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3收敛定理的证明,本节来完成对傅里叶级数收敛定理的证明,为此先,证明两个预备定理.,预备定理1(贝塞尔(Bessel)不等式)若函数f在,上可积,则,式.,返回,证令,考察积分,由于,根据傅里叶系数公式(1(10)可得,将(3),(4)代入(2)，可得,因而,所以正项级数,的部分和数列有界,因而它收敛且有不等式(1)成立.,推论1若f为可积函数,则,这个推论称为黎曼勒贝格定理.,推论2若f为可积函数,则,证由于,所以,其中,左边的极限为零.,同样可以证明,显见与和f一样在上可积.由推论1,(7),当t=0时,被积函数中的不定式由极限,来确定.,证在傅里叶级数部分和,中,用傅里叶系数公式代入,可得,分,再由第十二章3的(21)式,即,由上面这个积分看到,被积函数是周期为的函数,这就得到,(8)式也称为f的傅里叶级数部分和的积分表达式.,现在证明定理15.3(收敛定理).重新叙述如下:,于f在点x的左、右极限的算术平均值,即,证只要证明在每一点x处下述极限成立:,即,或证明同时有,与,先证明(10)式.对(9)式积分后得到,又得到,从而(10)式可改写为,令,由1,(13)式得到,所以在上可积.根据预备定理1和推论2,这就证得(12)式成立,
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