直线中的对称问题.ppt

对称与最值的探究,2、如何求P(1,2)关于直线2xy+1=0的对称点Q的坐标？,复习,在某东西方向公路边有一村庄M.在M村的北偏西30o方向且与M村相距1000米处有一村A，在M村的北偏东60o的方向且相距800米处有一村B.A庄的村民主要靠每天外出打工、做生意获得收入，B庄的村民主要靠种菜、卖菜获得收入。前几年，风调雨顺，两村村民都忙于自己的生活，没有意识到脚下的泥土路给生活带来的不便。今年8、9两月的连绵秋雨，使两村村民深受交通不便之苦。于是他们集资修路，拟定在公路上找一C处，由C向两村分别修路，为了使修路费用最低，C处应如何选择？,问题：,已知直线l:y=x,A(1,2),B(2,4)C(3,1),1、在直线l上求一点P使|PB|+|PC|最小。,2、在直线l上求一点Q使|QA|+|QB|最小。,一类最值问题探究,解:(1)连接BC交l于P.,在l上任取一异于P的点P1,连P1B,P1C.,则|P1B|+|P1C|BC|=|BP|+|PC|.,P点为所求的点,B(2,4)C(3,1),直线BC的方程为:y=3x+10,即直线l上的点P(2.5,2.5)使|PA|+|PB|最小.,(2)做点A关于直线y=x的对称点A1,连接A!B交l于Q,在l上任取一异于点Q的点Q1,连接AQ,AQ1,A1Q1,BQ1.,则,|AQ1|+|BQ1|=,|A1Q1|+|BQ1|,|A1B|,=|A1Q|+|BQ|,=|AQ|+|BQ|,点Q使|AQ|+|BQ|最小.,A(1,2),A1(2,1),又B(2,4),直线A1B方程为x=2,即Q(2,2),直线l上的点Q使|AQ|+|BQ|最小.,归纳总结,已知平面内有两个定点A、B和一条定直线l,1、当A与B在直线l异侧时，线段AB与l的交点P使|PA|+|PB|最小,且最小值为|AB|.,2、当A、B在直线l的同侧时，作A(或B)关于l的对称点A1(或B1),则线段A1B(或AB1)与l的交点P使|PA|+|PB|最小,且最小值为|A1B|(|AB1|).,练习,已知直线l：x+y=0,点A(3,0),B(0,5).试在l上求一点P使|PA|+|PB|最小.,解：以公路为x轴，以M村为原点，建立直角坐标系（如图）,作A关于x轴的对称点A1,连A1B交x轴于C，,则C使|CA|+|CB|最小。,直线A1B的方程为,(x+500),由y=0，,得x=316,C(316,0),答：当C处选在M村正东316米时可使修路费用最低。,注坐标法的应用,解：,则y表示动点M(x,0)到定点A(-3,3)和B(5,1)距离之和，,而A、B位于直线y=0的同侧,故作点A关于y=0的对称点A1,A1(3,3),连A1B交y=0于P，,则P使|PA|+|PB|=|A1B|最小，,即y最小值为|A1B|,由A1(3,3)B(5,1)得,由y=0,得x=3,P(3,0),注：等价转化、数形结合,例3：,课堂小结：,1、同一平面内，在定直线l上求点P使P到两定点A、B距离和最小的方法。,2、探究过程中:（1）坐标法使数和形有机的结合起来，充分体现了数形结合的思想。,（2）类比联想和等价转化使问题的解决找到了突破口。,作业,1、课外实践：请从身边生活中搜集一个今天所讨论问题的实例。,已知l:x