数值分析-李庆扬-第9章--常微分方程初值问题数值解法

2020年6月1日，1，例如，时，第9章常微分方程初始值问题的数值解法，9.1引言，微分方程：包含参数、未知函数和未知函数导数或微分的方程。 例如，求解、求解的条件：求解微分方程时添加的条件求解问题。 初始条件：给出积分曲线的初始时间值33，354的初始值的问题。 对于实例：边界条件：给出积分曲线的开始两端值周围的值的问题。 常微分方程：未知函数是一元函数。 偏微分方程：未知函数是多变量函数。 2020年6月1日，2，一阶常微分方程初值问题：解，注意：解函数，积分曲线； 微分函数。 存在初值问题的解，唯一确定了李普希茨条件。 将、2020年6月1日、3、如果存在实数，则满足李普希茨条件称为李普希茨常数。 解释：条件可以理解为解函数无限接近，微分函数也无限接近。 定理1连续地设置在区域中，对于满足李普希茨条件，任意地，常微分方程初始值问题中存在唯一的连续可微分解。 2020年6月1日，4，对于方程解对扰动的敏感性有结论：定理2在区域上连续且满足李普希茨条件作为初始值问题，其解指示定理对解的初始值的敏感性，即初始值不同。 解也存在差异解的敏感性与微分函数有关：当时的李普希常数小时，解对初始值相对不敏感增大时，初始值的干扰会引起解的急剧变化-病态问题，2020年6月1日，5，数值解法：在一系列离散点求近似值。 “步进式”:沿着节点的排列顺序，一步一步地前进。 步骤：常用等步骤，节点为单步法：计算时，仅上一点的值，步骤法：计算时，上一点的值，2020年6月1日，6，9.2的简单数值方法，9.2.1欧拉法和后退欧拉法，初始值问题：解的形式：通过点的曲线，积分曲线。 特征：积分曲线上各点切线的斜率为2020年6月1日、7日，犹太方法：离散解区间，选择步长，得到离散点： 切线、切线与交点：的近似值进一步向前，得到折线、近似值。 2020年6月1日，8，任何折线：过点为直线，斜率：欧拉法，如果初始值已知，则可逐步计算：2020年6月1日，9，p81例1解初始值问题：解：欧拉式：2020年6月1日，10，局部截止误差：正确计算上一步的值计算下一步出现的误差，假定：泰勒展开函数：局部截止误差：2020年6月1日，11，后退欧拉法：离散化：求微分方程的密钥，解导数项，一种基本的方法是用差商替换导数项。 例如：向前的Euler公式(显式)，2020年6月1日，12，同样：后退的Euler公式(隐式)，注意：显式计算方便，使用隐式稳定性好的上式隐式，迭代法求解。 2020年6月1日、13，Euler方程的另一理解：重写常微分方程，从积分到积分微分方程，从积分左矩形方程得到，取而代之的是之前的Euler方程，2020年6月1日、14，从积分到积分微分方程，从积分右矩形方程得到， 相反，可以从之后的Euler方程式得出：类似地，2020年6月1日，15重复方程式：向后退Euler方程式首先以Euler形式获得初始值2020年6月1日、17日，局部截断误差、后退Euler方程、前进Euler方程被证明，平均误差可以减少梯形。 (注意：误差无法消除，两个公式不同。2020年6月1日，18，9.2.2梯形法，前向Euler法，后向Euler法，梯形法：两者的平均，注意：梯形法有效地减小误差，计算结果更接近实际值。 (图中表示梯形法的计算结果)，2020年6月1日，19日，使用反复法，反复进行梯形法，(用上述式子求初始值)，(代入之前的结果)，反复进行反复直到反复结果达到误差要求为止。 问题：每个节点都需要迭代计算，计算量太大。 2020年6月1日，20日，分析迭代过程的收敛性：将梯形与其迭代公式进行比较，减去：回收条件，选择充分小，改进2020年6月1日，21，9.2.3 Euler公式，采用前向Euler公式求初步近似值，预测：并将梯形修正结果，修正：平均格式：2020年6月1日，22，P284例2用改进的欧拉法求解初值问题：2020年6月1日，23，9.2.4单步法的局部截断误差与步阶，初值问题单步法求解的一般格式是(其中与多元函数有关) 此外，显示的单步法被称为增加函数，例如，对于欧拉法，2020年6月1日，24日，定义1作为初始值问题的正确解，可以称为显示的单步法的局部截止误差。 注意：上文中，由于前一步骤假设无误差，误差是局部的。 当时，一旦计算出一步，则有的局部截止误差：是计算出一步的误差，也是公式误差。2020年6月1日、25日，用泰勒展开函数，欧拉法的局部截断误差在此称为局部截断误差的主项。 很明显，2020年6月1日，26，定义2是初值问题的正确解，最大的整数满足显式单步法的局部截断误差，据说该方法具有步进精度。 展开写入局部截止误差，称为局部截止误差的主项。 2020年6月1日，27，以上定义也适用于隐式单步法。 同样地，用泰勒展开函数，后退Euler方法的局部切割误差在这里是一次方法，局部切割误差的主项是2020年6月1日、28日，同样是梯形，局部切割误差是梯形或二次方法，局部切割误差的主项是2020年6月1日、29、9.3龙格-库特方法， 9.3.1显式龙格-库塔法的一般形式，Euler法、Euler法为阶，其增量函数为改进的Euler法，其增量函数为，2020年6月1日，30，提高公式的阶数：增加函数中的值，对线性常微分方程式提高等价积分形式， 提高公式的次数：需要提高数值的积精度，增加积节点，说明：积节点越多，积分精度越高，求出公式的次数越多，则为：增加函数，注意： 级数，级数，两者不同，2020年6月1日，关于31级明示式龙格-库塔法：考察区间内的一点，两点：结构增量函数： 2020年6月1日，32，预测可用Euler公式：因此二级显式龙格-库塔法：2020年6月1日，33，同样需要三级显式龙格-库塔法：注意：的线性组合计算，0年6月1日，34级显式龙格-库塔法： R-K法，此处为常数，时间为2020年6月1日，35，9.3.2阶显式R-K法，时，R-K法为式：此处未定常数，期待：适当选择系数，尽可能提高式的次数，2020年6月1日，36，局部截止误差在此将函数展开为泰勒，注意二元函数，其导数应为全导数2020年6月1日，37，2020年6月1日，38，使结果具有局部截断误差：2020年6月1日，39，使式具有等级，非线性方程式的解不是唯一的。可令，2020年6月1日，40，若取：改良Euler法，若取：中点式：相当于数值积分的中矩形式，2020年6月1日，41，9.3.3层和4层的显式R-K法，得到3层的显式R-K法，全部未定参数，2020年6月1日，42，式的局部截断误差用二元函数泰勒展开，这是8个未知量，6个方程的非线性方程，2020年6月1日，43，常见公式之一：库塔三次方法，2020年6月1日，44，经典公式之一：四次龙格-库塔方法，可以证明：四次龙格-库塔方法的截断误差，2020年6月1日，44 在p89例3中设置步骤，用四次龙格-库塔方法解决初始值问题：解：式为、2020年6月1日、46，计算结果：此处步骤变大，计算精度比改善Euler法重要，2020年6月1日、47、9.3.4变化步骤的龙格-库塔方法、斯局部截断误差减少了，但求解范围内的计算步数增加，计算量增大了步数的增加导致舍入误差的严重积累。 选择步长尺寸时应考虑的两个问题：如何测量和验证计算结果的精度？ 以得到的精度如何处理步骤？ 2020年6月1日、48日，考察经典的四阶龙格-库塔式：从节点开始，首先求出一个近似步骤，将步骤折叠一半