数学模型课件

动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,微分方程模型,微分方程,微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。,微分方程模型分为：1.常微分方程(组)模型;2.偏微分方程(组)模型在常微分方程（组）中影响结果的变量只有一个；而偏微分方程研究的是有多个变量影响结果时的规律。,常数变易法：它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。,分离变量法：(1)可分离变量方程：(2)齐次方程：常数变易法：(1)线性方程，(2)伯努里方程，积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。,对于一阶隐式微分方程有参数法：(1)不含x或y的方程:(2)可解出x或y的方程：对于高阶方程，有降阶法：恰当导数方程一阶方程的应用问题（即建模问题）。,2一阶线性微分方程组;3.高阶线性微分方程;n阶线性常系数微分方程解法;4.常微分方程的基本定理;5.常微分方程的稳定性理论;6.常微分方程的定性理论;7.差分方程;8.偏微分方程。,微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示.,微分方程建模法总述,微分方程建模适用的领域:1.纯数学（特别是几何）,2.物理学（如动力学、电学、核物理学等）3.航空航天（火箭、宇宙飞船技术），4.考古（鉴定文物年代），5.交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时间），6.生态（人口、种群数量），7.环境（污染），8.资源利用（人力资源、水资源、矿藏资源、运输调度、工业生产管理），,9.生物（遗传问题、神经网络问题、动植物循环系统），10.医学（流行病、传染病问题），11.经济（商业销售、财富分布、资本主义经济周期性危机），12.战争（正规战、游击战）等。,微分方程模型是连续性模型中最主要的部分，模型的建立主要是基于机理分析的方法，利用所研究问题内部的联系，利用微元法，通过建立微分方程或微分方程组描述问题的本质。所谓微元法就是考察变量的一个微小变动对结果的影响，进而得到反映变化规律的微分方程。,求解微分方程的方法大致有两类：1.得到显式表示的完全解，进而通过解的表达式分析模型结果；2.数值解法，这种解法通常需要计算软件的协助，解的结果通常使用图形的方式表示，或者可以求出某些关键点的函数值。,大多数微分方程模型的建立是基于平衡原理的分析。平衡原理:指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配。注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题。,因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1.根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。2.找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。3.运用这些规律列出方程和定解条件。,大体来说列常微分方程常见的方法有：（i）按规律直接列方程在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等。我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。,（ii）微元分析法与任意区域上取积分的方法自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。例如上面提到的水池问题等。,（iii）模拟近似法在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。,在实际的微分方程建模过程中，也往往是上述方法的综合应用。不论应用哪种方法，通常要根据实际情况，作出一定的假设与简化，并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照验证，以修改模型使之更准确地描述实际问题并进而达到预测预报的目的。,涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、“运动”、“追赶”、“逃跑”、等等词语的确定性连续问题。,b、微分方程建模的基本手段微元法等,简单来说：a、微分方程建模的对象,1、寻找改变量一般说来微分方程问题都遵循这样的文字等式变化率（微商）=单位增加量单位减少量等式通常是利用已有的原则或定律。,c、微分方程建模的基本规则,2、对问题中的特征进行数学刻画,3、用微元法建立微分方程；4、确定微分方程的定解条件（初边值条件）；5、求解或讨论方程（数值解或定性理论）；6、模型和结果的讨论与分析。,具体建立微分方程模型的方法如下：1利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型。这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。,例如：在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，证明其具有这一性质的曲线只有抛物线。,我们就是利用了题目中隐含的条件入射角等于反射角来建立微分方程模型的。,例如：在天文学、气象学中常用到的等角轨线。已知曲线或曲线族(c)，求曲线（等角轨线或正交轨线），使与(c)中每条曲线相交成给定的角度（这是题目中明确给出的条件，）即曲线的切线相交成给定的角度。,我们可在它们的导数之间建立联系，又题目中隐含的条件是：在与(c)中曲线相交点处，它们的函数值相等；这样，我们只要求出已知曲线或曲线族的微分方程，根据它们之间的联系，就可以建立等角轨线的微分方程模型，从而求出等角轨线的方程。,2从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型。我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。,例如：1.从几何观点看，曲线y=y(x)上某点的切线斜率即函数y=y(x)在该点的导数；2.力学中的牛顿第二运动定律：f=ma,其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一阶导数；3.电学中的基尔霍夫定律等。从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。,例:在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。,解:对于高空下落的物体，我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型。设物体质量为m，空气阻力系数为k，在速度v不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时刻t时物体的下落速度为，初始条件：,由牛顿第二运动定律建立其微分方程模型：,求解模型可得：,由上式可知，当时，物体具有极限速度：,其中，阻力系数,为与物体形状有关的常数，为介质密度，s为物体在地面上的投影面积。根据极限速度求解式子，在一定时，要求落地速度不是很大时，我们可以确定出s来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的直径大小来。,3利用导数的定义建立微分方程模型。,导数是微积分中的一个重要概念，其定义为：,商式单位自变量的改变量对应的函数改变量，即函数的瞬时平均变化率。其极限值函数的变化率。函数在某点的导数函数在该点的变化率。,例如：在考古学中，为了测定某种文物的绝对年龄，我们可以考察其中的放射性物质（如镭、铀等），已经证明其裂变速度（单位时间裂变的质量，即其变化率）与其存余量成正比。,由于一切事物都在不停地发展变化，变化就必然有变化率，也就是变化率是普遍存在的，因而导数也是普遍存在的。这就很容易将导数与实际联系起来，建立描述研究对象变化规律的微分方程模型。,我们假设时刻t时该放射性物质的存余量R是t的函数，由裂变规律，我们可以建立微分方程模型:其中是k一正的比例常数，与放射性物质本身有关。求解该模型，我们解得：其中c是由初始条件确定的常数。从这个关系式出发，我们就可以测定某文物的绝对年龄。（参考碳定年代法）,另外，在经济学领域中，导数概念有着广泛的应用，将各种函数的导函数（即函数变化率）称为该函数的边际函数，从而得到经济学中的边际分析理论。,对于这类问题，我们不能直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式，而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。,4利用微元法建立微分方程模型。,一般的，如果某一实际问题中所求的变量p符合下列条件：1)p是与一个变量t的变化区间a,b有关的量；2)p对于区间a,b具有可加性；3)部分量的近似值可表示为。,那么就可以考虑利用微元法来建立微分方程模型，其步骤是：首先根据问题的具体情况，选取一个变量例如t为自变量，并确定其变化区间a,b；其次在区间a,b中随便选取一个任意小的区间并记作，求出相应于这个区间的部分量的近似值。,如果能近似的表示为a,b上的一个连续函数在t处的f(t)值与dt的乘积，我们就把f(t)dt称为量p的微元且记作dp。这样，我们就可以建立起该问题的微分方程模型：dp=f(t)dt。对于比较简单的模型，两边积分就可以求解该模型。,例如:1.在几何上求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体体积、空间立体体积；2.代数方面求近似值以及流体混合问题；3.物理上求变力做功、压力、平均值、静力矩与重心；这些问题都可以先建立他们的微分方程模型，然后求解其模型。,例高为1m的半球形容器，其底部有横截面积为1cm2的小孔，水从小孔流出（见图），开始时容器内盛满了水，求水面高度变化规律及水流完所需时间。既可用我们在高等数学中学过的微元法来求解。,例求一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止开始落向地面，求它落到地面时的速度和所需的时间（空气阻力忽略不计）。,解：取连接地球中心与该物体的直线为y轴，其方向铅直向上，地球中心为原点。,5熟悉一些经典的微分方程模型，对一些类似的问题，经过稍加改进或直接套用这些模型。,多年来，在各种领域里，人们已经建立起了一些经典的微分方程模型，熟悉这些模型对我们是大有裨益的。接下来，我们将重点了解一些著名的、经典的微分方程模型，例如生物种群模型、人口问题模型、传染病模型、经济增长模型：,应用微分方程的各种模型1.纯数学（特别是几何）模型,2.物理学（如动力学、电学、核物理学等）模型，3.航空航天（火箭、宇宙飞船技术）模型，4.考古（鉴定文物年代）模型，5.交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时间）模型，6.生态（人口、种群数量）模型，7.环境（污染）模型，8.资源利用（人力资源、水资源、矿藏资源、运输调度、工业生产管理）模型，,9.生物（遗传问题、神经网络问题、动植物循环系统）模型，10.医学（流行病、传染病问题）模型，11.经济（商业销售、财富分布、资本主义经济周期性危机）模型，12.战争（正规战、游击战）模型等。(其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。下面，我们给出如何利用方程知识建立数学模型的几种方法。),熟悉一些经典的微分方程模型，对一些类似的问题，经过稍加改进或直接套用这些模型。,多年来，在各种领域里，人们已经建立起了一些经典的微分方程模型，熟悉这些模型对我们是十分有益的。我们将重点了解一些著名的、经典的微分方程模型，例如：人口问题模型、传染病模型、经济增长模型等。,问题的提出假设和定义模型的建立分析和求解结论和讨论,人口预测和控制,1.问题的提出,人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一，一些发展中国家的人口出生率过高，越来越威胁着人类的正常生活，有些发达国家的自然增长率趋于零，甚至变为负数，造成劳动力紧缺，也是不容忽视的问题。另外，在科学技术和生产力飞速发展的推动下，世界人口以空前的规模增长，统计数据显示：,可以看出，人口每增长十亿的时间，由一百年缩短为十二三年。我们赖以生存的地球，已经带着它的60亿子民踏入了21世纪。长期以来，人类的繁衍一直在自发地进行着。只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系，人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问题。,我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表：,有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。,认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提，下面介绍两个最基本的人口模型。,2.模型1(Malthus模型)18世纪末，英国人Malthus在研究了百余年的人口统计资料后认为，在人口自然增长的过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率为净增长率）是常数。,返回,这个模型可以与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据很好地吻合，但是当后来人们用它与19世纪的人口资料比较时，却发现了相当大的差异。人们还发现，迁往加拿大的法国移民后代的人口比较符合指数增长模型。而同一血统的法国本土居民人口的增长却与指数模型大相径庭。,分析表明，以上这些现象的主要原因是随着人口的增长，