1997全国高中数学联赛及详细解析

1997年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题(每小题6分，共36分)1已知数列xn满足xn+1=xnxn1(n2)，x1=a， x2=b， 记Sn=x1+x2+L+xn，则下列结论正确的是(A)x100=-a，S100=2b-a (B)x100=-b，S100=2b-a(C)x100=-b，S100=b-a (D)x100=-a，S100=b-a4在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为 (A)(0，1) (B)(1，+) (C)(0，5) (D)(5，+)5设f(x)=x2x，a = arcsin，=arctan，=arcos()，d=arccot()，则(A)f()f()f(d)f() (B) f() f(d)f()f() (C) f(d)f()f()f() (D) f(d)f()f()f() 6如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有(A) 0条 (B) 1条 (C)多于1 的有限条 (D) 无穷多条二填空题(每小题9分，共54分)1设x，y为实数，且满足则x+y = .2过双曲线x2=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数使得|AB| =的直线l恰有3条，则= .3已知复数z满足=1，则z的幅角主值范围是 4已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为 5设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种6设a =logz+logx(yz)-1+1，b =logx-1+log(xyz+1)，c =logy+log(xyz)-1+1，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为 三、（本题满分20分）设xyz，且x+y+z =，求乘积cosx siny cosz的最大值和最小值五、(本题满分20分)设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足其中S为实数且|S|2求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上第二试(10月5日上午10:30-12:30)一、（本题50分）如图，已知两个半径不相等的O1与O2相交于M、N两点，且O1、O2分别与O内切于S、T两点。求证：OMMN的充分必要条件是S、N、T三点共线。求最小的自然数k，使得只要表1中填入的数满足xi，j1（i=1，2，100），则当ik时，在表2中就能保证xi，j1成立。表1表2x1,1x1,2x1,25x1,1x1,2x1,25x2,1x2,2x2,25x2,1x2,2x2,25x100,1x100,2x100,25x100,1x100,2x100,251997年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1已知数列xn满足xn+1=xnxn1(n2)，x1=a， x2=b， 记Sn=x1+x2+L+xn，则下列结论正确的是(A)x100=-a，S100=2b-a (B)x100=-b，S100=2b-a(C)x100=-b，S100=b-a (D)x100=-a，S100=b-a【答案】A【解析】x1=a，x2=b，x3=ba，x4=a，x5=b，x6=ab，x7=a，x8=b，易知此数列循环，xn+6=xn，于是x100=x4=a，又x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故S100=2ba选A3设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个【答案】C4在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为 (A)(0，1) (B)(1，+) (C)(0，5) (D)(5，+)【答案】D【解析】看成是轨迹上点到(0，1)的距离与到直线x2y+3=0的距离的比：=5，选D5设f(x)=x2x，a = arcsin，=arctan，=arcos()，d=arccot()，则 (A)f()f()f(d)f() (B) f() f(d)f()f() (C) f(i)f()f()f() (D) f(d)f()f()f() 【答案】B【解析】f(x)的对称轴为x=， 易得， 00故f(t)单调增，现x1=1y，x+y=23已知复数z满足=1，则z的幅角主值范围是 4已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为 5设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种【答案】26【解析】青蛙跳5次，只可能跳到B、D、F三点(染色可证)青蛙顺时针跳1次算+1，逆时针跳1次算1，写5个“1”，在中填“+”号或“”号： 11111规则可解释为：前三个中如果同号，则停止填写；若不同号，则后2个中继续填写符号前三同号的方法有2种；前三个不同号的方法有232=6种，后两个中填号的方法有22种 共有2+64=26种方法6设a =logz+logx(yz)-1+1，b =logx-1+log(xyz+1)，c =logy+log(xyz)-1+1，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为 【答案】log2【解析】a=log(+z)，b=log(yz+)，c=log(+y) a+c=log(+yz+x)2log2于是a、c中必有一个log2即Mlog2，于是M的最小值log2但取x=y=z=1，得a=b=c=log2即此时M=log2于是M的最小值log2 所求值=log2四、(本题满分20分)设双曲线xy=1的两支为C1，C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上(1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；(2)设P(-1，-1)在C2上， Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标【解析】设某个正三角形的三个顶点都在同一支上此三点的坐标为P(x1，)，Q(x2，)，R(x3，)不妨设0x1x20kPQ=；kQR=；tanPQR=0)则q+=(r+)cos+i(r)sinRsin=0或r=1 若sin=0，则q=r为实数此时q+2或q+2此时q+，或q+此时，由|(q+)2|1，知q=1此时，|ai|=2 若r=1，仍有|ai|=2，故此五点在同一圆周上 若1+q+q2+q3+q4=0则q51=0， |q|=1此时|a1|=|a2|=|a3|=|a4|=|a5|，即此五点在同一圆上综上可知，表示复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上第二试二（本题50分）试问：当且仅当实数x0，x1，xn（n2）满足什么条件时，存在实数y0，y1，yn使得z02=z12+z22+zn2成立，其中zk=xk+iyk，i为虚数单位，k=0，1，n。证明你的结论。【解析】解：z02=x02y02+2x0y0i=(x12+x22+xn2)(y12+y22+yn2)+2(x1y1+x2y2+xnyn)i x02y02=(x12+x22+xn2)(y12+y22+yn2)；x0y0=x1y1+x2y2+xnyn若x02 x12+x22+xn2，则y02 y12+y22+yn2此时x02y02( x12+x22+xn2)( y12+y22+yn2)(x1y1+x2y2+xnyn)2=(x0y0)2矛盾故必x02x12+x22+xn2反之，若x02x12+x22+xn2成立此时，可分两种情况： 当x02=x12+x22+xn2成立时，取yi=xi(i=0，1，2，n)，于是z02=(x0+y0i)2=x02y02+2x0y0i=2x0y0i，而z12+z22+zn2=(x12+x22+xn2)(y12+y22+yn2)+2(x1y1+x2y2+xnyn)i=2(x1y1+x2y2+xnyn)i=2(x12+x22+xn2)i=2x02i=2x0y0i即z02=z12+z22+zn2成立三、（本题50分）在10025的长方形表格中每一格填入一个非负实数，第i行第j列中填入的数为xi , j（i=1，2，100；j=1，2，25）（如表1）。然后将表1每列中的数按由小到大的次序从上到下重新排列为x1 ,