浙江杭州学军中学高二数学期中

杭州学军中学2019学年第二学期期中考试高二数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数的导数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由乘法求导法则求出函数的导数，再进行化简即可.【详解】由可得： 故答案选B【点睛】本题考查乘积的导数法则，熟练掌握乘积的导数法则和导数公式是解决本题的关键，属于基础题.2.若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y=3x2+2x+m0恒成立，即=412m0，m故选：C3.用数学归纳法证明，则从到时,左边所要添加的项是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据式子的结构特征，求出当n=k时，等式的左边，再求出n=k+1 时，等式的左边，比较可得所求详解：当n=k时，等式的左边为，当n=k+1 时，等式的左边为，故从“n=k到n=k+1”，左边所要添加的项是，故选D.点睛：本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化4.自二面角内一点分别向两个平面引垂线，它们所成的角与二面角的大小关系是（ ）A. 相等B. 互补C. 无关D. 相等或互补【答案】C【解析】解：利用二面角的定义，可知二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角相等或者互补，选C5.如图：抛物线的焦点为，弦过，原点为，抛物线准线与轴交于点，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出抛物线焦点和准线方程，从而得到点坐标，由，可得直线的方程，由的方程与抛物线的方程联立消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系算出点与点的坐标，然后利用向量来求解.【详解】由抛物线可得：焦点坐标（1，0），准线方程为：；点坐标为（-1，0）；又弦过，；直线的斜率为1，方程为，又点与点抛物线上两方程联立，得到，解得： ，；故点，点；， ，由于，故 ； ；故答案选D【点睛】本题考查抛物线的焦点坐标与准线方程，同时考查求根公式，最后利用向量的数量积求角的三角函数值是关键，属于中档题.6.已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则与平面垂直的直线有（ ）条A. 0B. 1C. 2D. 无数个【答案】B【解析】试题分析：过上的点作与平面的平行平面，分别与线段与相交与，由面面平行的性质可得，平行平面，而这样的平面可以做无数个，故与平面平行的直线有无数条考点：线面平行的判断7.如图，矩形中，沿对角线将折起，使点在平面内的射影落在边上，若二面角的平面角的大小为，则的值等（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意证明平面以及平面即可说明是二面角的平面角，解即可得到答案.【详解】由点在平面内的射影落在边上点处，故平面，平面；，在矩形中，且交于点，平面，又平面，故，又在矩形中，且交于，故平面；又平面，故，由于，平面平面，平面，平面；是二面角的平面角，即，在中，由平面，平面，可知，又矩形中，故，故 故答案选A【点睛】本题考查二面角的平面角及求法，线面垂直的证明以及性质，其中求出二面角的平面角是解题关键，属于中档题.8.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有（ ）A. 25个B. 26个C. 36个D. 37个【答案】C【解析】设三角形另外两边为X,Yx+y11 x-y11x11,y0，才能有恒成立.此时,设g(x)=所以所以故答案为：A点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，考查利用导数解答恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是原不等式可以化为，求,其二是设g(x)=求g(x)的最大值.二、填空题（请将答案填在答题卷中的横线上）11.设为虚数单位，则复数的虚部为_,模为_【答案】 (1). -2, (2). 【解析】，的虚部为，故答案为（1）；（2）.12.过原点作曲线的切线，则切点的坐标为_，切线的斜率为_【答案】（1,） e【解析】试题分析：设切点为，因为y=ex，所以，所以切线方程为：，因为切线方程过原点，把原点坐标代入，得，所以切点坐标为，切线的斜率为。考点：导数的几何意义；曲线切线方程的求法。点评：我们要注意“在某点处的切线方程”和“过某点的切线方程”的区别。属于基础题型。13.正四面体的棱长为2，棱平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的最小值是_，最大值是_【答案】 (1). ， (2). 【解析】【分析】当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影图形的一边始终是的投影，长度为2，而发生变化的是投影的高，找出高的变化，得到答案.【详解】因为正四面体的对角线互相垂直，且棱平面，当平面，这时的投影面是对角线为2的正方形，此时面积最大，为；当平面，射影面的面积最小，此时构成的三角形底边2，高是直线到的距离，为，射影面积为；正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的最小值是，最大值是【点睛】本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题，注意解题过程中的投影图的变化情况，属于中档题.14.已知双曲线的其中一条渐近线经过点，则该双曲线的右顶点的坐标为_，渐近线方程为_【答案】 (1). (2). 【解析】的渐近线方程过点，右顶点为，渐近线方程为，即，故答案为(1) ， (2) .15.正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，为的中点、分别是、上的动点（含端点），且满足当运动时，下列结论中正确的是_ (填上所有正确命题的序号)平面平面；三棱锥的体积为定值；可能为直角三角形；平面与平面所成锐二面角范围为【答案】【解析】【分析】由，得到线段一定过正方形的中心，由平面，可得平面平面；由的面积不变，到平面的距离不变，可得三棱锥的体积为定值；利用反证法思想说明不可能为直角三角形；平面与平面平行时所成角为0，当与重合，与重合，平面与平面所成的锐二面角最大.【详解】如图：当、分别是、上的动点（含端点），且满足，则线段一定过正方形的中心，而平面，平面，可得平面平面，故正确；当、分别是、上的动点（含端点），过点作边上的高的长等于的长，所以的面积不变，由于平面，故点到平面的距离等于点到平面的距离，则点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值；所以正确；由可得: ,若为直角三角形，则一定是以为直角的直角三角形，但的最大值为，而此时，的长都大于，故不可能为直角三角形，所以不正确；当、分别是、的中点，平面与平面平行，所成角为0；当与重合，与重合，平面与平面所成锐二面角最大；延长角于，连接，则平面平面，由于为的中点，所以，且，故在中，为中点，为中点，在中，为中点，为中点，故，由于平面，所以平面，则， 所以平面与平面所成锐二面角最大为，故正确；故答案为【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查棱柱的结构特征，考查学生空间想象能力和思维能力，属于中档题.16.一条街道上有10盏路灯，将路灯依次排列并编号1到10有关部门要求晚上这10盏路灯中相邻的两盏灯不能全开，且这10盏路灯中至少打开两盏路灯则符合要求的开法总数_【答案】133【解析】【分析】由题可知10盏路灯中至少打开两盏路灯，最多开5盏，再利用插空法分别求出开2，3，4，5盏的情况数，即可得到答案.【详解】要满足这10盏路灯中相邻的两盏灯不能全开，且这10盏路灯中至少打开两盏路灯，则10盏路灯中至少打开两盏路灯，最多开5盏；当开2盏时，符合要求的开法总数：种；当开3盏时，符合要求的开法总数：种当开4盏时，符合要求的开法总数：种当开5盏时，符合要求的开法总数：种，所以符合要求的开法总数：36+56+35+6=133故答案为133.【点睛】本题考查分类计数原理，以及排列组合中的插空法，属于中档题.17.已知函数的图象恰好经过三个象限，则实数的取值范围是_【答案】或【解析】【分析】分类讨论函数的单调性，计算在上的最小值，根据函数经过的象限得出最小值与零的关系，从而求出实数的取值范围.【详解】（1）当时，在上单调递减，又，所以函数的图象经过第二、三象限，当时，所以，若时，恒成立，又当时，所以函数图象在时，经过第一象限，符合题意；若时，在上恒成立，当时，令，解，所以在上单调递减，在上单调递增，又所以函数图象在时，经过第一象限，符合题意；（2）当时，的图象在上，只经过第三象限，在上恒成立，所以的图象在上，只经过第一象限，故不符合题意；（3）当时，在上单调递增，故的图象在上只经过第三象限，所以在上的最小值，当时，令，解得，若时，即时，在上的最小值为，令.若时，则在时，单调递减，当时，令，解得，若，在上单调递增，故在上的最小值为，令，所以；若，在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为，显然，故；结上所述：或.【点睛】本题考查了函数单调性判断和最值计算，考查了数学运算能力.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少?（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有多少?（3）在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第几个?【答案】（1）36个（2）36个（2）49个【解析】【分析】（1）先排个位数，方法数有种，然后排万位数，方法数有种，剩下百位、十位和千位任意排，方法数有种，再按分步乘法计数原理即可求得种类数.（2）把数字1和3捆绑在一起，则相当于有4个位置，最高位不为0，其余位置任意排；（3）计算出比30124小的五位数的情况，即可知道30124排第几个.【详解】（1）在组成的五位数中，所有奇数的个数有个；（2）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有个；（3）要求在组成的五位数中，要求得从小到大排列，30124排第几个，则计算出比30124小的五位数的情况，比30124小的五位数，则万位为1或2，其余位置任意排，即，故在组成的五位数中比30124小的数有48个，所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30124排第49个.【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，主要是数字的排列.要注意的问题主要是有特殊条件或者特殊要求的，要先排特殊位置或优先考虑特殊要求.如本题中，第一问要求是奇数，那么就先排个位.由于数字的万位不能为零，故第二考虑的是万位，本小题属于基础题.19.已知函数（1）求的图像在点处的切线方程；（2）求在区间上的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先求出,再求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）利用导数研究函数的单调性可得当时，递增；当时递减；可得所以，.试题解析：（1），所以 则.又，所以的图象在点处的切线方程为.（2）由（1）知.因为与都是区间上的增函数，所以是上的增函数.又，所以当时，即，此时递增；当时，即，此时递减；又，.所以，.所以在区间的取值范围为【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.20.已知四棱锥的底面是菱形，的中点是顶点在底面的射影，是的中点（1）求证：平面平面；（2）若，直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)见解析（2）【解析】试题分析:(1)根据菱形性质得MBBC，再根据射影定义得PM平面ABCD ，即得PMBC ，由线面垂直判定定理得BC平面PMB，最后根据面面垂直判定定理得结论，(2)先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解平面PMC法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求直线BN与平面PMC所成角的正弦值.试题解析: (1)证明四边形ABCD是菱形，ADC120，且M是AD的中点，MBAD，MBBC.又P在底面ABCD的射影M是AD的中点，PM平面ABCD，又BC平面ABCD，PMBC，而PMMBM，PM，MB平面PMB，BC平面PMB，又BC平面PBC，平面MPB平面PBC.(2)解法一过点B作BHMC，连接HN，PM平面ABCD，BH平面ABCD，BHPM，又PM，MC平面PMC，PMMCM，BH平面PMC，HN为直线BN在平面PMC上的射影，BNH为直线BN与平面PMC所成的角，菱形ABCD中，设AB2a，则MBABsin 60a，MCa.又由(1)知MBBC，在MBC中，BHa，由(1)知BC平面PMB，PB平面PMB，PBBC，BNPCa，sinBNH.法二由(1)知MA，MB，MP两两互相垂直，以M为坐标原点，以MA，MB，MP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz，不妨设MA1，则M(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，0)，P(0，0，)，C(2，0)，N是PC的中点，N，设平面PMC的法向量为n(x0，y0，z0)，又(0，0，)，(2，0)，即令y01，则n，|n|，又，|，|cos，n|.所以，直线BN与平面PMC所成角的正弦值为.21.设椭圆的离心率，抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作两条斜率都存在的直线，设与椭圆交于两点，与椭圆交于两点，若是与的等比中项，求的最小值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点可得，再根据离心率求得，从而可得，进而可得结果；（2）先利用勾股定理证明，可设直线，直线，分别与椭圆方程联立，根据韦达定理，两点间距离公式求得 ，化为，利用基本不等式求解即可.【详解】（1）依题意得椭圆C的右焦点F的坐标为，即，又，所以，故椭圆C的标准方程为.（2）因为是与的等比中项，所以，即，所以直线，又直线