清华大学物理实验A1三线摆和扭摆实验报告

三线摆和扭摆物理实验报告 - 1 - 清华大学 三线摆和扭摆试验 物理实验完整报告 班级姓名学号 结稿日期： 三线摆和扭摆物理实验报告 - 2 - 三线摆和扭摆实验三线摆和扭摆实验 一、实验目的一、实验目的 1.加深对转动惯量概念和平行轴定理等的理解； 2.了解用三线摆和扭摆测量转动惯量的原理和方法； 3.学习电子天平、 游标高度尺和多功能数字测量仪等仪器的使用， 掌握测量质量和周期等 量的测量方法。 二、实验装置和原理二、实验装置和原理 1.三线摆： 如图一，上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。横梁由立柱和底座支承着，三根对称 分布的等长悬线将两个圆盘相连。 上圆盘可以固定不动。 拧动旋钮就可以使得下圆盘绕中心 轴 OO作扭摆运动。当下圆盘的摆角很小且忽略空气阻力和悬线扭力影响时，可推出下圆 盘绕中心轴OO的转动惯量为： 2 0 00 2 4 m gRr JT H 其中， 0 m是下圆盘质量，g取 2 9.80m s，r为上圆盘半径，R为下圆盘半径，H为 平衡时上下圆盘的垂直距离， 0 T为下圆盘摆动周期。 图 1 三线摆示意图 将质量为m的待测刚体放在下圆盘上，并使它的质心位于中心轴OO上，测出此时的 摆动周期 T 和上下圆盘之间的垂直距离 1 H， 三线摆和扭摆物理实验报告 - 3 - 则待测刚体和下圆盘对于中心轴OO的总转动惯量 1 J为： 02 1 2 1 4 mm gRr JT H 且待测刚体对于中心轴OO的转动惯量 10 JJJ。 利用三线摆可以验证平行轴定理。 平行轴定理指出： 如果一个刚体对于通过质心的某一 转轴的转动惯量为 c J，则这个刚体对平行于该轴且相距为 d 的另一转轴的转动惯量为： 2 xc JJmd 式中，m为刚体的质量。 图 2 三个孔均匀分布 在本实验中，将三个等大的钢球对称分布在下圆盘的三个均匀分布的孔（如图 2）上， 测出三个球对于中心轴 OO的转动惯量 x J。如果测得的 x J的值与由 2 xc JJmd右式计 算得到的结果比较相对误差在测量允许的范围内 0 0 5，则平行轴定理得到验证。 本实验中，用于测量基本物理量的仪器还有：电子天平，游标高度尺，配有光电接收装 置的多功能数字测量仪。 2.扭摆： 实验中使用的扭摆结构如右图（图 3） ，根据刚体转动定理有： 0 MJ 其中，M 是悬线因扭转产生的弹性恢复力矩， 0 J为刚体对于悬线轴的转动惯量， 为 角加速度。弹性恢复力矩 M 与转角的关系为： MK 三线摆和扭摆物理实验报告 - 4 - 图 3 三爪盘扭摆 其中，K 为扭转模量，它与悬线长度 L，悬线直径 d 及悬线材料的切变模量 G 有如下关系： 4 32 Gd K L 扭摆运动的微分方程为： 0 K J 可见，圆盘作简谐运动，其周期为： 0 0 2 J T K 本实验中 K 未知，所以用一个对质心轴转动惯量为 1 J的附加物体加到盘上，并使其质 心位于扭摆悬线上，组成复合体。此复合体对于悬线轴的转动惯量为 10 JJ，复合体的摆 动周期 T 为： 10 2 JJ T K 因此得到： 2 0 01 22 0 T JJ TT 2 1 22 0 4 KJ TT 测出 0 TT和后就可以计算盘的转动惯量 0 J和悬线的切变模量 G。 本实验中利用两个直径不同的金属环， 将其嵌套在三爪盘的台阶上。 圆环对与悬线的转 动惯量 1 J由下式计算： 三线摆和扭摆物理实验报告 - 5 - 22 1 112 8 m JDD 式中 1 m是圆环质量， 12 DD和分别为圆环的内外直径。 三、数据记录三、数据记录 1、测量仪器基本参数 （1）三线摆基本参数： 物理量测量或给出值不确定度相对不确定度 上圆盘半径 r mm 14.62 0.02 r 3 0.02 1.367989056 10 14.62 r r 下圆盘半径 R mm 34.19 0.02 R 4 0.02 5.849663644 10 34.19 R R 下圆盘质量 0( ) m g 75.10 0 0.05 m 0 4 0 0.05 6.657789614 10 75.10 m m 上圆盘高度 1 Hmm 523.32 下圆盘高度 2 Hmm 86.80 上下圆盘之 间的垂直距 离()H mm 12 523.3286.80 436.52 HHH mmmm mm 20.02 0.02828427125 H 5 0.02828427125 6.479490344 10 436.52 H H （2）钢球参数： 直径： 次数123456平均 大球直径 1 D mm 30.0029.9829.9429.9429.9629.9829.87666667 小球直径 2 Dmm 19.7619.7219.7219.7219.7619.7419.73666667 质量： 大球质量 1 Mg 110.69 小球质量 2 Mg 123平均 31.8631.8431.8531.85 2. 三线摆实验 三线摆和扭摆物理实验报告 - 6 - （1）估算周期数 0 n 取 n=6 ， 粗 略 测 量 0 T。 测 得 6 0 T=8.2980s ， 所 以 0 T=1.3830s 。 又 由 公 式 00 000 22 1 , 3 tTm rRH max TnTrRmH 仪 得， 00 0 2 , 3 t m rRH max n T rRmH 仪 。 又由比较得， 0 0 , m rRHr max rRmHr ，且10 t ms 仪 ，所以代入数据可以求得， 31.71366595n ，故取 0 32n 。 （2）三线摆周期测量： 空摆 0 32n ， 0 523.3286.80436.52HHmmmmmm， 0 75.10mg 次数123456平均 0 1.457109375Ts 00/ n Ts 46.87046.38546.63046.54746.93646.39746.6275 加大球 0 32n ， 1 523.3285.78437.54Hmmmmmm， 1 110.69Mg 次数123456平均 1 1.026817708Ts 0 1/ n Ts 32.84032.82932.82832.56233.04533.04532.85816667 对称加三个小球 0 32n ， 2 523.3285.90437.42Hmmmmmm， 2 31.85Mg 每个小球到中心轴 OO距离为 1 21.91Rmm 次数123456平均 2 1.387734375Ts 02/ n Ts 44.40544.41044.31244.43544.38244.50144.4075 3.扭摆实验 （1）钢丝参数测量： 直径 次数123456平均 钢丝直径0.5100.5090.5120.5080.5060.508 0.508833333dmm 三线摆和扭摆物理实验报告 - 7 - d mm 零点 0 dmm 测量前测量后 0 -0.005333333dmm -0.005-0.006-0.006-0.004-0.006-0.005 钢丝直径为 0 0.508833333- -0.0053333330.514166666dddmmmmmm 钢丝长度 钢丝上端高度： 1 519.02Lmm；钢丝下端高度： 2 195.50Lmm；钢丝长度为： 12 519.02195.50323.52LLLmmmmmm （2）大环和小环参数测量： 质量： 大环质量 1 99.50mg，小环质量 2 60.32mg。 内外径： 内径（mm）平均外径(mm)平均 大环72.2072.2072.20 1 72.20dmm 内 83.9883.9883.98 1 83.98dmm 外 小环63.9863.9463.96 2 63.96dmm 内 71.5871.5671.54 2 71.56dmm 外 （3）扭摆周期测量： 20n 钢丝直径0.514166666dmm钢丝长度323.52Lmm 空摆 次数123456平均 0 1.021475Ts 0/ nTs 21.07620.30520.30920.29120.30620.29020.4295 加大环 次数123456平均 1 2.116391667Ts 1/ nTs 42.33742.31642.32142.33242.32842.33342.32783333 加小环 次数123456平均 2 1.611133333Ts 2/ nTs 32.21932.25332.22832.18632.19832.25232.22266667 三线摆和扭摆物理实验报告 - 8 - 四、数据处理四、数据处理 1.用三线摆测定下圆盘对于中心轴用三线摆测定下圆盘对于中心轴 OO的转动惯量：的转动惯量： 由 00 000 22 1 , 3 tTm rRH max TnTrRmH 仪 ， 可知 0 3 4 10 10 3.125 10 32 t T s s n 仪 下圆盘对于中心轴 OO的转动惯量 2 0 00 2 -3-3-3 2 2-3 52 4 75.10 109.80 34.19 1014.62 10 1.457109375 4436.52 10 4.532448809 10 m gRr JT H kg m 相对不确定度： 000 22 222 000 2 2222 4 3 2 + 0.050.020.022 3.125 100.02828427125 + 75.1034.1914.621.457109375436.52 1.686719264 101.7 10 JmT RrH JmRrTH 3 0 0 -358282 0 0 1.686719264 104.532448809 107.644968721 10810 J J Jkg mkg m J 82 0 4532810Jkg m 大钢球和下圆盘对于质心轴的转动惯量： 012 11 2 1 -3-3-3 2 2-3 52 4 75.10 110.69109.80 34.19 1014.62 10 1.026817708 4437.54 10 5.555256089 10 mMgRr JT H kg m 相对不确定度： 三线摆和扭摆物理实验报告 - 9 - 01 111 2 22 22 10111 2 2222 4 2 + 0.050.020.022 3.125 100.02828427125 + 75.10 110.6934.1914.621.026817708437.54 1.6311 mMJTH Rr JmMRrTH 3 56639 10 1 1 358272 1 1 1.631156639 105.555256089 109.061492851 10110 J J Jkg mkg m J 72 1 556 110Jkg m 2.大钢球对其自身中心轴的转动惯量大钢球对其自身中心轴的转动惯量 J大为 为： 5552 10 5.555256089 104.532448809 101.02280728 10JJJkg m 大 10 2222 88 772 +7.644968721 10+ 9.061492851 10 =1.185563998 101.2 10 JJJ kg m 大 72 102.3 1.210Jkg m 大 大钢球对其自身中心轴的转动惯量的理论值 22 3362 1 1 2229.87666667 110.69 10109.880357774 10 5252 t D JMkg m 大 则测得的大钢球对其自身中心轴的转动惯量与计算得的理论值的相对误差为： 56 00 00 1 6 1.02280728 109.880357774 10 3.5192554153.6%5 9.880357774 10 t t JJ J 大大 大 = 3.用三线摆验证平行轴定理：用三线摆验证平行轴定理： 三个小钢球和下圆盘对于中心轴 OO的转动惯量为： 022 22 2 2 -3-3-3 2 2-3 52 3 4 75.103 31.85109.80 34.19 1014.62 10 1.387734375 4437.42 10 9.322516508 10 mMgRr JT H kg m 相对不确定度： 三线摆和扭摆物理实验报告 - 10 - 02 222 2 22 22 3 20222 2 2222 4 2 0.050.020.022 3.125 100.02828427125 75.103 31.8534.1914.621.387734375437.42 1.58 mMJTH Rr JmMRrTH 3 3175719 10 2 2 35772 2 2 1.583175719 109.322516508 101.475918178 101 .5 10 J J Jkg m J 72 2 932.2 1.510Jkg m 三个小钢球对于中心轴 OO的转动惯量为： 5552 20 9.322516508 104.532448809 104.790067699 10JJJkg m 小 20 2222 78 772 +1.475918178 10+ 7.644968721 10 =1.662164232 101.7 10 JJJ kg m 小 72 479.0 1.710Jkg m 小 则其中一个小球对于中心轴 OO的转动惯量为： 5 52 4.790067699 10 1.596689233 10 33 J Jkg m 小 小0 0 772 =1.662164232 101.7 10 JJ kg m 小小 72 0 159.7 1.710Jkg m 小 （） 而小球相对于过自身的轴的转动惯量为： 22 336 2 2 2219.73666667 31.85 10101.240672196 10 5252 c D JM 而 2 2-3-352 21 31.85 1021.91 101.528953199 10M Rkg m ， 所以，假设平行轴定理成立，一个小球对于中心轴 OO的转动惯量的理论值为： 26552 21 1.240672196 101.528953199 101.653020418 10 c JM Rkg m 则一个小球对于中心轴 OO的转动惯量的测量相对误差为： 2 55 21 00 00 2 25 21 1.653020418 101.596689233 10 3.4077730915 1.653020418 10 c c JM RJ JM R 小0 在测量误差允许范围内。因此通过实验验证得出结论：平行轴定理成立。 三线摆和扭摆物理实验报告 - 11 - 4.用扭摆测定三爪盘的转动惯量和切变模量：用扭摆测定三爪盘的转动惯量和切变模量： 由 2 0 01 22 0 22 1 112 8 T JJ TT m JDD 知， （1）加大环时，大环对悬线的转动惯量为： 22 1 111 3 22 33 42 8 99.50 10 72.20 1083.98 10 8 1.525519125 10 m Jdd kg m 外内 11 2 22 11 222 3 0.050.020.02 75.103 31.8534.1914.62 1.516386217 10 Jm Rr JmRr 1 1 34772 1 1 1.516386217 101.525519125 102.313276175 102 .3 10 J J Jkg m J 52 1 1525.52.310Jkg m （） 则测出的三爪盘的转动惯量为： 22 4 0 011 2222 10 52 1.021475 1.525519125 10 2.1163916671.021475 4.632949732 10 T JJ TT kg m 22 10 01 22 10 22 10 10 2222 10 22 01 222222 101010 22 22 1010 22 10 22 44 2.1163916671.0214753.435702513 22 22 2 2.116391667 3.125 102 1.021475 3.125 10 1. TT TT TT TT TT TT TT TTTTTT TTTT TT 332 4687583306 101.5 10s 三线摆和扭摆物理实验报告 - 12 - 22 10 0101 2 22 22 010101 222 437 4 3 2 2 3.125 101.4687583306 102.313276175 10 1.0214753.4357025131.525519125 10 1.690134704 10 TT JTJ JTTTJ 01 01 3582 01 01 =1.690134704 104.632949732 10 =7.83030912410 J J Jkg m J 82 01 4632.97.810Jkg m 又因为 24 1 22 0 4 32 Gd KJ TTL ，所以切变模量 11 224 10 3 4 4 223 1012 128 128323.52 10 1.525519125 10 2.1163916671.0214750.514166666 10 8.265086644 10 L GJ TTd kg ms 22 1011 1 2 2 22 11 22 1110 2 2 735 2 422 2.313276175 101.4687583306 100.0282842712510 () 1.525519125 102.1163916671.0214750.323520.00051416 TTGJ dL G GG GJTTLd 2 10 10 9 912 1 6666 8.265086644 10 0.089578 8.265086644 10 8 10 (82.7 8) 10Gkg ms （2）加小环时，小环对悬线的转动惯量为： 22 1 2 3 22 33 52 8 60.32 10 63.96 1071.56 10 8 6.945633261 10 m Jdd kg m 2外2内 则测出的三爪盘的转动惯量为： 三线摆和扭摆物理实验报告 - 13 - 22 552 0 022 2222 20 1.021475 6.945633261 104.668535228 10 1.6111333331.021475 T JJkg m TT 又因为 24 1 22 0 4 32 Gd KJ TTL ，所以切变模量 22 224 20 3 5 4 223 1012 128 128323.52 10 6.945633261 10 1.6111333331.0214750.514166666 10 8.328570433 10 L GJ TTd kg ms 在本实验中，约定小环测出的值作为理论值，以此计算大环测出的值的相对误差。 三爪盘的转动惯量的相对误差为： 55 0201 00 00 3 5 02 -4.668535228 104.632949732 10 0.76224113695 4.668535228 10 JJ J 悬线的切变模量的相对误差为： 1010 21 00 00 4 10 2 8.328570433 108.265086644 10 0.7625035255 8.328570433 10 GG G 因此，本实验方法及测量值是合理的。 四、思考题四、思考题 1.三线摆在摆动过程中受空气阻尼，振幅会越来越小，周期是否会随时间变化？三线摆在摆动过程中受空气阻尼，振幅会越来越小，周期是否会随时间变化？ 答：振幅反映出谐振的强度，周期反映的是谐振的频率，这是两个意义不同的物理量。 阻尼振动的周期 22 0 2 T ，阻尼系数是常数，所以周期不随时间而变化。 2.在三线摆下圆盘上加上待测物体后的摆动周期是否一定比不加时的周期大？在三线摆下圆盘上加上待测物体后的摆动周期是否一定比不加时的周期大？ 答：不一定。由 2 0 00 2 4 m gRr JT H 和 02 0 2 4 mm gRr JJT H 可知， 00 000 mJJT Tmm J 。 而由于 00 00 11 JJm Jmm ，故无法得出 0 T T 大于 1 还是小于 1.所以在三线摆下圆盘上加 上待测物体后的摆动周期不一定比不加时的周期大。 三线摆和扭摆物理实验报