第一章第七节四种命题练习方案人教

第一章 第七节四种命题练习方案http:/www.DearEDU.com【基础知识精讲】1.四种命题关于逆命题，否命题与逆否命题，也可以如下表述：交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题.如，同位角相等，两条直线平行，它的逆命题就是两条直线平行，同位角相等.同时否定命题的条件和结论，所得的命题是否命题，如上例的否命题就是同位角不相等，两条直线不平行.交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.如例的逆否命题是两条直线不平行，同位角不相等.2.四种命题之间的关系互逆命题，互否命题与互为逆命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题，否命题与逆否命题.四种命题之间的关系如图所示.3.一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系原命题为真，它的逆命题不一定为真例如，原命题“若a=0，则ab=0”是真命题，它的逆命题“若ab=0，则a=0”是假命题.原命题为真，它的否命题不一定为真例如，原命题“若a=o，则ab=0”是真命题，它的否命题“若a0，则ab0”是假命题.原命题为真，它的逆否命题一定为真例如，原命题“若a=o，则ab=0”为真命题，它的逆否命题是“若ab0，则a0”是真命题.4.反正法反证法推证问题模式框图反证法的理论根据是：原命题为真，则它的逆否命题也为真.在直接证明原命题有困难时，就可转化为证明它的逆否命题成立.用反证法证明命题的一般步骤是第一步：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；第二步：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；第三步：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.一般地来说，在什么条件下(或问题中)想到用反证法来证明，下面提供几种情形作为参考.第一，问题共计有n种情况，现要证明其中一种情况成立时，可想到用反证法证明把其他的n-1种情况都排除，从而确定这种情况成立.如，要证明两条直线相交，可用反证法证明这两条直线平行不成立，因为在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交，平行不成立，那么间接的证明两条直线相交；第二，命题用否定形式叙述的，如证明2不是方程2x+1=0的根，可用反证法证明，假设2是方程2x+1=0的根，则22+1应等于0，而22+1=5，产生矛盾，从而确定2不是方程2x+1=0的根成立；第三，命题用“至少”的字样叙述时，可用反证法证明，如证明ab，bc至少有一个成立，那我们可用反证法证明如下：假设ab，bc都不成立，即a=b且b=c，从这一条件出发推得矛盾，故a=b，且b=c不成立，因此，ab，bc至少有一个成立；第四，当命题成立非常明显，而要直接证明，所用的理论不少，且不容易说明白，而它的逆命题易证，如第一中的举例，证明两条直线相交的依据几乎没有，而平行线有很多性质，易于推理，因此，用反证法把证明两条直线相交问题转化到平行线的性质.5.否命题与命题的否定是两个不同的概念若p表示命题，“非p”叫做命题的否定.如果原命题是“若p则q”，那么这个原命题的否定是“p则非q”，即只否定结论.原命题的否定命题是“若非p，则非q”，即否定条件又否定结论，例如“菱形的四条边都相等”的否定为“菱形的四条边不都相等”；把“菱形的四条边都相等”作为原命题，则它的否命题是“若四边形不是菱形，则它的四条边不都相等.”【重点难点解析】本节的重点是四种命题的关系，难点是反证法。1.有时一个命题的叙述方法是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成若p则q的形式.如“实数的绝对值非负”可改写成“若xR，则x0”的形式.2.否命题的制作，必须注意否定的对象以确定否定词的位置，同时要求否定完全，例如“若x，yR且x2+y2=0，则x、y全为零”的逆否命题是“x、yR，且x、y不全为零，则x2+y20”.3.反证法出现什么样的矛盾，事先无法预料，因此用反证法时，应随时审视每个推理的结论是否与题设、定义、公理、定理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾等等.例1 若m0或n0，则m+n0，写出其逆命题、否命题，同时分别指出它们的真假.分析 搞清四种命题的定义及其关系，注意“且”、“或”的否定为“或”、“且”.解：逆命题：若m+n0，则m0或n0，逆命题为真.否命题：若m0且n0，则m+n0，否命题为真.(逆命题与否命题是等价命题).逆否命题：若m+n0，则n0且m0，逆否命题为假.(逆否命题与原命题等价).评析 命题的否定形式与命题的否命题是不同的，前者是只否定命题的结论，而后者是同时否定条件和结论.例2 写出命题“若a2b2，则ab”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这四种命题的真假.分析 先写出原命题，再写出它的其他三种命题.解：原命题：若a2b2，则ab，逆命题：若ab，则a2b2，否命题：若a2b2，则ab，逆否命题：若ab，则a2b2.因为(-1)202，但-10，所以原命题为假.又因为-2-3，但(-2)2(-3)2，所以逆命题为假.根据原命题与逆否命题，逆命题与否命题等价的性质，这四种命题全为假.例3 判断下列命题的真假，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题，同时，也判断这些命题的真假.若ab，则ac2bc2若ab，则若一个式子是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形若在二次函数yax2+bx+c中，b2-4ac0，则该二次函数图像与x轴有公共点解：当c0时，ac2bc2逆命题：若ac2bc2，则ab.为真否命题：若ab，则ac2bc2.为真逆否命题：若ac2bc2，则ab.为假该命题为假：当a0，b0时逆命题：若，则ab.为假(b0，a0时)否命题：若ab，则.为假(b0，a0时)逆否命题：若，则ab.为假(a0，b0时)该命题为真，这是等式的性质逆命题：若两个式子都乘以同一个数，所得结果相等，则这两个式子相等.为假，如把x和x2+1都乘以0后相等，但xx2+1否命题：若两个式子不相等，则把它们都乘以同一个数，所得结果也不相等.为假逆否命题：若两个式子都乘以同一个数，所得结果的不相等，则这个两式也不相等.为真该命题为真逆命题：若直线是圆的切线，则圆心到直线的距离等于半径.为真否命题：若圆心到直线的距离不等于半径，则该直线不是圆的切线.为真逆否命题：若直线不是圆的切线，则圆心到直线的距离不等于半径.为真该命题为真逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补.为真否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.为真逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补.为真该命题为假，当b2-4ac0时，二次方程ax2bxc0没有实根.因此二次函数yax2bxc的图像与x轴无公共点.逆命题：若二次函数yax2bxc的图像与x轴有公共点，则b24ac0.为假否命题：若二次函数yax2bxc中，b24ac0，则该二次函数图像与x轴没有公共点.为假逆否命题：若二次函数yax2bxc的图像与x轴没有公共点，则b24ac0，为假.评析 1.写出一个命题的逆命题，否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写.2.在判断原命题及其逆命题，否命题以及逆否命题的真假时，要借助：原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假.例4 求证：在一个三角形内不可能有两个角是直角已知：在ABC中求证：不可能有A=90，B=90证明：假设有可能A=90，B=90则A+B+C=90+90+C180这与A+B+C=180矛盾假设错误，故三角形内不可能有两个角是直角.评析 这是采用否定叙述的命题，直接证明困难，不等式对于我们来说就不如等式问题容易理解和运用，因此，用反证法把不等式问题转化为等式问题，从而问题得证.例5 (1)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)中的a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数，求证：f(x)=0无整数根.(2)已知a，bR，若a+b1，则a、b之中至少有一个不小于.试证明之.分析 用反证法证明数学问题，首先要反设，即假设结论反设成立.如(1)中反设为：假设方程f(x)=0有整数根；(2)中反设为：假设a、b都小于，然后再利用所学教学知识导出一个矛盾.证明：(1)设方程f(x)=0有一个整数根k，则ak2+bk=-c又因f(0)=c，f(1)=a+b+c均为奇数，所以有a+b为偶数.当k为偶数时，显然与式矛盾，当k为奇数时，设k=2n+1(nZ)，则ak2+bk=(2n+1)(2na+a+b)为偶数，也与式矛盾.所以方程f(x)=0无整数根.(2)假设a、b均小于，即a且b，则a+b+b+=1，即a+b1与已知a+b1相矛盾，故假设不成立，所以a、b中至少有一个不小于.评析 关于反证法证明命题“若p则q”时，其大致过程是：否定欲证结论，假定它的反面成立，进行推理，推出矛盾，于是说明反面不能成立，则原结论当然成立.例1 已知下列三个方程：x2+4ax-4a+30，x2+(a-1)x+a20，x2+2ax-2a0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围.分析 这虽然是一道解答题，我们仍然可用反证法的思想求解.解：假设三个方程均无实数根，则有(4a)2-4(-4a+3)0，(a-1)2-4a20，(2a)2-4(-2a)0.由得4a2+4a-30，即-a.由得(a+1)(3a-1)0，即a-1，或a.由得a(a+2)0，即-2a0.取、的并集得M=a-a-1.则使三个方程至少有一个方程有实根的实数a的取值范围应为CRM，即aa-，或a-1.评析 本题要求“三个方程中至少有一个方程有实数根时的a的取值范围”，只要求“其反面即三个方程均无实数根时a的取值集合M，再求CRM即可”.这种反证法的思想很重要，用起来也很简洁明了.否则，用直接法求a的取值范围将是很困难的.例2 已知l1，l2，l是同一平面内的三条直线，l1是l的垂线，l2是l的斜线，如图.求证：l1和l2必相交.分析 这是平面几何中的一个起始命题，证明它时可以应用的定义、性质很少，用直接证法难以下手，但其结论的反面非常明显，不妨用反证法证.解法一：假设l1和l2不相交，则l1l2，1=2.l2是l的斜线，290，190.这说明l1与l的交角不是直角，与垂线l的定义矛盾.l1和l2必相交.解法二：假设l1和l2不相交，则l1l2，1=2.l2是l是斜线，290，190.l1是l的垂线，1=90.这得出1自相矛盾的情况.l1和l2必相交.解法三：假设l1和l2不相交，则l1l2，1=2.l1l，1=90，2=90.l2也是l的垂线.这与已知条件l2是l的斜线矛盾.l1和l2必相交.解法四：假设l1和l2不相交，则l1l2，1=2.l2是l的斜线，290，190.l1不是l的垂线.这与已知条件l1是l的垂线矛盾.l1和l2必相交.评析 从上述四种不同的证明中可以看出，作出反设后，可把反设当成已知条件之一，和原有的已知条件合并在一起，用它们的全部或部分进行逻辑推理，达到反证法的目的.由于选用的条件不同，推出的矛盾亦不同；证明一推出的结论与定义矛盾；证明二推出的结论自相矛盾；证明三和证明四推出的结论分别与不同的已知条件矛盾.可见导致的矛盾是在推理过程中发现的，而不是推理之前就知道或预先设计的.例3 “已知a，b，c，d是实数，若ac，bd，则a+bc+d.”写出上述命题的逆命题、否命题、逆命题，并分别判断它们的真假.点拨：“已知a，b，c，d是实数”是大前提，写四种命题时应该保留.这里原命题的条件是“a，b都分别大于c，d”，结论是“a+bc+d”.解：原命题可以写成：已知a，b，c，d是实数，若a，b都分别大于c，d，则a+bc+d.原命题为真.逆命题：若a，b，c，d是实数，若a+bc+d，则a，b都分别大于c，d.逆命题为假，假如5+12+3，但52，13.否命题：已知a，b，c，d是实数，若a，b不都分别大于c，d，则a+bc+d.否命题为假.逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a+bc+d，则a，b不都分别大于c，d，逆否命题为真.评析 注意，该原命题常表示成：已知a，b，c，d是实数，若ac且bd，则a+bc+d.这样就超过了大纲和教材的要求，问题就变复杂了.因此解答本题时，原命题写法采用了变通的形式.否则否命题是：已知a，b，c，d是实数，若ac，或bd，则a+bc+d.逆否命题是：已知a，b，c，d是实数，若a+bc+d，则ac或bd.“若p则q”形式的命题虽然也是一种复合命题，但它与1.6节中的复合命题不同，因而不能用真值表判断其真假.判断四种命题为真，要严格证明；判断四种命题为假，只需举一个反例说明.另须指出的是，原命题逆否命题；逆否命题否命题，因而四种命题的真假个数一定是偶数，即0个或2个或4个.【命题趋势分析】在理解并掌握四种命题及其关系的基础上，会用反证法证明.平时要求：1.初步掌握四种命题及其关系2.掌握反证法【典型热点考题】例1 将命题“正数a的平方大于零”改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.分析：关键是找出原命题的条件p和结论q.注意，“若p则q”形式的命题，也是一种复合命题，其中的p与q不一定是命题.解：原命题可以写成：若a是正数，则a的平方大于零.逆命题：若a的平方大于零，则a是正数.否命题：若a不是正数，则a的平方不大于零.逆否命题：若a的平方不大于零，则a不是正数.例2 已知a，b，c均为实数，且a=x2-2y+，b=y2-2z+，c=z2-2x+，求证：a，b，c中至少有一个大于0.分析 正确地作出反设(否定结论)结果是“a，b，c都不大于0”，即是“a0，b0，c0”.要注意一些常用的“结论否定形式”，如“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式是“一个也没有”“至少有两个”“不都是”.证明：(用反证法证明)假设a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0.则a+b+c0而a+b+c=x2-2y+y2-2z+z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3,-30，且无论x，y，z为何实数，(x-1)2+(y-1)2+(z-1)20，a+b+c0.这与a+b+c0矛盾.因此a，b，c中至少有一个大于0.评析 正确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提，要注意一些常用的“结论否定形式”，这可参与上节“命题的否定”内容，另外，需注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况，也只有证明了与结论相反的所有情况都不成立，才能保证原来的结论一定成立.例3 分别指出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假.(1)p在集合x0x2中，q在集合xx1.5中.(2)p：方程x2-3x-1=0有两正根，q：方程x3-3=0有两实数根.解：(1)因为p为真，而1.5，q为假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，非p为假.(2)因为方程x2-3x-1=0中两根之积为负，所以p为假，q为真.所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.【同步达纲练习】一、选择题.1.命题“当AB=AC时，ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A.4 B.3 C.2 D.02.若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则r是p的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.以上判断都不正确3.如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是( )A.真命题B.假命题C.不一定是真命题D.不一定是假命题4.设原命题为“若AB=B，则AB”，则原命题、逆命题、否命题和逆否命题中是真命题的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.4个5.在下列三个命题中，正确的为( )(1)命题“ABC和A1B1C1都是直角三角形”的否命题是“ABC和A1B1C1都不是直角三角形”；(2)命题“若xy0，则x0且y0”的逆否命题是“若x0或y0，则xy=0”；(3)命题“若xA或xB，则xAB”的逆命题是“若xAB，则xA且xB”.A.(2)B.(2)、(3)C.(1)、(3)D.(1)、(2)、(3)6.在以下四个命题中，不正确的为( )A.命题“两个无理数的积仍是无理数”的逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；B.命题“两个无理数的积仍是无理数”的否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；C.命题“两个无理数的积仍是无理数”的逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”；D.命题“两个无理数的积仍是无理数”的命题的非是“两个无理数的积不一定是无理数”.二、填空题1.命题“若x2+y2=0，则x、y全为0”的否命题是 .2.命题“若a、b是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是 .3.命题“已知a，b，c，dR，若a=b，c=d，则a+c=b+d”的逆命题为 ；否命题为 .4.命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是 .三、解答题1.把下列命题写成“若p则q”的形式到圆心距离等于半径的点在圆上三角形内角和等于180两个有理数的商仍为有理数实数的平方为正实数2.写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断这些命题的真假.实数的平方为正实数三角形的两边之和不小于第三边若ab，则ba若m，nQ，则m+nQ3.用反证法证明：若ab0，则.4.用反证法证明：如果一个三角形的两条边不等，那么这两条边所对的角也不相等.5.用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.【素质优化训练】1.a、b、cR，写出命题“若ac0，则ax2+bx+c=0有两个不相等实根”的逆命题、否命题、逆否命题的真假.2.证明：在ABC中，若AB=AC，M为ABC内一点，AMBAMC，则BAMCAM.【生活实际运用】一句话和它的反话M：这句话有几个字?七个字.显然，下图的原话错了!那么它的反话就应该是对的吧?M：不对，这句话的反话正好是八个字，所以，它像它原来的话一样是错的.我们怎么才能解决这样奇怪的尴尬局面呢?参考答案【同步达纲练习】一、1.C 2.C 3.A 4.A 5.A 6.C二、1.“若x2+y20，则x、y不全为0”. 2.若a+b不是偶数，则a、b不都是奇数. 3.逆命题为：已知a、b、c、dR，若a+c=b+d，则a=b，c=d. 否命题为：已知a、b、c、dR，若ab或cd，则a+cb+d. 4.绝对值等于它本身的数是正数.三、1.解：若点到圆心的距离等于半径，则该点