1)ln, 2 f xaxax定义域为(0,)， 求导得： 2 121 ( )2, aaxa fxax xx 5 分 下面对参数a进行讨论如下： 当0a 时，( )0,fx 故( )f x在(0,)上单调递增； 6 分 当1a 时，( )0,fx 故( )f x在(0,)上单调递减； 7 分 当10a 时，令( )0,fx 解得 1, 2 a x a 则当 1 (0,),( )0; 2 a xfx a 当 1 (,),( )0; 2 a xfx a 理科数学题参考答案 第 9 页 共 9 页 故( )f x在 1 (0,) 2 a x a 上单调递增；在 1 (,) 2 a x a 上单调递减； 8 分 （3）不妨设 12 0 xx； 当0a 时，( )0,fx 故( )f x在(0,)上单调递增；即 2211 ()4()4f xxf xx恒成立； 构