河北武邑中学高三数学上学期期末考试试卷理

河北省武邑中学2019届高三数学上学期期末考试试卷 理（含解析）第卷一：选择题。1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：解得，又，则，则，故选A.考点：一元二次不等式的解法，集合中交集运算.2.已知复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：复数z满足，则，故选D考点：复数运算.3.在ABC中，a=3,b=3，A=60，那么B等于（ ）A. 30 B. 60 C. 30或150 D. 60或120【答案】A【解析】【分析】由正弦定理列出关系式，把a，b，sinA的值代入求出sinB的值，结合大边对大角的性质即可确定出B的度数【详解】ABC中，a=3，b=3，A=60，由正弦定理asinA=bsinB得：sinB=bsinAa=3323=12，ba，B0,b0的一条渐近线被圆x22+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）A. 3 B. 2 C. 2 D. 233【答案】B【解析】【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可【详解】双曲线C:x2a2-y2b2=1a0,b0的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆x-22+y2=4的圆心(2,0)，半径为：2，双曲线C:x2a2-y2b2=1a0,b0的一条渐近线被圆x-22+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：|2b|a2+b2=22-12=3，解得：4c2-4a2c2=3,可得e2=4，即e=2.故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.10.已知直三棱柱C11C1中，C=120，=2，C=CC1=1，则异面直线1与C1所成角的余弦值为（ ）A. 32 B. 155 C. 105 D. 33【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，则所求角为BC1D,BC1=2,BD=22+1221cos60=3,C1D=AB1=5，易得C1D2=BD2+BC12，因此cosBC1D=BC1C1D=25=105，故选C平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围11.已知函数f(x)=2ef(e)lnxxe，则f(x)的极大值为（ ）A. 2e1 B. 1e C. 1 D. 2ln2【答案】D【解析】分析：求函数的导数，令x=e，先求出f(e)的值再求f(x)的极大值为即可得详解：函数f(x)=2ef(e)1nx-xe的定义域为0,+ ， fx=2efex1e, x=e，则fe=2efee1e,fe=1e, fx=21nxxe,fx=2x1e, 令fx0，得0x2e,令fx2e,，即函数f(x) 0,2e上单调递增，在2e,+上单调递减，故函数f(x)在x=2e出uqude极大值，极大值为f2e=21n2e2=2ln2, 故选D.点睛：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查运算能力，属于基础题12.已知双曲线C：x2a2y2b2=1（a0,b0）的左、右焦点分别为F1,F2，A,B是双曲线C上的两点，且AF1=3F1B,cosAF2B=35，则该双曲线的离心率为（ ）A. 10 B. 102 C. 52 D. 5【答案】B【解析】如图，设A，B是双曲线C左支上的两点， 令|AF1|=3|F1B|=3m(m0)，由双曲线的定义可得|BF2|=2a+m,|AF2|=2a+3m在F2AB中，由余弦定理得(4m)2=(2a+m)2+(2a+3m)22(2a+m)(2a+3m)35，整理得3m22ama2=0，解得m=a或m=13a（舍去）|AB|=4a,|BF2|=3a,|AF2|=5a，F2AB为直角三角形，且ABF2=90在RtF1BF2中，|F1B|2+|BF2|2=|F1F2|2，即a2+(3a)2=(2c)2，e2=c2a2=52，e=102即该双曲线的离心率为102选B点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式，利用b2=c2a2和e=ca转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量第II卷二、填空题。13.曲线y=logax3+3 a0且a1恒过定点_.【答案】(4,3)【解析】【分析】由loga1=0即可得解.【详解】由loga1=0，知曲线y=logax-3+3 a0且a1恒过定点(4,3).故答案为：(4,3).【点睛】本题主要考查了对数型函数恒过定点问题，属于基础题.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数，则13f(x2)+1xdx=_；【答案】ln3 ,【解析】13f(x2)+1xdx=13f(x2)dx+131xdx=11f(t)dt+lnx31 =ln315.【2018年全国卷文】已知点M-1，1和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB=90，则k=_【答案】2【解析】分析：利用点差法进行计算即可。详解：设Ax1,y1,B(x2,y2)则y12=4x1y22=4x2所以y12-y22=4x1-4x2所以k=y1-y2x1-x2=4y1+y2取AB中点M(x0，y0),分别过点A,B作准线x=-1的垂线，垂足分别为A,B因为AMB=90,MM=12AB=12AF+BF=12(AA+|BB|)因为M为AB中点，所以MM平行于x轴因为M(-1,1)所以y0=1，则y1+y2=2即k=2故答案为2.点睛：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设Ax1,y1,B(x2,y2)，利用点差法得到k=y1-y2x1-x2=4y1+y2，取AB中点M(x0，y0), 分别过点A,B作准线x=-1的垂线，垂足分别为A,B，由抛物线的性质得到MM=12(AA+|BB|)，进而得到斜率。16.当x-2,1时，不等式ax3-x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】6,2【解析】试题分析：不等式ax3x2+4x+30变形为ax3x24x3当x=0时，03，故实数a的取值范围是R；当x(0,1时，ax24x3xx3，记f(x)=x24x3xx3，f(x)=x2+8x+9x4=(x9)(x+1)x40，故函数f(x)递增，则f(x)max=f(1)=6，故a6；当x2,0)时，ax24x3xx3，记f(x)=x24x3xx3，令f(x)=0，得x=1或x=9（舍去），当x(2,1)时，f(x)0，故f(x)min=f(1)=2，则a2综上所述，实数的取值范围是6,2考点：利用导数求函数的极值和最值三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17.ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosCbcosA=bccosA.(1)求角A的值；(2)若ABC的面积为33，且b+c=7，求ABC外接圆的面积。【答案】（1）3；（2）133【解析】【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出sinB2sinBcosA，结合sinB0，可得cosA=12，由范围A（0，），可求A=3（2）利用三角形的面积公式可求bc12，由余弦定理可得a的值，设三角形的外接圆半径为R，由正弦定理可得R，进而根据圆的面积公式求解即可【详解】（1）acosC-bcosA=(b-c)cosA.由正弦定理得sinAcosC-sinBcosA =(sinB-cosC)cosAsin(C+A)=2sinBcosA，A+B+C=sin(C+A)=sinB0cosA=12，又A(0,)，A=3（2）由（1）知A=3，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc，又SABC=12bcsinA=33，bc=12，又b+c=7，a=13又asinA=2R，R=133，S=133.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.设Sn为等差数列an的前n项和，a2+a3=8，S9=81.（1）求an的通项公式；（2）若S3,a14,Sm成等比数列，求S2m.【答案】（1）an=2n1； （2）324.【解析】【分析】（1）根据等差数列an中，S9=81，a2+a3=8,利用等差数列的求和公式以及通项公式列出关于首项a1、公差d的方程组，解方程组可得a1与d的值，从而可得数列an的通项公式；（2）由（1）可得Sn=n2，根据S3，a14，Sm成等比数列列方程求得m=9，从而可得结果.【详解】（1）S9=9a5=9a1+4d=81a2+a3=2a2+3d=8，a1=1d=2，故an=1+n+12=2n-1.（2）由（1）知，Sn=n1+2n-12=n2.S3，a14，Sm成等比数列，S3Sm=a142，即9m2=272，解得m=9，故S2m=182=324.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量a1,d,n,an,Sn,一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质ap+aq=am+an=2ar（p+q=m+n=2r）与前n 项和的关系.19.有编号为1，2，3n的n个学生，入座编号为1，2，3n的n个座位，每个学生规定坐一个座位, 设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为x, 已知x=2时, 共有6种坐法.（1）求n的值；（2）求随机变量x的概率分布列及数学期望Ex【答案】（1）n=4；（2）分布列详见解析，E=3.【解析】试题分析：（1）解题的关键是=2时，共有6种坐法，写出关于n的表示式，解出未知量，把不合题意的舍去（2）学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为，由题意知的可能取值是0，2，3，4，当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，理解变量对应的事件，写出分布列和期望解：（1）当=2时，有Cn2种坐法，Cn2=6，即，n2n12=0，n=4或n=3（舍去），n=4（2）学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为，由题意知的可能取值是0，2，3，4，当变量是0时表示学生所坐的座位号与该生的编号都相同，当变量是2时表示学生所坐的座位号与该生的编号有2个相同，当变量是3时表示学生所坐的座位号与该生的编号有1个相同，当变量是4时表示学生所坐的座位号与该生的编号有0个相同，的概率分布列为：0234P 考点：离散型随机变量及其分布列20.抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点（1）O为坐标原点，求证：OAOB=3；（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值【答案】（）见解析；（）m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4【解析】试题分析：（1）先利用已知条件设出直线AB的方程，与抛物线联立方程组，然后结合韦达定理表示出向量的数量积，进而证明。（2）根据由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，得到四边形OACB的面积等于2SAOB，结合三角形面积公式得到。（）解：依题意F(1,0)，设直线AB方程为x=my+1 1分将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my4=03分设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以y1+y2=4m，y1y2=4=1，故6分（）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB8分因为2SAOB=212|OF|y1y2|9分=(y1+y2)24y1y2=41+m2，11分所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4 12分考点：本试题主要是考查了直线与抛物线爱你的位置关系的运用。点评：对于几何中的四边形的面积一般运用转换与化归的思想来求解得到。21.在直角坐标系xOy中， 曲线C1的参数方程为x=22sin+22cosy=sincos12(为参数） ，若以直角坐标系中的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C2的极坐标方程为sin(4)=22t(t为实数 （1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2有公共点， 求的取值范围 【答案】（1）y=x21，x1,1，yx=t（2）t54,1【解析】试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线C1的普通方程，注意参数对自变量范围的限制，再根据x=cos,y=sin将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立直线方程与抛物线段方程，求出相切时以及过端点时的取值，结合图像确定的取值范围.试题解析：解：（）因为x=22sin+22cos=sin(+4)，所以x-1,1由x=22sin+22cos平方得：x2=12(1+2sincos)=12+sincos又y=sincos-12两式相减得x2-y=1，故曲线C1的普通方程为y=x2-1，x-1,1另由sin(-4)=22t得C2的直角坐标方程为