广东阳东广雅学校高中数学下学期2.5平面向量应用举例教案新人教A必修4

2.5.1平面几何中的向量方法学习目标1.运用向量的有关知识解决平面几何和解析几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题.2.会用平面向量知识解决几何问题的两种方法向量法和坐标法.3.通过本节的学习,体验向量在解决几何问题中的工具作用,培养创新精神. 合作学习一、设计问题,创设情境问题1:若O为ABC重心,则= .问题2:水渠横断面是四边形ABCD,且|=|,则这个四边形为.二、信息交流,揭示规律问题3:(1)向量运算与几何中的结论“若a=b,则|a|=|b|,且a,b所在直线平行或重合”相类比,你有什么体会?(2)由学生举出几个具有线性运算的几何实例.三、运用规律,解决问题【例1】证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.已知:平行四边形ABCD.求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.用向量方法解决平面几何问题,主要有以下三个步骤:(1);(2);(3).【例2】如图,平行四边形ABCD中,点E,F分别是AD,DC边的中点,BE,BF分别与AC交于R,T两点,你能发现AR,RT,TC之间的关系吗?四、变式演练,深化提高练习:在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上作引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?编题不只是教师的专利.请自己编题,并且加以解决.五、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了什么思想方法?你还有其他什么收获?布置作业课本P113习题2.5A组第1,2题.一、设计问题,创设情境问题1:=0问题2:等腰梯形二、信息交流,揭示规律问题3:平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来,例如,向量数量积对应着几何中的长度.如图,平行四边行ABCD中,设=a,=b,则=a+b(平移),=a-b,=b2=|AD|2(长度).向量的夹角为DAB.因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.三、运用规律,解决问题【例1】证明:不妨设=a,=b,则=a+b,=a-b,|2=|a|2,|2=|b|2.得|2=(a+b)(a+b)=aa+ ab+ba+bb=|a|2+2ab+|b|2.同理|2=|a|2-2ab+|b|2.+得|2+|2=2(|a|2+|b|2)=2(|2+|2).所以,平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.用向量方法解决平面几何问题,主要有以下三个步骤:(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.【例2】解:设=a,=b,则=a+b.由与共线,因此,存在实数m,使得=m(a+b).又由共线,因此存在实数n,使得=n=n(b- a).由+n,得m(a+b)=a+n(b-a).整理得(m+n-1)a+(m-n)b=0.由于向量a,b不共线,所以有解得所以.同理.于是.所以AR=RT=TC.四、变式演练,深化提高练习:解:不妨设|F1|=|F2|,由向量加法的平行四边形法则以及直角三角形,可以得到|F1|=.通过上面的式子我们发现,当由0180逐渐变大时,由090逐渐变大,cos的值由大逐渐变小,因此,|F1|由小逐渐变大,即F1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.2.5.2向量在物理中的应用举例学习目标1.通过力的合成与分解、速度的合成与分解模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量概念和运算的认识.2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力,体会数学在现实生活中的作用.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:你掌握了物理中的哪些矢量?二、信息交流,揭示规律问题2:两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么?用向量研究物理问题的步骤:三、运用规律,解决问题【例题】如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|v1|=10km/h,水流速度|v2|=2km/h,问行驶航程最短时,所用时间是多少(精确到0.1min)?四、变式演练,深化提高让学生每人各编一个关于平面向量运算的题目,然后由同位算出答案.(若课上时间不够,可转为课后作业)五、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?布置作业课本P113习题2.5第A组第3,4题;B组第2题.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:力、位移、速度、加速度等.二、信息交流,揭示规律问题2:夹角越大,合力越小问题转化,即把物理问题转化为数学问题;建立模型,即建立以向量为载体的数学模型;求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等;回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.三、运用规律,解决问题【例1】解:|v|=(km/h),所以t=603.1(min).答:行驶航程最短时,所用时间是3.1min.五、反思小结,观点提炼1.利用向量解决物理问题的基本步骤:问题转化,即把物理问题转化为数学问题;建立模型,即建立以向量为载体的数