一般函数无穷积分的收敛判别法_第1页
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文档简介

2无穷积分的性质及收敛判别,一、无穷积分的性质,本节讨论了无穷积分的性质,并用这些性,质得到无穷积分的收敛判别法.,二、非负函数无穷积分的收敛判别法,三、一般函数无穷积分的收敛判别法,收敛的充要条件是,一、无穷积分的性质,证,极限的柯西准则,此等价于,性质1,任意常数,则,即,根据反常积分定义,容易导出以下性质1和性质2.,性质2,h(x)在任意a,u上可积,且,证因为,收敛,由柯西准则的必要性,再由柯西准则的充分性,二、非负函数无穷积分的收敛判别法,上的非负函数f在任何,收敛的充要条件是:,定理11.3(非负函数无穷积分的比较判别法),在上的两个非负函数f,g在任何有限区,增函数的收敛判别准则,间a,u上可积,且存在满足,设定义,证,由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.,证,推论1设非负函数f和g在任何a,u上可积,且,由于,证,即,推论2设f是定义在上的非负函数,在任何,限区间a,u上可积.,推论3设f是定义在上的非负函数,在任何有,说明:推论3是推论2的极限形式，读者应不难写,出它的证明.,解(i),无穷积分,以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.,三、一般函数无穷积分的判别法,若f在任何,有限区间a,u上可积,定理11.4(绝对收敛的无穷积分必收敛),证,因此,再由柯西准则的充分性,又对任意,一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判,定理11.5(狄利克雷判别法）,证,故,别法和阿贝尔判别法判别其收敛性.,使得,因此,由柯西准则，,定理11.6(阿贝尔判别法),证证法1,由g的单调性,用积分第二中值定理，任意的,使得,由柯西准则,证法2,由狄利克雷判别法,解,对收敛.,收敛,所以,由狄利克雷判别法知,另一方面，,狄利克雷判,别法条件，是收敛的；,类似
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