暑假数学课外辅导必修4第一章 三角函数人教必修四

2009年暑假数学课外辅导(必修4 )第1章三角函数一、总结基本内容谈本章主干知识：三角函数定义、图像、性质和应用、函数图像、三角函数模型解决周期性变化规律问题的应用。1 .任意角和弧度制从运动的角度，向旋转方向和转速导入负角和3600以上的角。 在直角坐标系中，如果确定了角的终点，则其大小不固定(通常将角的顶点设置为原点，将角的起点设置为x轴和非负半轴)。 为了掌握各个角度之间的联系，导入了与最终边相同的角度的概念，则与最终边相同的角度可以用 k3600 (kZ )的形式表示，特别是，最终边的x轴上的角度的集合为|=k1800，kZ，最终边的y轴上的角度的集合为|=900 k18000，kZ，并且，也可以使用其他角度来表示。 另外，拐角的终点落在第几象限，该拐角是第几象限的拐角。弧度制是角测度的重要表现，正确进行弧度和角度的换算，记住特殊的角弧度制。 弧度制中，扇形弧长的式子l=|R，扇形面积的式子，这里是弧的对圆心角的弧数。2 .任意角的三角函数直角坐标系允许直角三角形的三角函数被扩展为任何角的三角函数。 将P(x，y )设为角的终点即点(不与原点重叠的点)，3 .等角三角函数的基本关系式(1)平方关系： (2)商数关系：4 .三角函数的诱导公式利用三角函数的定义，得到与的函数值的关系(kZ )的感应式，其法则是“奇偶校验不变，符号见象限”。5 .三角函数的图像和性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图像定义域值域偶然性奇函数偶函数奇函数周期性单调性是上面是递增函数是上面是减法函数是上面是递增函数是上面是减法函数是上面是递增函数最有价值当时当时当时当时无对称性对称中心对称轴：对称中心对称轴：对称中心对称轴：无6 .函数的示意图作为函数的图像主要有两种方法(1)用“五点法”作图用“五点法”制作的概略图主要通过取变量置换、设定、z为0、来求出对应的x，从列表中计算五点坐标，减去点来得到图像。(2)用“图像变换法”作图转换函数的图像得到的图像有“先摇摄再摇摄”和“先摇摄再摇摄”两种主要方法。法1 :先直线移动再伸缩，法2 :先伸缩后直线移动可以看出，前者移位单位，后者移位单位。 这是因为相位变换和周期变换都针对变量x。 因此，在使用这种转换方法生成图像的情况下，必须关注平行移动的优先级。 否则，就会发生错误。函数(A0，)表示振动量时，a表示该量振动时距平衡位置的最大距离，通常称为该振动振幅的往复振动所需的时间称为振动周期，单位时间内的往复振动次数称为振动频率，称为初相(即x=0时的相位)。7 .三角函数模型的简单应用通过在三角函数模型中的简单应用学习，体验从图像中学习求解式方法的实际问题，抽象化为三角函数模型问题的过程体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。二、考试点的说明试验点1任意角的概念和弧度制1、已知角为第三象限角，角的终端位于()a、第一象限b、第二象限c、第三象限d、第四象限2、在范围内，与角的终点相同的角为()A. B. C. D3、如果是的话，有拐角的尽头a .第一象限b .第二象限c .第三象限d .第四象限4、的值等于()A. B. C. D试点两弧度与角度的互化5、求下一个三角函数的值： (1)=；(2)=。试验点3任意角三角函数的定义6 .函数的值域。7、8、如果角的终点有一个点，则的值为()A. B. C. D【解析】，选择a。试验点4正弦、馀弦、正切函数的诱导公式9、解答：试点五正弦、馀弦、正切函数的图像绘制法和性质的运用10、如图所示，某天中从6点到14点的温度变化曲线相近302010o.ot/hT/68101214如满足函数今天6点到14点的温度差的最大值，与_ _ _ _ _ _ _ _ _图中的曲线对应的函数解析式是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。11 .已知(区间的最小值为-2，最小值为()a、b、c、2 D、312 .已知函数(AO，0 )的最小正周期的最小值为-2，表示图像通过点()，(1)求出该函数的解析式(2)给出以下六种图像转换方法：图像上所有点的纵轴不变，横轴缩短为原来的值图像上所有点的纵轴不变，横轴延伸到原来的3倍将图像向右移动1个单位将图像向左移动1个单位将图像向右移动1个单位将图像向左移动1个单位。当通过上述转换将函数y=Asinx的图像转换为函数的图像时，来自y=Asinx的图像变为正确的转换编号。【解析】: (1)从题意开始，22222222222222222226即，函数解析表达式(2)先直线移动后伸缩的步骤为，先伸缩后直线移动的步骤为，因此转换为或。试验点6三角函数的周期性13 .根据以下函数，最小正周期为A. B. C. D答案： b试验点7的等角三角函数的基本关系式14、(1)已知且以第二象限角求出(二)既知，求；解： (1)2222222卡卡卡卡卡卡卡卡653此外，是第二象限角，22222222222222222226，(2)22222222卡卡卡卡卡卡卡6此外，2222224444444444444446在第二象限时在第四象有界限的情况下，即因为有十五、既知，求解答：变：求16、已知、 (1)求出的值(2)求出的值解： (1)所以。 三分(2)8分试点8的实际意义17 .为了获得函数的图像，只需要添加函数的图像()a，向左移位单位b，向右移位单位bc，将1单位向左移位d，将1单位向右移位18 .已知函数().(1)在此情况下，导出从原始图像向右移位单位长度的图像函数解析表达式(2)在图像过多且是区间性地增加函数的情况下，求出的值。解： (1)根据已知求出函数解析式为(2)中的图像太多，可以得到也就是说，再见当时，那个周期是在该情况下，上述是增加函数在的情况下，的周期为；在这种情况下，上述函数不是递增函数所以呢试点九三角函数模型的简单应用19 .已知函数(1)求出的最小正周期(2)求出的单调区间(3)求出图像的对称轴、对称中心分析： (1)T=；(2)的单增区间的单减区间(3)对称轴须20、对某商品的发货价格和该商品在商店的销售价格进行一年周期的调查，发现该商品的发货价格基于6元每月以正弦曲线变动，3月份的发货价格最高为8元，7月份的发货价格最低为4元，该商品在商店的销售价格基于8元每月以正弦曲线变动，5月份的销售价格我们知道9月份的销售价格最低为6元，假设某商店每月购买这种商品m个，并且每月销售，我们就请求报价的理由进行说明【解析】:假设月份为x，则从条件中得出：出货价格函数为销售价格函数，每期间的利润函数为：因此，当时，(2 )m，也就是6月份的收益最大三、解题方法分析1 .明确任何角的概念，从角的概念推进理解三角函数的定义【方法点刻度盘】推进角的概念，导入弧度制，确立角的集合与实数的集合的对应关系，利用单位圆进一步研究任意角的三角函数，建立数形耦合思想。示例1如果角的终点有一个点，则的值为()A. B. C. D【解析】，选择a。【点评】:本问题在“知道”水平，知道能够正确识别角度的弧度制，三角函数的定义，数形式结合是解决问题的第一步。2 .熟悉等角三角函数的基本关系和诱导式，通过公式的应用提高运算能力【方法拨号】利用等角三角函数的基本关系和诱导公式进行三角函数的简化、评价、简单三角常数公式的证明是本章的基本问题之一，其主要考察形式是客观问题。例2是已知，在是第四象限角的情况下=【解析】:从已知到：原式【评价】: (1)正题为“理解”水平，调查考生的基本计算能力(2)正题解答的重要的是，通过活用等角三角函数的基本关系和诱导式，在解决问题时要特别注意符号。 3、明确三角函数的图像和性质，加深对主干知识的理解【方法转盘】三角函数的图像是三角函数概念和性质的直观反映，但性质常常通过讨论图像的描绘观察，这是本章知识的关键，必须把握。 例3 .现在考虑已知函数f (x)=、其奇偶校验、周期性以及区间 0，0 内的单调性。【解析】:f (x)=|sin2x|， f (-x)=|sin(-2x)|=|sin2x|=f (x )，f (x )是偶函数。222222222卡卡卡卡卡卡卡6f (x)=|sin2x|=sin2x，0，f (x )在0，之上f(x )单调增加，单调减少。【评分】:本问题属于“理解”水平，考生能够合理分析学到的内容并合格进一步阐明性质探究函数的图像。例4已知函数(AO，0 )最小正周期的最小值为-2，且图像通过点() (1)求出该函数的解析式(2)给出以下6个图像变换方法。图像上所有点的纵轴不变，横轴缩短为原来的值图像上所有点的纵轴不变，横轴延伸到原来的3倍将图像向右移动1个单位将图像向左移动1个单位将图像向右移动1个单位将图像向左移动1个单位。当通过上述转换将函数y=Asinx的图像转换为函数的图像时，来自y=Asinx的图像变为正确的转换编号。【解析】: (1)从题意开始，22222222222222222226即，函数解析表达式(2)先直线移动后伸缩的步骤为，先伸缩后直线移动的步骤为，因此转换为或。【点评】:本问题在“理解”水平，是重点调查的图像转换和性质，必须注意意识和知识的联系。4 .关注三角函数模型的应用，提高知识转移能力【方法点刻度盘】求解三角函数应用问题的基本步骤： (1)审查问题：它是求解问题的基础。 通过阅读，理解用文字语言表现的实际问题的类型、思想内涵以及问题的本质，初步预测所属数学模型，同时也注意挖掘隐含的条件(2)建模：问题解决的关键。 在深入理解的基础上，引入数学符号，将文字语言转换为数学语言，根据问题意义建立三角函数模型(3)求解模型：这是求解问题的关键。 利用三角函数的关系式、图像和性质进行推理、运算，解决问题。 (4)回检：这是解题的总结。 应用问题有其背景，将求解的结果代入原来的问题进行验证评价。例5 .对某商品的发货价格和该商品在商店的销售价格以一年为周期进行调查，该商品的发货价格基于6元每月以正弦曲线变动，3月的发货价格最高为8元，7月的发货价格最低为4元，该商品在商店的销售价格基于8元每月以正弦曲线变动，5月的销售价格我们知道9月份的销售价格最低为6元，说明一家商店每月购买这个商品m个，假设在那个月销售的理由【解析】:假设月份为x，则从条件中得出：出货价格函数为销售价格函数，每期间的利润函数为：因此，当时，(2 )m，也就是6月份的收益最大【评分】:本题属于“理解”的实践应用水平，考察可以运用学到的知识分析日常生活和生