点集拓扑学练习题

点集拓扑学练习题 点集拓扑学练习题 一、单项选择题（每题 1 分） 一、单项选择题（每题 1 分） 1、已知 , , , , Xa b c d e,下列集族中， （ ）是X上的拓扑. , , , , , , , Xaa ba c eT , , , , , , , , , , , Xa b ca b da b c eT , , , , Xaa bT , , , , , , XabcdeT 答案： 2、设 , , Xa b c，下列集族中,（ ）是X上的拓扑. , , , , , Xaa bcT , , , , , , Xaa ba cT , , , , , Xaba cT , , , , XabcT 答案： 3、已知 , , , Xa b c d,下列集族中， （ ）是X上的拓扑. , , , , , , , Xaa ba c dT , , , , , , , Xa b ca b dT , , , , , , Xaba c dT , , , XabT 答案： 4、设 , , Xa b c，下列集族中,（ ）是X上的拓扑. , , , , , Xbca bT , , , , , , , Xaba ba cT , , , , , Xaba cT , , , , XabcT 答案： 5、已知 , , , Xa b c d,下列集族中， （ ）是X上的拓扑. , , , , , , Xa ba c dT , , , , , , Xa ba c dT , , , , , , Xaba c dT , , , , , Xaca cT 答案： 6、设 , , Xa b c，下列集族中,（ ）是X上的拓扑. , , , , , Xabb cT , , , , , Xa bb cT , , , , Xaa cT , , , , XabcT 答案： 7、已知 , , , Xa b c d，拓扑, , XaT,则b=（ ） X , 答案： b, b c d 8、 已知 , , , Xa b c d，拓扑, , XaT,则 , , b c d=（ ） 1 X , 答案： b, b c d 9、 已知 , Xa b，拓扑, , XaT,则 a=（ ） X 答案： ab 10、已知 , Xa b，拓扑, , XaT,则 b=（ ） X 答案： ab 11、已知 , , , Xa b c d，拓扑, , XaT,则 a=（ ） X , , 答案： a b, b c d 12、已知 , , , Xa b c d，拓扑, , XaT,则 c=（ ） X , , 答案： a c, b c d 13、设 , , , Xa b c d，拓扑, , , , , Xab c dT,则X的既开又闭的非空真子集个数（ ） 1 2 3 4 答案： 14、设 , , Xa b c，拓扑, , , , Xab cT,则X的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） 1 2 3 4 答案： 15、设 , , Xa b c，拓扑, , , , Xbb cT,则X的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） 0 1 2 3 答案： 16、设 , Xa b，拓扑, , XbT,则X的既开又闭的子集的个数为（ ） 0 1 2 3 答案： 17、设 , Xa b，拓扑, , , XabT,则X的既开又闭的子集的个数为（ ） 1 2 3 4 答案： 18、 设 , , Xa b c， 拓扑, , , , , , , Xaba bb cT,X的既开又闭的非空真子集个数 （ ） 1 2 3 4 答案： 19、在实数空间中，有理数集的内部是（ ） QQ Q R -Q R 答案： 20、在实数空间中，有理数集的边界Q( )Q是（ ） Q R -Q R 答案： 2 21、在实数空间中，整数集Z的内部Z 是（ ） Z R-Z R 答案： 22、在实数空间中，整数集Z的边界( )Z是（ ） Z R-Z R 答案： 23、在实数空间中，区间0的边界是（ ） ,1) 0 0 答案： ,1,1(0,1) 24、在实数空间中，区间2的边界是（ ） ,3) 2 2 答案： ,3,3(2,3) 25、在实数空间中，区间0的内部是（ ） ,1) 0 0 答案： ,1,1(0,1) 26、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中错误的是（ ） ()( )(d ABd Ad B)ABAB ()( )(d ABd Ad B)AA 答案: 27、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（ ） ()( )(d ABd Ad B)ABAB ()( )(d ABd Ad B)AA 答案: 28、设X是一个拓扑空间，A,B 是X的子集,则下列关系中正确的是（ ） ()d ABAB ABAB 答案: ()( )(d ABd Ad B)( ( )( )d d AAd A 29、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（ ） ( )d A ( )d AXA 答案： ( )d AA( )d AX 30、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中不正确的是（ ） 若A,则( )d A 若 0 Ax,则 ( )d AXA 若 A= 12 ,x x,则 ( )d AX 若AX, 则 ( )d AX 答案： 3 31、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（ ） 若A,则 ( )d A 若 0 Ax,则 ( )d AX 若 A= 12 ,x x,则 ( )d AXA 若 12 ,Ax x,则 ( )d AA 答案： 32、设 , , , Xa b c d，令,则由产生的 , , , , a b ccdBBX上的拓扑是（ ） X,c,d,c,d,a,b,c ,X,c,d,c,d X,c,a,b,c X,d,b,c,b,d,b,c,d 答案： 33、 设X是至少含有两个元素的集合，pX,|GXpGT 是X的拓扑， 则 （ ） 是T 的基. , | Bp xxXp |BxxX , |Bp xxX | BxxXp 答案： 34、 设 , , Xa b c,则下列X的拓扑中（ ）以, , SXa为子基. X, ,a,a,c X, ,a X, ,a,b,a,b X, 答案： 35、离散空间的任一子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案： 36、平庸空间的任一非空真子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案： 37、实数空间R中的任一单点集是 ( ) 开集 闭集 既开又闭 非开非闭 答案： 38、实数空间R的子集A =1, 2 1 , 3 1 , 4 1 ,则A（ ） R A0 A 答案： 39、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（ ） 整数集 有理数集 无理数集 答案： ba, 40、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ） 整数集Z 有理数集 无理数集 整数集Z的补集 Z 答案： 41、已知上的拓扑1,2,3X, ,1TX,则点 1 的邻域个数是（ ） 1 2 3 4 答案： 4 42、已知 , Xa b,则X上的所有可能的拓扑有（ ） 1 个 2 个 3 个 4 个 答案： 43、已知X=a,b,c,则X上的含有个元素的拓扑有（ ）个 3 5 7 9 答案： 44、设为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( ) (,)TX T , TX T ,TX 当时,TT T T U U 当TT时, T T U U 答案： 45、在实数下限拓扑空间R中，区间 ,是（ ） )a b 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭 答案： 46、设X是一个拓扑空间，,A BX,且满足,则( )d ABAB是（ ） 开集 闭集 既是开集又是闭集 非开非闭 答案： 47、设,1,2,3X ,1,2,1,3,1,2T=X是X的拓扑，1,2A,则X的子空间A的拓扑 为( ) ,2,1,2T ,T,1,2X1,2 , ,1,2TA ,1,2TX 答案： 48、设,1,2,3X ,1,2,1,3,1,2T=X是X的拓扑，1,3A,则X的子空间A的拓扑 为( ) ,1,3,1,3T T ,A,1 ,1,3,1,3TX ,1TX 答案： 49、 设XT1,2,3, ,1,2,1,3,1,2=X是X的拓扑，A2,3,则X的子空间A的拓扑 为( ) ,3,2,3T T , ,2,A3 ,2,3,2,3TX ,3TX 答案： 50、 设XT1,2,3, ,1,2,1,3,1,2=X是X的拓扑，A1,则X的子空间A的拓扑为 ( ) T ,1 T , ,1,A2 ,1,3,1,3TX ,1TX 答案： 51、设,1,2,3X ,1,2,1,3,1,2T=X是X的拓扑，2A,则X的子空间A的拓扑 为( ) T ,2,1,2 , TA 5 ,2TX ,1,2TX 答案： 52、设,1,2,3X ,1,2,1,3,1,2T=X是X的拓扑，3A,则X的子空间A的拓扑 为( ) ,2,1,2T ,T3X,1, ,3TX ,3T 答案： 53、设R是实数空间，Z是整数集，则R的子空间Z的拓扑为（ ） , TZ ( )TP Z TZ TZ 答案： 54、设 126 XXXX是拓扑空间 12 , 6 XXX的积空间.是 1 PX到 1 X的投射，则是 （ ） 单射 连续的单射 1 P 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案： 55、设 126 XXXX是拓扑空间 12 , 6 XXX的积空间.是 2 PX到 2 X的投射，则是 （ ） 单射 连续的单射 2 P 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案： 56、设 126 XXXX是拓扑空间 12 , 6 XXX的积空间.是 3 PX到 3 X的投射，则是 （ ） 单射 连续的单射 3 P 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案： 57、设 126 XXXX是拓扑空间 12 , 6 XXX的积空间.是 4 PX到 4 X的投射，则是 （ ） 单射 连续的单射 4 P 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案： 58、设 126 XXXX是拓扑空间 12 , 6 XXX的积空间.是 5 PX到 5 X的投射，则是 （ ） 5 P 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案： 59、设 126 XXXX是拓扑空间 12 , 6 XXX的积空间.是 6 PX到 6 X的投射，则是 （ ） 单射 连续的单射 6 P 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案： 60、设 1 X和 2 X是两个拓扑空间， 12 XX是它们的积空间,， 1 AX 2 BX，则有（ ） A BAB A BAB ()A BAB ) ()( )(A BAB 答案： 61、有理数集是实数空间QR的一个（ ） 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案： 6 62、整数集Z是实数空间R的一个（ ） 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案： 63、无理数集是实数空间R的一个（ ） 不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案： 64、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若YZY, 则Z为( ) 不连通子集 连通子集 闭集 开集 答案： 65、设 12 ,XX是平庸空间，则积空间 12 XX是（ ） 离散空间 不一定是平庸空间 平庸空间 不连通空间 答案： 66、设 12 ,XX是离散空间，则积空间 12 XX是（ ） 离散空间 不一定是离散空间 平庸空间 连通空间 答案： 67、设 12 ,XX是连通空间，则积空间 12 XX是（ ） 离散空间 不一定是连通空间 平庸空间 连通空间 答案： 68、实数空间R中的连通子集E为( ) 开区间 闭区间 区间 以上都不对 答案： 69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为( ) 开区间 闭区间 区间 以上都不对 答案： 70、实数空间 R 中的连通子集 E 为( ) 开区间 闭区间 区间 区间或一点 答案： 71、下列叙述中正确的个数为（ ） （）单位圆周是连通的； （） 1 S0R是连通的 7 （）是连通的 （） 2 (0,0)R 2 R和R同胚 1 2 3 4 答案： 二、填空题（每题 1 分） 二、填空题（每题 1 分） 1、设 , Xa b,则X的平庸拓扑为 ;答案：, TX 2、 设 , Xa b,则X的离散拓扑为 ;答案：, , , TXab 、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质 4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是_. 答案： R 5、)(Adx当且仅当对于x的每一邻域U有 答案： ( )UAx 6、设是有限补空间AX中的一个无限子集，则= ( )d A ;答案：X 7、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则A= ;答案：X 8、设是可数补空间AX中的一个不可数子集，则= ( )d A ;答案：X 9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则A= ;答案：X 10 、 设,1,2,3X X的 拓 扑, ,2,2,3TX, 则X的 子 集 的 内 部 为 1,2A ;答案：2 11 、 设,1,2,3X X的 拓 扑, ,1,2,3TX, 则X的 子 集 的 内 部 为 1,3A ;答案：1 12 、 设,1,2,3X X的 拓 扑, ,1,2,3TX, 则X的 子 集 的 内 部 为 答案：1 1,2A 13 、 设,1,2,3X X的 拓 扑, ,2,2,3TX, 则X的 子 集 的 内 部 为 1,3A ;答案： 14、设 , , Xa b c,则X的平庸拓扑为 ;答案：, TX 15、设 , , Xa b c,则X的离散拓扑为 答案：, , , , , , , , , , TXabca ba cb c 16 、 设,1,2,3X X的 拓 扑, ,2,3,2,3TX, 则X的 子 集 的 内 部 为 1,3A ;答案：3 17 、 设,1,2,3X X的 拓 扑, ,1,3,1,3TX, 则X的 子 集 的 内 部 为 1,2A ;答案：1 8 18、:fXY是拓扑空间X到Y的一个映射， 若它是一个单射， 并且是从X到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f是一个 .答案：嵌入 19、:fXY是拓扑空间X到的Y一个映射， 如果它是一个满射， 并且Y的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f是一个 ;答案：商映射 20、 设,X Y是两个拓扑空间，:fXY是一个映射， 若X中任何一个开集U的象集( )f U是 中的一个开集，则称映射 Y f是一个 答案：开映射 21、 设,X Y是两个拓扑空间，:fXY是一个映射， 若X中任何一个闭集U的象集( )f U是 中的一个闭集，则称映射 Y f是一个 答案：闭映射 22、若拓扑空间X存在两个非空的闭子集,A B,使得,ABABX,则X是一 个 ；答案：不连通空间 23、若拓扑空间X存在两个非空的开子集,A B,使得,ABABX,则X是一 个 ；答案：不连通空间 24、若拓扑空间X存在着一个既开又闭的非空真子集，则X是一个 答案：不连通空间 25、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，ZX满足YZ，则YZ也是X的一 个 ; 答案：连通子集 26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的 象所具有，则称这个性质是一个 ； 答案：在连续映射下保持不变的性质 27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有， 则称这个性质是一个 ；答案：可商性质 X28、 若任意个拓扑空间1n 12 , n XX,都具有性质,则积空间P 12n XXX也具有性质 ，则性质称为 PP ;答案：有限可积性质 29、设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集,A B,使得ABX,则称X是 一个 ；答案：不连通空间. 三判断（每题 4 分，判断 1 分，理由 3 分） 三判断（每题 4 分，判断 1 分，理由 3 分） 1、 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案: 理由：理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，:fXY是连续映射，因为对任意AY，都有 1 )fA X（,由于X中的任何一个子集都是开集，从而 1( ) fA 是中的开集，所以:fXY 是连续的. 9 2、设是集合 12 , T TX的两个拓扑，则 1 TT2不一定是集合X的拓扑( )答案: 理由：理由：因为（1）是 12 , T TX的拓扑，故 ,XT1， ,XT，从而 ,X 12 TT； （）对任意的T1T，则有 BA, BA,T1且 BA,T，由于T1, T2是X的拓扑，故 BAT1且BAT2，从而 BA T1 T； （） 对任意的 21 TTT ， 则 21, TTTT ， 由于T1, T2是X的拓扑， 从而 U TU T1, U TU T2,故U TU T1T； 综上有T1T也是 X的拓扑 3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（ ）答案: 理由：理由：设:fXY是任一满足条件的映射，由于是平庸空间，它中的开集只有Y,Y,易知它 们在f下的原象分别是,X,均为X中的开集，从而:fXY连续. 4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则 d A （ ）答案: 理由：理由：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以 p是X的开子集，且有 pAp，即 pd A,从而 ( )d A. 5、设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则 d A （ ）答案： 理由：理由：设 Ay,则对于任意,xX xy,x有唯一的一个邻域X，且有,从而(yXAx) (XA)x，因此x是A的一个凝聚点，但对于的唯一的邻域yX，有(XAy),所 以有 Xd AA. 6、设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则 d AX （ ）答案： 理由：理由： 对于任意,xX因为A包含多于一点， 从而对于x的唯一的邻域X， 且有()XAx， 因此x是A的一个凝聚点，即( )xd A，所以有 d AX. 7、设X是一个不连通空间，则X中存在两个非空的闭子集,A B,使得,ABABX （ ）答案： 理由：理由：设X是一个不连通空间，设,A B是X的两个非空的隔离子集使得ABX,显然 10 AB，并且这时有: ()()BBXBABBB B是X的一个闭子集，同理可证A是X的一个闭子集，这就证明了,A B满足从而 ,ABABX. 8、若拓扑空间X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一个不连通空间( ) 理由：理由：这是因为若设A是X中的一个既开又闭的非空真子集，令BA，则,A B都是X中的 非空闭子集，它们满足ABX，易见,A B是隔离子集，所以拓扑空间X是一个不连通空. 五简答题（每题 4 分） 五简答题（每题 4 分） X是一个拓扑空间，,A B是X的子集，且AB.试说明. ( )( )d Ad B1、设 答案：对于任意( )xd A,设U是x的任何一个邻域，则有( )UAx,由于AB，从而 (UB)xx(UA)，因此( )xd B，故. ( )d A( )d B , ,X Y2、设Z都是拓扑空间.:fXY, 都是连续映射，试说明也是连 续映射. :g YZ:gfXZ 答案：设W是Z的任意一个开集，由于是一个连续映射，从而是Y的一个开 集，由 :g YZ 1( )gW :fXY是连续映射，故 11 ()fgW 是X的一开集，因此 是 11 f 1 )(gfgW () (W) X的开集，所以是连续映射. :gfXZ 是一个拓扑空间，.试说明：若是一个闭集，则的补集是一个开集. AXAAAX3、设 答案：对于xA ,则xA，由于A是一个闭集，从而x有一个邻域U使得( )UAx, 因此UA，即U,所以对任何AxA,A是x的一个邻域，这说明A是一个开集. 是一个拓扑空间，.试说明：若的补集AXAA是一个开集，则是一个闭集. AX4、设 x答案：设A,则xA,由于A是一个开集，所以A是x的一个邻域，且满足AA ,因 此xA,从而AA,即有AA，这说明A是一个闭集. 5、在实数空间R中给定如下等价关系： xy ) 1 ,(,yx或者或者)2 , 1 ,yx), 2,yx 设在这个等价关系下得到的商集,试写出2,1 ,0YY的商拓扑T. 11 答案：1 ,0,0, Y T 6、在实数空间R中给定如下等价关系: xy 1 ,(,yx或者2 , 1 (,yx或者), 2(,yx 设在这个等价关系下得到的商集3,2,1Y,试写出Y的商拓扑T . 答案： , ,3,2,3T Y 7、在实数空间R中给定如下等价关系： xy ) 1 ,(,yx或者或者)2 , 1 ,yx), 2,yx 设在这个等价关系下得到的商集,试写出 1,1,2YY的商拓扑T. 答案： , , 1, 1,1T Y 8、在实数空间R中给定如下等价关系： xy ) 1 ,(,yx或者或者)2 , 1 ,yx), 2,yx 设在这个等价关系下得到的商集,试写出 2,1,2YY的商拓扑T. 答案： , , 2, 2,1T Y 9、在实数空间R中给定如下等价关系: xy 1 ,(,yx或者2 , 1 (,yx或者), 2(,yx 设在这个等价关系下得到的商集0,2,3Y,试写出Y的商拓扑T . 答案： , ,3,2,3T Y 10、在实数空间R中给定如下等价关系: xy 1 ,(,yx或者2 , 1 (,yx或者), 2(,yx 设在这个等价关系下得到的商集0,2,4Y,试写出Y的商拓扑T . 答案： , ,4,2,4T Y 11、在实数空间R中给定如下等价关系: xy 1 ,(,yx或者2 , 1 (,yx或者), 2(,yx 12 设在这个等价关系下得到的商集 1,2,4Y,试写出Y的商拓扑T . 答案： , ,4,2,4T Y 六、证明题（每题 8 分） 六、证明题（每题 8 分） 1、设:fXY是从连通空间X到拓扑空间的一个连续映射.则Y()f X是的一个连通子集. Y 证 明 ：证 明 ： 如 果()f X是的 一 个 不 连 通 子 集 ， 则 存 在Y的 非 空 隔 离 子 集Y,A B使 得 ()f XAB 3 分 于是 11 ( ),( )fAfB 是X的非空子集，并且： 1111 1111 1 ( )( )( )( ) ( )( )( )( ()() fAfBfBfA )fAfBfBfA fABAB 所以 11 ( ),( )fAfB 是X的非空隔离子集 此外， 111 ( )( 1 ( )()(