第一轮复习数学：4.2两角和与差、二倍角的公式一

4.2 两角和与差、二倍角的公式（一）知识梳理1.C（+）的推导角的始边为Ox，交单位圆于P1，终边OP2交单位圆于P2，角的始边为OP2，终边交单位圆于P3，角的始边为Ox，终边交单位圆于P4，由|=|，得cos（+）12+sin2（+）=cos（）cos2+sin（）sin2.cos（+）=coscossinsin.2.S（）、C（）、T（）以及推导线索（1）在C（+）中以代即可得到C（）.（2）利用cos（）=sin即可得到S（+）；再以代即可得到S（）.（3）利用tan=即可得到T（）.说明：理清线索以及各公式间的内在联系，是记忆公式的前提.只有这样才能记牢公式，才能用活公式.点击双基1.（2004年重庆，5）sin163sin223+sin253sin313等于A.B.C.D.解析：原式=sin17（sin43）+（sin73）（sin47）=sin17sin43+cos17cos43=cos60=.答案：B2.（2005年春季北京，7）在ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么ABC一定是A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解析：由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin（A+B），2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.cosAsinBsinAcosB=0.sin（BA）=0.B=A.答案：B3.的值是A.B.C.D.解析：原式=.答案：C4.已知（0，），（，），sin（+）=，cos=，则sin=_.解析：由0，得+.故由sin（+）=，得cos（+）=.由cos=，得sin=.sin=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=（）（）=.答案：5.ABC中，若b=2a，B=A+60，则A=_.解析：利用正弦定理，由b=2asinB=2sinAsin（A+60）2sinA=0cosA3sinA=0sin（30A）=030A=0（或180）A=30.答案：30典例剖析【例1】 设cos（）=，sin（）=，且，0，求cos（+）.剖析：=（）（）.依上述角之间的关系便可求之.解：，0，.故由cos（）=，得sin（）=.由sin（）=，得cos（）=.cos（）=cos（）（）=.cos（+）=2cos21=.评述：在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换.【例2】 （2000年春季京、皖）在ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c.证明：=.剖析：由于所证结论是三角形的边、角关系，很自然地使我们联想到正弦定理、余弦定理.证明：由余弦定理a2=b2+c22bccosA，b2=a2+c22accosB，a2b2=b2a22bccosA+2accosB，整理得=.依正弦定理有=，=，=.评述：在解三角形中的问题时，首先应想到正余弦定理，另外还有A+B+C=，a+bc，abABsinAsinB等.【例3】 已知、（0，），sin+sin=sin，cos+cos=cos，求的值.剖析：由已知首先消去是解题关键.解：由已知，得sin=sinsin，cos=coscos.平方相加得（sinsin）2+（coscos）2=1.2cos（）=1.cos（）=.=.sin=sinsin0，.=.评述：本题极易求出=，如不注意隐含条件sin0，则产生增根.因此求值问题要注意分析隐含条件.闯关训练夯实基础1.（2004年上海，1）若tan=，则tan（+）=_.解析：tan（+）=3.答案：32.要使sincos=有意义，则应有A.mB.m1C.m1或mD.1m解析：2sin（）=sin（）=.由111m.答案：D3.（2004年福建，2）tan15+cot15等于A.2B.2+C.4D.解析一：tan15+cot15=+=4.解析二：由tan15=tan（4530）=.原式=+=4.答案：C4.在ABC中，若=，则ABC的形状为_.解析：左边利用正弦定理，右边“切变弦”，原式可化为=sin2A=sin2B2A=2B或2A=2BA=B或A+B=.答案：等腰三角形或直角三角形5.（2004年湖南，17）已知tan（+）=2，求的值.解：由tan（+）=2，得tan=.于是=.6.已知cos=，cos（+）=，、（0，），求.解：由cos=，cos（+）=，得cos=cos（+）=，得=.培养能力7.已知sin（x）=，0x，求的值.分析：角之间的关系：（x）+（+x）=及2x=2（x），利用余角间的三角函数的关系便可求之.解：（x）+（+x）=，cos（+x）=sin（x）.又cos2x=sin（2x）=sin2（x）=2sin（x）cos（x），=2cos（x）=2=.8.已知sin=msin（2+）（m1），求证：tan（+）=tan.证明：sin=msin（2+），sin（+）=msin（+）+.sin（+）coscos（+）sin=msin（+）cos+mcos（+）sin.（1m）sin（+）cos=（1+m）cos（+）sin.tan（+）=tan.9.（2005年北京西城区抽样测试）已知sin2=，（，）.（1）求cos的值；（2）求满足sin（x）sin（+x）+2cos=的锐角x.解：（1）因为，所以23.所以cos2=.由cos2=2cos21，所以cos=.（2）因为sin（x）sin（+x）+2cos=，所以2cos（1sinx）=.所以sinx=.因为x为锐角，所以x=.探究创新10.sin+sin=，求cos+cos的取值范围.解：令t=cos+cos，sin+sin=，2+2，得t2+=2+2cos（）.2cos（）=t22，2.t，.思悟小结1.不仅要能熟练推证公式（建议自己推证一遍所有公式）、熟悉公式的正用逆用，还要熟练掌握公式的变形应用.2.注意拆角、拼角技巧，如=（+），2=（+）+（）等.3.注意倍角的相对性，如3是的倍角.4.要时时注意角的范围的讨论.教师下载中心教学点睛1.本节公式多，内在联系密切，建议复习时，要使学生理清公式间的推导线索，让学生亲自推导一下C（+）.2.公式应用讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式.如拆角、拼角技巧等，要注意结合题目使学生体会其间的规律.拓展题例【例1】 已知a=（cos，sin），b=（cos，sin），（ab）.求证：（a+b）（ab）.分析：只要证（a+b）（ab）=0即可.证法一：（a+b）（ab）=|a|2|b|2=11=0，（a+b）（ab）.证法二：在单位圆中设=a，=b，以、为邻边作OACB，则OACB为菱形.=0，即（a+b）（ab）=0.