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数列不等式证明技巧遂宁市第七中学郑廷楷例1.已知，求证(-1)a1 +(-1)2a2+(-1)nan1证明：先证0，（*）当n=1时02，当n=1时（*）式成立假设当n=k时（*）式成立，即0，则当n=k+1时，0，设=注意，1因此当n为偶数时：(-1)a1 +(-1)2a2+(-1)nan3n+2=因为故有3，即当n=1 时，综上当n2 时原式成立。例5已知，对任意实数满足：(1)当时求的表达式；(2)若，求；(3)求证：当时解：（1）令，得令得，故，当时=(2)故（3）证明：当或2时易证当时例6已知函数在上是增函数。求实数的取值集合(2)当中取A中最小值时，定义数列满足：且，为常数，试比较的大小(3)在(2)的条件下，问是否存在正实数使对一切恒成立？解：(1) 对恒成立故，即，集合(2) 集合中的最小值是3当时，下面用数学归纳法先证明，假设于是 由数学归纳法原理得当时总成立于是由得，(3) 由(2)知，递增于是，即，因此取，对对一切恒成立。例7已知数列满足,且,求证：（1）（2）（3）是递增数列.证明：（1），由于，于是，假设，用上面的方法可得由数学归纳法原理得（2），设，于是，由（1）知，函数在上是递增， 由得，故得，于是，假设，用上面的方法可得由数学归纳法原理得恒成立，故恒成立（3）（由（2）所以，递增，于是递增例8用数学归纳法证明证明：（1）当n=3时成立，（自已验证）（2）假设当，即当时因此当当时时原式也成立综上，当时，原式总成立例9已知三个正数成等差数列，公差不为零，用数学归纳法证明：证明：因为三个正数成等差数列，所以（1）当n=2时，因为公差不为零，所以，所以，于是当n=2时原式成立（2）假设当时原式成立，即当时因此于是当n=k+1时原式成立综上，当时，原式总成立。例10求证： (n6，)证明：（1）设由于当时，因此，因，故当时即，故（2）设，当时，因，故当时，即，故综上，原不等式得证。例11已知抛物线上的两点，在该抛物线上找一点，使，找一点，使，找一点，使，依次下去，得到抛线上一系列点，记(1)写出与的关系（2）求证（3）求证（4）求证递增证明：（1）因故，因在抛物线，故故，(2)用数学归纳法由得，假设，则，于是，由数学归纳法原理得（3）设，则由（1）知，函数在上是递增， 由得，故得，于是假设，用上
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