19872014年考研数学试题答案及评分参考1997

郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1997 年数学试题参考解答及评分标准 1997 年 第 1 页 1997 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准 数数 学（试卷一）学（试卷一） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 2 3 )1ln()cos1( 1 cossin3 lim 2 0 xx x xx x . (2) 设幂级数 0n n nx a 的收敛半径为 3,则幂级数 1 1 ) 1( n n n xna 收敛区间为2,4. (3) 螺线 e在点 2 ,(,) 2 e 处的切线的直角坐标方程为 2 eyx. (4) 设BtA, 113 34 221 为三阶非零矩阵，且ABO，则3t . (5) 袋中有 50 个乒乓球， 其中 20 个是黄球， 30 个是白球， 今有两人依随机从袋中各取一球， 取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 2 5 . 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 二元函数 )0 , 0(),(, 0 0 , 0),(, ),( 22 yx yx yx xy yxf 在点 ( 0, 0 ) 处 (C) (A) 连续, 偏导数存在. (B) 连续, 偏导数不存在. (C) 不连续, 偏导数存在. (D) 不连续, 偏导数不存在. (2) 设在 , a b上0)(, 0)(, 0)( xfxfxf，令 1 ( ) b a Sf x dx， 2 ( )()Sf b ba, 3 1 ( ) ( )() 2 Sf af bba， 则 （B） (A) 321 SSS (B) 312 SSS (C) 213 SSS (D) 132 SSS (3) 设 F(x) = 2 sin sin x t x etdt , 则 F(x) （A） （A）为正常数 （B）为负常数 （C）恒为零 （D）不为常数 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1997 年数学试题参考解答及评分标准 1997 年 第 2 页 (4) 设 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 , c c c b b b a a a ，则三条直线 111222 0,0a x b yca x b yc, 333 0a x b yc（其中 22 0,1,2,3 ii abi） 交于一点的充要条件是 (D) (A) 3, 2, 1 线性相关 (B) 3, 2, 1 线性无关 (C) 秩 r( 3, 2, 1 )=r( 21, )秩 (D) 3, 2, 1 线性相关, , 2, 1 线性无关. (5) 设两个相互独立的随机变量X和Y方差分别为4和2,则随机变量YX23的方差是 (D) (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44 三、三、(本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 15 分分) (1) 计算dVyxI 22 ,其中为平面曲线 0 2 2 x zy 饶z轴旋转一周形成曲面与平 面8z所围成的区域. 解一：解一： 2 248 2 00 2 r Idrdrr dz 3 分 2 4 3 0 1024 2(8) 23 r rdr . 5 分 解二：解二： 22 8 22 0 2 () xyz Idzxydxdy 822 2 000 z dzdrrdr 3 分 1024 3 . 5 分 (2) 计算曲线积分 C dzyxdyzxdxyz)()()(,其中C是曲线 2 1 22 zyx yx ,从z 轴正向往z轴负向看, C的方向是顺时针的. 解一：解一：令cos ,sinxy，则22cos sin .zxy 2 分 于是()()() C Izy dxxz dyxy dz 0 2 2(sincos )2cos21()d 0 2 2( cossin )sin22 . 5 分 解二：解二： 设S是平面 2xyz上以 C 为边界的有限部分.其法向量与z轴正向的夹 角为钝角. xy D为S在 XOY 平面上的投影区域. 记)()()Fzy ixjkzxy ，则rotF i jk xyz zyxzxy 2k . 2 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1997 年数学试题参考解答及评分标准 1997 年 第 3 页 利用斯托克斯公式知()222 xy CSSD rotdSF dlFdxdydxdy . 5 分 (3) 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为 N，在0t时刻已掌握新技术人数为 0 x，在任意时刻t已掌握新技术的人数为)(tx（将 )(tx视为连续可微变量） ，其变化与已掌握新技术人数未掌握新技术人数之积成正比，比 例常数0k，求)(tx. 解：解：由题设，有 00 () |x dx kx Nx dt xx 2 分 由方程，得 () dx kdt x Nx ，积分后，得 1 kNt kNt Nce x ce ，其中C为任意常数. 4 分 代入初始条件，得 0 00 kNt kNt Nx e x Nxx e . 5 分 四、四、(本题共本题共 2 小题，小题，第一第一小题小题 6 分，分，第二小题第二小题 7 分，分，满分满分 13 分分) (1) 设直线 03 0 : zayx byx l在平面上， 而平面与曲面 22 yxz相切于点5 , 2, 1, 求ba,之值. 解：解：在点(1, 2,5)处曲面的法向量(2, 4, 1)n ，于是切平面方程为 2(1)4(2)(5)0 xyz，即2450 xyz. （*） 3 分 由 0 : 30 xyb L xayz ，即,3()yxb zxaxb ，代入方程（*） ，得 244350 xxbxaxab .因而有50,420abab. 由此解得5,2ab . 6 分 (2) 设函数)(uf具有二阶连续导数,而)sin(yefz x 满足方程 ze y z x z x2 2 2 2 2 ， 求)(uf. 解：解：( )sin ,( )cos xx zz f u eyf u ey xy . 2 分 2 22 2 ( )sin( )sin xx z f u eyfu ey x ， 2 22 2 ( )sin( )cos xx z f u eyfu ey y ，4 分 代入原方程，得( )( )0fuf u. 由此解得 1212 ( )( uu f uCeC eC C 其中,为任意常数）. 7 分 五、五、(本题满分本题满分 6 分分) 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1997 年数学试题参考解答及评分标准 1997 年 第 4 页 设)(xf连续， 1 00 )( lim,)()(A x xf dtxtfx x 且(A 为常数)， 求)(x并讨论)(x在 0x处的连续性. 解：解：由题设，知(0)0, (0)0f. 令uxt，得 0 ( ) ( )(0) x f u du xx x ， 1 分 从而 0 2 ( )( ) ( )(0) x xf xf u du xx x . 3 分 由导数定义有 0 2 00 ( ) ( ) (0)limlim 22 x xx f u du f xA xx . 4 分 由于 0 2 00 ( )( ) lim( )lim x xx xf xf u du x x 0 2 00 ( ) ( ) limlim x xx f u du f x xx (0) 22 AA A. 从而知( )0 xx在处连续. 6 分 六、六、(本题满分本题满分 8 分分) 设 11 11 2,(),(1,2,) 2 nn n aaan a ，证明： (1) n n a lim存在； (2) 级数 1 1 1 n n n a a 收敛. 证证：(1) 因 1 111 1 2 nnn nn aaa aa . 2 分 2 1 111 0 22 n nnnn nn a aaaa aa .故 n a递减且有下界，所以lim n n a 存在. 4 分 (2) 由（1）知 1 1 11 01 nnn nn nn aaa aa aa . 6 分 记 111 1 () n nkkn k Saaaa ，因 1 lim n n a 存在，故lim n n S 存在，所以级数 1 1 () nn n aa 收敛. 因此由比较审敛法知，级数 1 1 1 n n n a a 收敛. 8 分 七七、(本题共本题共 2 小题，第一小题小题，第一小题 5 分，第二小题分，第二小题 6 分，满分分，满分 11 分分) (1) 设B是秩为2的45矩阵, TTT )9 , 8, 1, 5(,) 1, 4 , 1 , 1(,) 3 , 2 , 1 , 1 ( 321 是齐次 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1997 年数学试题参考解答及评分标准 1997 年 第 5 页 方程组0Bx的解向量,求0Bx的解空间的一个标准正交基. 解：解：因秩( )2r B ，故解空间的维数为 422. 又 12 , 线性无关，故 12 , 是解空间的基. 2 分 取 11 (1,1,2,3) , T 21 221 11 (,)1 ( 1,1,4, 1)(1,1,2,3) (,)3 TT 4 2 10 (, 2) 3 3 3 T 4 分 故 1 1 (1,1,2,3) , 15 T 2 1 ( 2,1,5, 3) 39 T 即是所求的一个标准正交基. 5 分 (2) 已知 1 1 1 是矩阵 21 35 212 b aA的一个特征向量. (I) 试确定参数ba,及特征向量所对应的特征值； (II) 问A能否相似于对角阵？说明理由. 解：解：(I) 由 2121 5310 121 ()IAa b ，即 2 120 530 120 a b ， 解得3,0,1ab . 3 分 (II) 由 212 533 102 A ， 3 212 533 1 |(1) 02 IA ， 知1 是 A 的三重特征值. 4 分 但秩 312 ()5232 101 rIAr ，从而1 对应的线性无关特征向量只有一个， 故 A 不能相似于对角阵. 6 分 八、八、(本题满分本题满分 5 分分) 设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为 B. (1) 证明 B 可逆； (2) 求 AB-1. 解：解：(1) 因| 0A 及| 0BA ，故 B 可逆. 2 分 (2) 记 ij E是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 列对换后所得到的初等矩阵， 则 ij BE A. 3 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1997 年数学试题参考解答及评分标准 1997 年 第 6 页 因此 11111 () ijijijij ABA E AAA EEE . 5 分 九、九、(本题满分本题满分 7 分分) 从学校趁汽车到火车站的途中有 3 个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互 独立的,并且概率都是 5 2 ,设途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律.分布函数和数学期 望. 解：解：X服从二项分布 2 (3, ) 5 b，X的可能取值为 0，1，2，3. 1 分 从而 3 227 0(1) 5125 P X ， 12 3 2254 1(1) 55125 P XC， 22 3 2236 2( )(1) 55125 P XC， 3 28 3( ) 5125 P X . 即X的分布律为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 3 分 因此，X的分布函数为( )F xP Xx 0,0 27 ,01 125 81 ,12 125 117 ,23 125 1,3 x x x x x . 5 分 X的数学期望为 26 ()3 55 E X . 7 分 （或 27543686 ()0123 1251251251255 E X ） 十、十、(本题满分本题满分 5 分分) 设总体 X 的概率密度为 他其0 10) 1( )( xx xf ，其中1是未知参数, 12 , n X XX是来自总体的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然 估计法求的估计量. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1997 年数学试题参考解答及评分标准 1997 年 第 7 页 解：解：总体X的数学期望为 1 1 0 1 ()( )(1) 2 E Xxf x dxxdx ， 1 分 记 1 1 n i i XX n 为样本均值.令 1 2 X ，解得未知参数的矩估计量为 21 1 X X .2 分 设 12 , n x xx是相应于样本 12 , n X XX的样本值，则似然函数为 1 (1) () ,01(1,2, ) 0, n n ii i xxin L 其它 . 3 分 当01 (1,2, ) i xin时，0L . 且 11 ln lnln(1)ln,ln 1 nn ii ii dLn Lnxx d ，令 ln 0 dL d ， 4 分 解得的极大似然估计值为 1 l ln n i i n x ， 从而得的极大似然估计量为 1 l ln n i i n X . 5 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1997 年数学试题参考解答及评分标准 1997 年 第 8 页 数数 学（试卷学（试卷二二） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 已知 0 0)(cos )( 2 xa xx xf x 在0 x 处连续，则 2 1 ea. (2) 设 2 1 ln 1 x y x ，则 0 x y 3 2 . (3) )4(xx dx = 2arcsin 2 x c ( 或 2 arcsin 2 x c ) . (4) 0 2 84xx dx = 8 . (5) 已知向量组 123 (1,2, 1,1),(2,0, ,0),(0, 4,5, 2)t的秩为2， 则t 3 . 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设0 x 时， tgxx ee与 n x是同阶无穷小，则n为 （C） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (2)【 同数学一 第二、 （2）题 】 （选项的顺序有差异） (3) 已知函数 yf x对一切x满足 x exfxxf x 1)(3)( 2 ，若) 0(0)( 00 xxf， 则 (B) (A) 0 f x是 xf的极大值 (B) 0 f x是 xf的极小值 (C) 00 (, ()xf x是曲线 yf x的拐点 (D) 0 f x不是 xf的极值， 00 (, ()xf x也不是曲线 yf x的拐点. (4) 【 同数学一 第二、 （2）题 】 (5) 设 20 ( ) 20 xx g x xx ， 2 0 ( ) 0 xx f x xx ，则)(xfg (D) (A) 2 20 20 xx xx (B) 2 20 20 xx xx (C) 2 20 20 xx xx (D) 2 20 20 xx xx 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1997 年数学试题参考解答及评分标准 1997 年 第 9 页 三、三、(本题共本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分分) (1) 求极限 xx xxx x sin 114 lim 2 2 解：解：原式 2 22 32 lim sin( 411) x xx xxxxx = 3 分 2 22 12 3 lim1 sin111 141 x xx x xxxx . 5 分 (2) 设( )yy x由 52 2 t etyy tarctgx 所确定，求 dx dy . 解：解： 2 1 1 dx dtt , 1 分 由 2 220 t dydy ytye dtdt 得 2 2(1) t dyye dtty . 4 分 因而 2 22 2 ()(1)2(1) 1 2(1) 1 t t ye dyyetty dxty t . 5 分 (3) 计算dxtgxe x22 ) 1( 解：解：原式 222 sec2tan xx exdxexdx = 1 分 222 tan2tan2tan xxx exexdxexdx 4 分 2 tan x exC. 5 分 (4) 求微分方程0)2()23( 222 dyxyxdxyxyx的通解. 解：解：令yux，则 222 2 2323 21 2 dyduyxyxuu xu dxdxxxyu ， 3 分 即 2 3(1) 21 duuu x dxu . 解之得 23 1uuCx ，即 221223 ()yxyxCxxyx yxC 或 . 5 分 (5) 已知 22 123 , xxxxxxx yxeeyxeeyxeee 是某二阶线性非齐次微分方程的 三个解，求此微分方程. 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1997 年数学试题参考解答及评分标准 1997 年 第 10 页 解一：解一：由题设知， 2xx ee与是相应齐次方程两个线性无关的解，且 x xe是非齐次方程的 一个特解，故此方程是2( )yyyf x. 3 分 将 x yxe代入上式， 得( )()()2 xxx f xxexexe222 xxxxxxx exeexexeexe. 因此所求方程为22 xx yyyexe. 5 分 解二：解二：由题设知， 2xx ee与是相应齐次方程两个线性无关的解，且 x xe是非齐次方程的 一个特解，故 2 12 xxx yxeCeC e是所求方程的通解， 由 2 12 2 xxxx yexeCeC e ， 2 12 24 xxxx yexeCeC e , 3 分 消去 12 ,C C得所求方程为22 xx yyyexe. 5 分 (6) 已知 A= 100 110 111 ，且 2 AABI，其中I是三阶单位矩阵，求矩阵B. 解：解：由 2 ()AABA A BI，及|10A ，知 1 ABA，即 1 BAA. 2 分 又 1 112 011 001 A . 4 分 从而 112021 011000 00 111 011 0010001 B . 5 分 四、四、(本题满分本题满分 8 分分) 取何值时，方程组 123 123 123 21 2 4551 xxx xxx xxx 无解？有唯一解或有无穷解？并在有无穷 解时写出方程组的通解. 解解一：一：原方程组的系数行列式 2 21 1154(1)(54) 455 ， 1 分 故当1且 4 5 时，方程组有唯一解. 3 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1997 年数学试题参考解答及评分标准 1997 年 第 11 页 当1时，原方程组为 123 123 123 21 2 4551 xxx xxx xxx ，对其增广矩阵施行行初等变换，有 211 10333111 2 111 21112011 1 45510999000 0 . 此时，原方程组有无穷多解，其通解为 1 2 3 1, 1,( x xk k xk 为任意常数）. 或 123 ( ,)(1, 1,0)(0,1,1) TTT x x xk（k为任意常数） 6 分 当 4 5 时，原方程组的同解方程组为 123 123 123 10455 45510 4551 xxx xxx xxx ， 对其增广矩阵施行行初等变换： 1045 51045 5 4551045510 45510009 ， 由此可知当 4 5 时，原方程组无解. 8 分 解解二：二：对原方程组的增广矩阵施行行初等变换： 21 121 1211 11 2210 3210 3 455 1655065400 9 2 分 于是，当 4 5 时，原方程组无解. 4 分 当1且 4 5 时，方程组有唯一解. 5 分 当1时，原方程组有无穷多解，其通解为 1 2 3 1, 1,( x xk k xk 为任意常数）. 或 123 ( ,)(1, 1,0)(0,1,1) TTT x x xk（k为任意常数）8 分 五、五、(本题满分本题满分 8 分分) 设曲线L的极坐标方程为( )rr,( , )M r为 L 上任一点， 0(2,0) M为L上一定点.若 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1997 年数学试题参考解答及评分标准 1997 年 第 12 页 极径 0, OMOM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上 0, M M两点间弧长值的一半， 求曲线L的方程. 解：解：由已知条件得 222 00 11 22 r drr d . 3 分 两边对求导得 222 rr r ，即 2 1rr r ， （*） 5 分 从而 2 1 dr d r r .因为 2 1 arcsin 1 dr C r r r ，所以 1 arcsinC r . 由条件(0)2r，知 6 C ，故所求曲线 L 的方程为sin()1 6 r ， 即csc() 6 r ， 8 分 亦即直线32xy . 六、六、(本题满分本题满分 8 分分) 设函数( )f x在闭区间0，1上连续，在开区间（0，1）内大于零，并满足 2 3 ( )( ) 2 a xfxf xxx 2 (a为常数)， 又曲线( )yf x与1,0 xy所围成的图形 S 的 面积值为 2，求函数( )yf x. 并问a为何值时，图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的旋转 体的体积最小. 解：解：由题设知，当0 x 时， 2 ( )( )3 2 xfxf xa x ，即 ( )3 2 df xa dxx ， 据此并由( )f x在点0 x 处的连续性，得 2 3 ( ),0,1 2 f xaxCx x. 2 分 又由已知条件得 1 1 232 0 0 3111 2()() 22222 C axCx dxaxxaC . 即4Ca. 因此 2 3 ( )(4) 2 f xaxa x. 4 分 故旋转体的体积为 1 2 0 ( )( )V afx dx 2 1 2 0 3 (4) 2 axa xdx 2 1116 3033 aa . 6 分 令 11 ( )0 153 V aa ，得5a . 又因 1 ( )0 15 Va. 故5a 时，旋转体体积最小. 8 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1997 年数学试题参考解答及评分标准 1997 年 第 13 页 七、七、(本题满分本题满分 8 分分) 已知)(xf连续，且 0 ( ) lim2 x f x x ，设 1 0 ( )()xf xt dt，求)(x并讨论)(x在 0x处的连续性. 解：解： 【参见数学一 第五题，只需把其中的A视作本题的 2 即可】 八、八、(本题满分本题满分 8 分分) 就k的不同取值情况，确定方程sin 2 xxk 在开区间(0,) 2 内根的个数，并证明你 的结论. 解：解：设( )sin 2 f xxx ，则( ) 2 f x 在0,上连续. 由( )1cos0 2 fxx ，解得( ) 2 f x 在(0,内的唯一驻点 0 2 arccosx . 2 分 由于当 0 (0,)xx时，( )0fx；当 0 (,) 2 xx ，( )0fx； 所以 0 ( )f xx在0,上单调减少，在 0 , 2 x 上单独增加. 因此 0 x是( ) 2 f x 在(0,内的唯一 最小值点， 最小值为 0000 ()sin 2 yf xxx .又因(0)( )0 2 ff ， 故在) 2 (0,内( )f x 的取值范围为 0 ,0)y. 4 分 因此，当 0 ,0)ky，即 0 0kyk或时，原方程在) 2 (0,内没有根. 当 0 ky，原方程在) 2 (0,内有唯一根 0 x； 当 0 (,0)ky时，原方程在 00 )(,) 2 xx (0,或内各恰有一根，即原方程在) 2 (0,内恰 有两个不同的根. 8 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1997 年数学试题参考解答及评分标准 1997 年 第 14 页 数数 学（试卷三）学（试卷三） 一、填空题：一、填空题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设 )( ln xf exfy , 其中 f 可微，则 dy= ( ) 1 (ln )( ) (ln ) f x efxfx fx dx x (2) 若 1 2 2 0 1 ( )1( ) 1 f xxf x dx x ， 则 1 0 )(dxxf = 4 . (3) 差分方程 1 2t tt yyt 的通解为(2)2t t yct . (4) 若二次型 3221 2 3 2 2 2 1321 22),(xxtxxxxxxxxf 正定，则t的取值范围是 22t . (5) 设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布 2 (0,3 )N，而 129 ,XXX 和 129 ,Y YY分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则统计量 U = 129 22 19 XXX YY 服从 t 分布；参数为参数为 9 . 二、选择题：二、选择题：(本题共本题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 15 分分) (1) 设 56 1 cos 2 0 ( )sin, ( ) 56 x xx f xt dt g x ， 则当 x0 时，( )f x是( )g x的 （B） (A) 低阶无穷小 （B）高阶无穷小 （C）等价无穷小 （D）同阶但非等价无穷小. (2) 若()( )fxf x(x)，且在,0内( )0fx ，( )0fx，则( )f x在 0,内 (C) (A) ( )0,( )0fxfx （B）( )0,( )0fxfx (C) 0)( , 0)( xfxf （D）0)( , 0)( xfxf (3) 设向量组 321 ,线性无关， 则下列向量组线性无关的是 (C) (A) 133221 , (B) 3213221 2, (C) 133221 3,32,2 (D) 321321321 553,2232, (4) 设 A , B 为同阶可逆矩阵， 则 (D) (A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵 P，使 P 1 AP=B (C) 存在可逆矩阵 C，使 C T AC = B (D) 存在可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=B 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1997 年数学试题参考解答及评分标准 1997 年 第 15 页 (5) 设两个随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，且 PX=1=PY=1= 2 1 , PX=1=PY=1= 2 1 , 则下列各式中成立的是 (A) (A) PX=Y= 2 1 (B) PX=Y=1 (C) PX+Y=0= 1 4 (D) PXY=1= 1 4 三、三、(本题满分本题满分 6 分分) 在经济学中，称函数 x xx LKAxQ 1 )1 ()( 为固定替代弹性生产函数，而称 函数 1 LAKQ为 Cobb-Douglas 生产函数（简称 C-D 生产函数）. 试证明：当0x时，固定替代弹性生产函数变为 C-D 生产函数，即有 )(lim 0 xQ x Q 证：证：因为 1 ln( )lnln(1) xx Q xAKL x ， 1 分 而且 00 ln(1)ln(1)ln limlim (1) xxxx xx xx KLKKLL xKL 1 ln(1)lnln()KLK L ， 4 分 所以 11 0 limln( )lnln()ln() x Q xAK LAK L ， 5 分 于是 1 0 lim( ) x Q xAK LQ . 6 分 四、四、(本题满分本题满分 5 分分) 设( , , )uf x y z有连续偏导数，( , )yy x z和( , )zz x y分别由方程0 xy ey和 0 z exz所确定，求 dx du . 解：解： duff dyf dz dxxy dxz dx . (*) 2 分 由0 xy ey，得 2 ()0, 11 xy xy xy dydydyyey eyx dxdxdxxexy . 3 分 由0 z exz，得0, z z dzdzdzzz ezx dxdxdxexxzx . 4 分 代入（*）式，得 2 1 dufyfzf dxxxy yxzx z . 5 分 五、五、(本题满分本题满分 6 分分) 一商家销售某种商品的价格满足关系70.2px(万元/吨)，x为销售量(单位：吨)， 商品的成本函数是31Cx(万元). 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1997 年数学试题参考解答及评分标准 1997 年 第 16 页 （1）若销售一吨商品，政府要征税t(万元)，求该商家获最大利润时的销售量； （2）t为何值时，政府税收总额最大？. 解：解： (1) 设T为总税额， 则Ttx； 商品销售总收入为 2 (7 0.2 )70.2Rpxx xxx. 利润函数为 22 70.2310.2(4)1R C Txxxtxxt x . 2 分 令0 d dx ，即0.440 xt ，得 45 (4) 0.42 t xt . 由于 2 2 0.40 d dx ，因此 5 (4) 2 xt即为利润最大时的销售量； 3 分 (2) 将 5 (4) 2 xt代入Ttx，得 2 5(4)5 10 22 t Tttt . 由1050 dT t dx ，得唯一驻点2t ； 5 分 由于 2 2 50 d T dx ,可见当2t 时T有极大值，即最大值，此时政府税收总额最大.6 分 六、六、(本题满分本题满分 6 分分) 设函数( )f x在0,)上连续、单调不减，且(0)0f. 试证：函数 ( )F x 0 1 ( )0 00 x n t f t dtx x x 若 若 在0,)上连续且单调不减（其中0n ）. 证一：证一：显然当0 x 时，( )F x连续，又 0 000 ( ) lim( )limlim( )0(0) x n n xxx t f t dt F xx f xF x ，故( )F x在0,)上连续.2 分 对于(0,)x，有 1 1 0 22 ( )( ) ( )( ) ( ) x nn nn xf xt f t dt xf xfx F x xx ， 4 分 ( )( ) nn x f xf x . 其中0 x 由( )f x在0,)上单调不减知( )0F x ，故( )F x在0,)上单调不减. 6 分 证二：证二：连续性的证明同上.由于 1 0 2 ( )( ) ( ) x nn xf xt f t dt F x x 4 分 000 22 ( )( )( )( ) 0 xxx nnnn x f x dtt f t dtx f xt f tdt xx ， 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1997 年数学试题参考解答及评分标准 1997 年 第 17 页 可见( )F x在0,)上单调不减. 6 分 七、七、(本题满分本题满分 6 分分) 从点)0 , 1 ( 1 P作x轴的垂线，交抛物线 2 xy 于点) 1 , 1 ( 1 Q；再从 1 Q作这条抛物线的切 线与x轴交于 2 P，然后又从 2 P作x轴的垂线，交抛物线于点 2 Q ，依次重复上述过程得到 一系列的点 1 P， 1 Q ； 2 P ， 2 Q ； ； n P， n Q ；. （1）求 n OP； （2）求级数 11P Q 22 Q P nn Q P 的和. 其中(1)n n 为自然数，而 21M M 表示点 M1与 M2之间的距离. 解：解：(1) 由 2 yx，得2yx ，对于任意(01)aa， 抛物线 2 yx在点 2 ( ,)a a处的切线方程为 2 2 ()yaa xa. 1 分 且该切线与x轴的交点为( ,0) 2 a ，故由 1 1OP ，可见 21 11 22 OPOP， 32 2 11 22 OPOP， 1 1 2 n n OP . 3 分 (2) 由于 222 1 ()( ) 2 n nnn Q POP ， 4 分 可见 22 2 1 11 2 114 ( ) 21 ( )3 n nn nn Q P . 6 分 八、八、(本题满分本题满分 6 分分) 设函数)(tf在0,)上连续，且满足方程dxdyyxfetf tyx t 222 2 4 224 ) 2 1 ()( , 求)(tf. 解：解：显然(0)1f， 由于 222 222 22 000 4 111 ()()2() 222 tt xyt fxydxdydfr rdrfr rdr ， 可见 22 4 0 1 ( )2() 2 t t f tefr rdr ， 2 分 于是 2 4 ( )88( ) t f ttetf t . 3 分 解得 2288 424 ( )( 8)(4) tdttdt tt f tteedtC etC e ， 5 分 代入(0)1f，得1C .因此 2 24 ( )(41) t f tte . 6 分 郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1997 年数学试题参考解答及评分标准 1997 年 第 18 页 九、九、(本题满分本题满分 6 分分) 设 A 为 n 阶非奇异矩阵，为 n 维列向量， b