苏教高中数学选修22间接证明_第1页
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文档简介

间接证明（1）教学目标（1）理解间接证明的概念及其一般思路； （2）能初步地运用间接证明的思路去解决数学问题教学重点，难点间接证明思路的运用教学过程一问题情境间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法例如，在数学2（必修）第3章中，证明命题：“在长方体中，与是异面直线”的过程是：假设与共面，由于经过点和直线的平面只能有一个（即底面），所以直线和都应在底面内，于是在底面内，这与点在底面外矛盾因此，直线与是异面直线二建构数学 上述证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明反证法就是一种常用的间接证明方法 反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程用反证法证明命题“若则”的过程可以用下图所示的框图表示这个过程包括下面三个步骤：（1）反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；（2）归缪从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；（3）存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立说明：1归缪包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾或与已知条件、临时假定矛盾，以及自相矛盾等各种情形2运用反证法时的情形常有以下几种：直接证明比较困难，而从结论的否定入手较易于推出矛盾的命题结论的反面比结论本身更为具体明确的命题结论中含有至多或至少、最大或最小的命题条件很少的命题三数学运用1例题：例1求证：正弦函数没有比小的正周期证明：假设是正弦函数的周期，且，则对任意实数都有 成立令，得，即又，故，从而对任意实数都有，这与矛盾所以，正弦函数没有比小的正周期例2证明：不是有理数证明：假设是有理数，则可设， 其中为互素的整数，将式的两边平方，变形后得 式表明，是的倍数，从而也必是的倍数这样又可设，代入 式，整理后得 式表明，是的倍数，所以也必是的倍数这样，和都是的倍数，它们至少有公约数，与为互素的假定矛盾因此，不是有理数例3已知都是大于而且小于的实数求证：中至少有一个不大于分析：结论的否定是都大于，这样比原命题的结论更加具体明确，因此我们可以尝试运用反证法证明：假设，则由基本不等式可得，于是，这与事实矛盾，从而假设不成立，原命题成立所以中至少有一个不小于2练习：1已知是整数，为偶数
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