第一讲集合与函数

第一讲 集合与函数l 高考风向标本讲的主要内容是：集合的有关概念和运算，含有绝对值的不等式及一元二次不等式的解法，逻辑关联词，四种命题，充要条件映射的概念，函数的概念，函数的单调性，反函数的概念，分数指数幂的概念和性质，指数函数的图象和性质，对数的定义和运算性质，对数函数的图象与性质，函数的一些应用l 典型题选讲例在中，“”是“”的什么条件？讲解在中，角A、B的对边分别是是的外接圆的半径一方面，因为 AB，所以ab , 即 ，亦即 ，从而中AB。另一方面，因为，所以 ，即 ，得AB，从而中，A0 对x(-,1)恒成立即函数g(x)=a0对于任意的x(-,1)恒成立因为g(x)在(-,1)上是减函数，其最小值为g(1)= a=(n1)a，所以g(x) 0对x(-,1)恒成立的充要条件是a0，即a故所求实数a的范围为（，+）点评构造函数是应用函数思想解题的基础，怎么构造，构造怎样的函数完全因题而定请读者注意，恒成立问题在高考中多次出现，其解题方法，很值得探究例函数是定义在0，1上的增函数，满足且，在每个区间（1，2）上，的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分 （）及，的值，并归纳出的表达式; （）直线，x轴及的图象围成的矩形的面积为（1，2），记，求的表达式，并写出其定义域和最小值讲解（）为了求，只需在条件中，令，即有，得 由及，得 同理， 归纳得 （）时, . 故是首项为，公比为的等比数列, 所以. 的定义域为1，当时取得最小值.点评本题是年北京高考数学第题，将函数与数列综合在一起，体现了数学知识交汇性，是一道既知识、又考能力的活题l 针对性演练合，若，则，则运算可能是（ ） (A)加法 (B)减法 (C) 除法 (D)乘法已知集合，则满足条件的映射的个数是( )（A）2 （B）4 （C）5 （D）7某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了. 下面大致能上反映出小鹏这一天（0时24时）体温的变化情况的图是 ( ) 时0612182437体温() 37体温()时06121824 37时06121824体温() 37时06121824体温()(A ) (B) (C) (D)定义两种运算：，则函数为（ ）（A）奇函数 （B）偶函数 （C）奇函数且为偶函数 （D）非奇函数且非偶函数偶函数在上单调递增，则与的大小关系是( )（A）（B）（C）（D）已知函数，且正数C为常数对于任意的，存在一个，使，则称函数在D上的均值为C. 试依据上述定义，写出一个均值为的函数的例子：_.7. 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料。根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶。请你给该商店设计一个方案：每月的进货量当月销售完，销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？已知定义域为，且对任意的、，恒有，时，（）求的值，并证明；（）求证：在的定义域内恒有已知定义域为0，1的函数f(x)同时满足：（1）对于任意x0，1，总有f(x)0；（2）f(1)=1（3）若，则有（）试求f(0)的值；（）试求函数f(x)的最大值；（）试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x，都有f(x)2x.10. 设、为常数，：把平面上任意一点 （，）映射为函数 （1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数； （2）证明：当时，这里t为常数； （3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？答案：DDCAD6，（）7450略（I）令，依条件（3）可得f(0+0) f(0)+f(0)，即f(0) 0.又由条件（1）得f(0) 0，则f(0)=0.（）任取，可知,则,即，故于是当0x1时，有f(x)f(1)=1因此，当x=1时，f(x)有最大值为1，（）证明：研究当时，f(x) 12x当时，首先，f(2x) f(x)+f(x)=2f(x)，.显然，当时，成立.假设当时，有成立，其中k1，2，那么当时，可知对于，总有，其中n=1，2，而对于任意，存在正整数n，使得，此时,当x=0时，f(0)=02x.综上可知，满足条件的函数f(x)，对x0，1，总有f(x) 2x成立.10. (1)假设有两个不同的点（，），（，）对应同一函数，即与相同，即 对一切实数x均成立。特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立.故不存在两个不同点对应同函数。（2）当时，可得常数a0，