计算机数值方法第五章-常微分方程数值解法

延安大学数学与计算机科学学院,计算机数值方法,NumericalAnalysis,本章要点:,欧拉法改进的欧拉法龙格库塔法线性多步法,第5章常微分方程数值解法,1引言2欧拉法和改进的欧拉法3龙格库塔法4线性多步法,1引言,在常微分方程中，已经掌握了一些典型方程的解法。但实际问题中的微分方程往往无法求出解析解，因此许多形式的方程只能用数值方法求近似解，也就是求在某些点上满足一定精度的近似解。,现以求一阶常微分方程初值问题,(51),在区间a，b上的解为例，介绍数值方法的基本思想。,设f(x，y)在带形区域R：axb，-y+上，为x，y的连续函数，且对任意的y满足李普希茨条件|f(x，y1)f(x，y2)|L|y1-y2|(52)其中(x，y1)、(x，y2)R，L为正常数。,上的准确解y(x)的近似值y0，y1，y2，yn常取离散点x0，x1，x2，xn为等距，即xi+1xi=h，(i=0,1,2,n-1)h称为步长。,在求初值问题(51)的数值解时，我们通常采用离散化方法，求在自变量x的离散点a=x0x1x2xn=b,图5.1,下图5.1表示在n+1个离散点上的准确解y(x)的近似值。,欧拉公式：,亦称为欧拉折线法,2欧拉法和改进的欧拉法,欧拉法的局部截断误差：,因此欧拉法具有1阶精度。,Ri的主项,欧拉公式的改进：,隐式欧拉法,由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式欧拉公式，而前者称为显式欧拉公式。,一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。,隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有1阶精度。,梯形公式：,是显、隐式两种算法的平均值：,注：的确有局部截断误差，即梯形公式具有2阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。,中点欧拉公式,假设，则可以导出即中点公式具有2阶精度。,需要2个初值y0和y1启动递推过程,这样的算法称为双步法，而前面的三种算法都是单步法,简单,精度低,稳定性最好,精度低,计算量大,精度提高,计算量大,精度提高,显式,多一个初值,可能影响精度,各种欧拉公式比较：,改进欧拉法,注：此法亦称为预测校正法。可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,实际计算时，常将改进的欧拉公式写成下列形式：,例1用欧拉法求初值问题,的数值解(取h=0.1)。,故由欧拉公式得,解因为,表51,图5.2,例2求解初值问题,解分别用欧拉公式和改进的欧拉公式计算。这里改进的欧拉公式的具体形式为,其解析解为,表52,3龙格库塔法,是建立高精度的单步递推格式。,单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，以某一斜率沿直线达到(xi+1,yi+1)点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。,斜率一定取K1K2的平均值吗？,步长一定是一个h吗？,其中i(i=1,m)，i(i=2,m)和ij(i=2,m;j=1,i1)均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。,问题:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,首先希望能确定系数1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在的前提假设下，使得,Step1:将K2在(xi,yi)点作Taylor展开,Step2:将K2代入第1式，得到,Step3:将yi+1与y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较,要求，则必须有：,这里有个未知数，个方程。,3,2,所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。,注意到，就是改进的欧拉法。,最常用为四阶经典龙格-库塔法：,例3用四阶龙格库塔法求解初值问题,解因为x0=0，y0=1，h=0.2，用标准四阶龙格库塔公式计算，并与解析解,的结果进行比较，如表53：,表53,4线性多步法,(2)基于数值积分的构造法,将在上积分，得到,只要近似地算出右边的积分，则可通过近似y(xi+1)。而选用不同近似式Ik，可得到不同的计算公式。,(1)基于泰勒展开的构造法,亚当姆斯显式公式,利用k+1个节点上的被积函数值构造k阶牛顿后插多项式,有,Newton插值余项,局部截断误差为：,例：k=1时有,注：一般有，其中Bk与yi+1计算公式中fi,fik各项的系数均可查表得到。,常用的是k=3的4阶亚当姆斯显式公式,亚当姆斯隐式公式,常用的是k=3的4阶亚当姆斯隐式公式,小于Bk,较同阶显式稳定,亚当姆斯预测-校正系统,Step1:用Runge-Kutta法计算前k个初值；,Step2:用Adams显式计算预测值；,Step3:用同阶Adams隐式计