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文档简介

等腰三角形腰上中线的若干思考角度,江苏省仪征中学数学组陆烽琴,题目：已知等腰三角形一腰上的中线长为2，则该三角形面积的最大值为。,法一（以腰长为变量）如图所示，设腰长为,，根据余弦定理，得,取等条件为，,即腰长为，该三角形的面积的最大值为。,题目：已知等腰三角形一腰上的中线长为2，则该三角形面积的最大值为。,法二（以顶角为变量）如图所示，设腰长为，,根据余弦定理，得,解得,题目：已知等腰三角形一腰上的中线长为2，则该三角形面积的最大值为。,法三（建对称系）以底边AB的中点为原点建系，设三个顶点的坐标分别为,根据中线长为2，由两点间距离公式，得,化简得,题目：已知等腰三角形一腰上的中线长为2，则该三角形面积的最大值为。,法四（中线长公式）设底边为,高为,则腰长为,根据中线长公式,得,整理得,以下同法三，略。,题目：已知等腰三角形一腰上的中线长为2，则该三角形面积的最大值为。,法五（阿波罗尼斯圆）中线,长固定，顶点,满足,所以点,的轨迹是阿波罗尼斯圆。,该圆与中线,的两个交点,满足,故其半径为,所以,题目：已知等腰三角形一腰上的中线长为2，则该三角形面积的最大值为。,法六（利用对称性构造重心）,设另一腰上的中线为，,重心为，,则,当且仅当两腰上的中线垂直时取得等号。,A,B,C,D,N,G,题目：已知等腰三角形一腰上的中线长为2，则该三角形面积的最大值为。,法七（海伦公式）,设腰长为，,则,的半周长为,根据海伦公式，得,评价,法一和法二是学生应掌握的通法，它走的是函数的路子，选定一个变化的量（腰长或顶角），把面积表示为这个量的函数，这道题比较合适的面积公式有正弦定理和海伦公式形式；法三的建系是处理对称图形的常用方法，任何层次的学生都必须熟练掌握；法四是利用中线长公式得到底边和高的关系，和法三的最终落脚点相同；法五的阿波罗尼斯圆是知识型解法，阿氏圆的半径可以通过建系或者构图来求得，此法虽在本题中相对于其他解法并无明显优势，但是这种对边长比例关系的理解值得学习与体会
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