第九讲极限与导数

第九讲 极限与导数陕西特级教师 安振平l 高考风向标数学归纳法、数学归纳法应用举例，数列的极限函数的极限，极限的四则运算，函数的连续性，闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值l 典型题选讲例求函数在0，2上的最大值和最小值.讲解我们知道，在闭区间上连续函数有最大值和最小值，于是，应用导数得令 化简为 解得当单调增加；当单调减少所以为函数的极大值又因为所以为函数在0，2上的最小值，为函数在0，2上的最大值点评本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力例设函数（1）求导数; 并证明有两个不同的极值点; （2）若不等式成立，求的取值范围讲解 （I） 因此是极大值点，是极小值点.（II）因 又由（I）知代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得 点评本题是年重庆高考第题我们可以看到由于导数的引入，使得三次函数成为高考命题的热点内容之一例设函数其中常数m为整数 (1) 当m为何值时,；(2) 定理：若函数g(x) 在a, b 上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x0(a,b),使g(x0)=0. 试用上述定理证明:当整数m1时,方程f(x)= 0,在e-m ,e2-m 内有两个实根讲解（）函数f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+)连续，且当x(-m,1-m)时,，f(x)为减函数,f(x)f(1-m)；当x(1-m, +)时, ，f(x)为增函数,f(x)f(1-m)根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且对x(-m, +)都有f(x)f(1-m)=1-m，故当整数m1时，f(x) 1-m0()由（I）知，当整数m1时，f(1-m)=1-m1时，类似地，当整数m1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的，故当m1时，方程f(x)=0在内有两个实根点评本题是年广东高考第题，试题当中的定理是高等数学中的基本知识，这种给出新的情景，由此来考查学习的潜能，需要读者在复习数学多多重视例（1）求证；（2） 求证 讲解想办法构造函数，妙用导数知识来证明不等式（1）令， 由 知， 于是，原不等式等价于 一方面，令 ， 则有，当 ，有 从而可以知道，函数在上是递增函数，所以有，即得 另一面，令 ，则有 ，当时，有，从而可以知道，函数在上是递增函数，所以有 ，即得 综上可知 （2）联系不等式（）和（），就会发现，令 时，不等式也成立，于是代入，将所得各不等式相加，得，即 点评应当说，本题的解答中构造的函数与年高考全国压卷题中显示的函数f(x)=ln(1+x)x没有什么区别有着高等数学背景的、如同年江苏卷的压轴题相近的不等式证明题似乎是高考命题的又一新的开挖点例 过点作曲线（，）的切线切点为，设点在轴上的投影是点；又过点作曲线的切线切点为，设点在轴上的投影是点；依此下去，得到一系列点，设点的横坐标是（1）求证：，；（2）求证：；（3）求证：（注：）讲解：（）为了求切线的斜率，只要对求导数，得若切点是，则切线方程是当时，切线过点，即，得；当时，切线过点，即，得所以数列是首项为，公比为的等比数列，（）应用二项式定理，得（）记，则，两式错位相减，得，故 点评：本题综合解析几何、导数、数列、二项式定理、不等式等知识点，在解答时，需要较强的思维能力和排除万难的吃苦精神将函数与数列相综合也是高考命题的一个关注的方向，而数列的不等式证明又是常考不衰的话题针对性演练1. 的值为（ ） A B.0 C D.1 2. 的值等于（）3. 已知等于（）E4. f / (3)= 2,f(3)=2，则（）.A.4 B. 0 C.8 D.不存在5. 下列函数在x 处连续的是（）6. 如图，正方形上连接等腰直角三角形，直角三角形边上再连接正方形，无限重复.设正方形原面积为，三角形的面积为，当的边长为2时，这些正方形和三角形的面积总和为 （）A10B11 C12 D137. 函数是定义在R上的可导函数，则为R上的严格单调增函数是的（ ）充分不必要条件 必要不充分条件充要条件 既不充分又不必要条件8. 已知函数，则等于（ ） B C D 9. 已知函数既存在极大值又存在最小值，则实数m的取值范围是（） D. 10. 点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ） A.1 B. C. D.xyOAxyOBxyOCxyODxyO11. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f (x)可能为（）.f(x)12. 若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则的取值范围是（）13. 如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3，P4，.，Pn，,记纸板Pn的面积为，则= _. P1P2P3P414. 已知数列的前项和，其中是与无关的常数，且若存在，则_. 15. 曲线的切线中，斜率最小的切线方程是xy11.某汽车启动阶段的路程函数为，则秒时，汽车的瞬时速度是 .4.17已知.设P： Q：当时，函数恒成立.如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围.18. 已知函数，（1）判断的单调性；（2）求；（3）求出该函数的值域.19已知函数（1）若，函数的图象能否总在直线的下方？说明理由；（2）若函数在0，2上是增函数，是方程=0的一个根，求证：；（3）若函数图象上任意不同的两点连线斜率小于1，求实数a的取值范围.20甲方是一农场，乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格），（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； （2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？21已知f(x)=(xR)在区间-1，1上是增函数（）求实数a的值组成的集合A；（）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1-x2|对任意aA及t1，1恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由如图，A、B为函数图像上两点，且ABx轴，点M（1，m）（m3）是ABC边AC的中点 （1）设点B的横坐标为t，ABC的面积为S，求S关于t的函数关系式； （2）求函数的最大值，并求出相应的点C的坐标参考答案A.D.C.C.A. A. B.D. B. B. D. B. 1314115xy1116 4 17. 当时，因为，故函数在为减函数，在上为增函数，在的最小值为当时，函数恒成立.如果P正确，且Q不正确，则如果P不正确，且Q正确，则所以的取值范围为18. (1).在是减函数.(2) .(3)由(1) (2)知值域为.19. （1）不能 （2）略 （3）20（1）因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为：.由，令得. 当时，；当时，所以时， 取得最大值.（可略）因此乙方取得最大年利润的年产量（吨）. （2）设甲方净收入为元，则. 将代入上式，得到甲方净收入与赔付价格之间的函数关系式.又，令，得.当时，；当时， ，所以时，取得最大值.因此甲方向乙方要求赔付价格（元/吨）时，获最大净收入。 21（）f(x)= ，f(x)在1，1上是增函数，f(x)0对x1，1恒成立，即x2ax20对x1，1恒成立. 设(x)=x2ax2，(1)=1a20， (1)=1+a20. 1a1，对x1，1，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f(-1)=0以及当a=1时，f(1)=0A=a|1a1. （）由=，得x2ax2=0， =a2+80x1，x2是方程x2ax2=0的两非零实根，有x1+x2=a， x1x2=2，从而|x1x2|=.1a1，|x1x2|=3.要使不等式m2+tm+1|x1x2|对任意aA及t1，1恒成立，当且仅当m2+tm+13对任意t1，1恒成立，即m2+t