第一轮复习数学：2.11函数的应用

2.11函数的应用知识整理解函数应用问题的基本步骤：第一步：阅读理解，审查问题的含义读问题要逐字逐句地读问题中的文字记述，在理解记述中反映的实际背景的基础上，分析已知问题，寻求什么，从中提取相应的数学问题第二步：引入数学符号，建立数学模型一般而言，将自变量设为x、函数设为y，根据需要导入其他相关辅助变量，用x、y和辅助变量表现各相关量，基于问题已知条件，使用已经掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识确立关系式后，将实际的问题转换为一个函数问题，实现问题的数学化、所谓的数学模型的构筑第三步：利用数学方法解答所得常规函数问题(即数学模型)，求结果第四步：把得到的结果翻译成具体问题的解答双击1 .某商品降价10%后，恢复成本须提价A.10% B.9% C.11% D.11%分析：假设涨价x%，则a(1-10%)(1 x%)=a，8756； x=11答案： d2 .现有实验数据如下：t.t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01目前，您正在尝试用以下函数之一近似表示这些数据所满足的规则： 其中最接近的是A.v=log2tB.v=logtC.v=D.v=2t-2分析： t=4时，v=7.5答案： c3 .用长24的材料包围矩形地基，中间加入两个隔墙，使矩形面积达到最大，隔墙的长度为A.3B.4C.6D.12解析：隔壁的长度为x(0x6)，矩形面积为y，y=x=2x(6-x )，x=3时，y为最大答案： a4 .众所周知，镭经过100年后还会保留原来质量的95.76%，如果将质量1的镭经过x年后的馀量设为y，则x、y之间的函数关系式为_答案： y=0.95765 .建造容积为8000 m3、深度为6 m的长方体蓄水池(无盖)，池壁成本为a元/m2，池底成本为2a元/m2，以总成本y元为底的一边长x m的函数为，解析式为_ _，定义域为_ _ _ _ _ _，底边长为_ _ _ _ _ _ _ _ m，总成本最低为_ _ _ _ _ _ _ _ _元解析：设池底一边的长度为x(m )，其相邻的长度为(m )，池壁面积为26x 26=12(x )(m2)，池底面积为x=(m2)，从问题的意义出发，水池的总成本y (元)与池底一边的长度x(m )之间的函数关系式为y=12a(x ) a定义域为(0，)。仅在x 2=(x=即x=情况下，设为=) .底边长度为m时，最低价格为(160a a )元答案： y=12a(x ) a (0，) 160a a典型的分析【例1】 (1)某产品的年产量原本为a件，预计今后m年内年产量比去年增加平均p%，写出年产量随经过年数变化的函数关系式(2)某产品的成本原本为a元，预计今后m年内成本平均每年比去年下降p%，编写成本随经过年数变化的函数关系式解： (1)如果年产量经过x年增加到y件，则y=a(1 p%)x(xN*且xm )。(2)如果成本经过x年下降到y元，则y=a(1-p%)x(xN*且xm )。特别记载事项增长率问题是一个重要的模型【例2】“依法纳税是每个公民应尽的义务”国家分阶段计算征收个人所得税，总收入在800元以下，免除个人所得税，超过800元的部分需要征税，假设每月的纳税所得额为x，x=每月的收入-800元，税率如下表所示阶级数每月纳税所得额税率1五百元以下的部分5%2五百元至二千元以上的部分10%32000元至超过5000元的部分15%9超过一千元的部分45%(1)当课税额为f(x )时，试用阶段函数表示13阶段课税额f(x )的计算式(2)某人于2000年10月总收入3000元，计算该人本月应支付个人所得税的金额(3)某人1月应缴纳该税款26.78元，介入该月工资的总收入A.800900元B.9001200元c.1200至1500元d.1500至2800元(1)解：根据税表，有第1段： x5%，0 x00第2段： (x-500)10% 5005%，500x2000第三阶段： (x-2000)15% 150010% 5005%，2000cn-1，cncn 1解： (1)该人a、b公司第n年的月薪分别为an=1500 230(n-1)(nN* )，bn=2000(1 5%)n-1(nN* )(2)该人在a公司持续工作10年，他的工资收入总量为12(a1 a2 a10)=304200 (元)如果他在b公司工作了10年，他的工资收入总量将是12(b1 b2 b10)301869 (元)因为a公司的收入总量很高，所以那个人应该选择a公司(3)问题等价于求出cn=an-bn=1270230 n-20001.05 n-1 (nn * )最大值.在n2情况下，cn-cn-1=230-1001.05n-2 .在cn-cn-10、即230-1001.05n-20情况下，成为1.05n-22.3、n19.1 .因此，在2n19情况下，cn-1cn； 在n20情况下，为cncn-1 .c19是数列cn的最大项目，c19=a19-b19827 (元)，也就是说，在a公司工作比在b公司工作月工资多827元开关训练巩固基础1 .一个学生离家上学。 为了锻炼身体，先跑步，累了再走。 纵轴表示到学校的距离，横轴表示出发后的时间，在以下4个图表中，与该学生的步行方式相符的是答案： d2 .一家汽车运输公司购买豪华巴士投入客运，市场分析显示，每辆巴士的总利润y万元与运营年数x(xN )的关系为y=-x2 12x-25，每辆巴士的运营_年可以使其运营年平均利润达到最大。A.2 B.4 C.5 D.6解析：设年平均利益为g(x )，则为g(x)=12-(x )答案： c3 .某县预计，10年内产值翻番后，产值年增长率为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (LG2=0. 3010，lg11.49=1.0602 )分析：产值的平均年增长率为x，则(1 x)10=4两侧均取以10为底的对数，得到10lg(1 x)=2lg2lg(1 x)=0.06021 x=100.0602lg11.49=1.060211.49=101.0602=10100.0602100.0602=1.149因此，1 x=1.149、x=0.149=14.9% .回答： 14.9%4 .某厂产品固定成本为200万元，产量每增加单位产品成本增加1万元，总收入r为单位产量q的函数： R(Q)=4Q-Q2，总利润L(Q )的最大值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，此时产品产量为_ _ _ _ _ _ (总利润=总收入)分析： L(Q)=4Q-Q2-(200 Q)=-(Q-300)2 250答案： 250 3005.(2003年福州市质检问题)沿海地区某农村2002年底人口1480人，全年农业总产值3180万元。 从2003年开始计划的10年内村子的总产值每年增加60万元，人口每年增加a人，从2003年到第x年(2003年是第一年)村子的人均产值为y万元。(1)写y和x之间的函数关系式(2)为了逐年增加村里人均产值，村里每年的人口净增长不得超过多少人？分析：本小题主要考察函数知识、函数单调性，考察数学模型，用学到的知识考察解决实际问题的能力(1)解：题意，第x年该村的工农业生产总额为(3180 60x )万元这个村子第x年的人口总数是(1480 ax )y=(1x10 )(2)解法1 :为了使这个村子的人均生产额逐年增加，在1x10内，y=f(x )是增加函数设定为1x1x210时f(x1)-f(x2)=-=.1x10从f(x1)0。a27.9 .此外，aN*，a=27解法2:y=()=1 ，题意为53-0，8756； a0)。(1)在这个时间段，汽车的平均速度v是多少时，汽车的流量最大？ 最大的车流量是多少(准确地说是0.1千台/小时)(2)在这个时间段要求汽车流量超过10千台/小时的情况下，汽车的平均速度必须在哪个范围内？解： (1)依据题意，y=另外，仅在v=、即v=40情况下，上式的等号成立，因此ymax=11.1 (千台/小时) .(2)根据条件 10如果整理成v2-89v 16000即，(v-25)(v-64)0.25v64 .v=40 km/h时，车流量最大，最大车的流量约为11.1千/小时，在该时间段要求车的流量超过10千/小时的情况下，车的平均速度需要大于25 km/h且小于64 km/h .7.(2003年石家庄市型号)在某工厂接受了216名工人生产1000台GH型高新技术产品的总任务，已知各GH型产品由4个g型装置和3个h型装置构成。 每个工人每小时能加工6个g型装置或3个h型装置。 目前，工人分两组同时开始加工，各组分别加工装置。 加工g型装置的工人为x人，他们加工g型装置的时间为g(x )，其馀的工人加工h型装置的时间为h(x ) (单位：时间、时间)。(1)写h(x )