第二轮第15讲排列组合二项式定理、概1

第15次数组的组合二项式定理和概率一、知识整合二、考试要求：1 .掌握分类计数原理和阶段计数原理，并应用它们分析和解决简单的应用问题2 .了解数组的含义，掌握数组数的计算公式，用它来解决简单的应用问题3、了解组合的含义，掌握组合数的计算公式和组合数的性质，解决简单的应用问题4 .掌握二项式定理和二项展开式的性质，用它们计算和证明简单的问题5 .了解随机事件的发生具有规律性和随机事件概率的意义6 .为了理解等可能性事件概率的含义，使用数组的基本公式计算等可能性事件的概率7 .了解互斥事件、互斥事件的含义，使用互斥事件的概率加法运算式和互斥事件的概率乘法运算式来计算若干事件的概率8 .计算事件在n次独立反复试验中恰好发生k次的概率I、随机事件的概率例1某商业银行向存款人提供的密码由0、1、2、9中的6个数字构成(1)有人擅自按下6个数字，调查自己储蓄卡密码的概率是多少？(2)有人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下面的数字进行实验，对自己的密码的概率是多少？解(1)的存储卡上的数字可重复，每6位的密码上的数字分别有0、1、2、9这10种，正确的结果有1种，其概率相当于随意按压6个数字，随意按压6个数字相当于下一个密码之一(2)该人记住自己储蓄卡的密码前5个正确的前提，随意按数字等，可能的结果是0、1、2、9这10种，正确的结果有1种，其概率是例2口袋里有m个白球和n个黑球，从中选择3个球，这3个球正好2白1黑的概率是多少(用组合数表示)释放事件I是“从m个白球和n个黑球中选择3个球”，对应于集合I1，事件a是“从m个白球中选择2个球，从n个黑球中选择1个球”，主题是等可能性事件问题，card (I1)=-p (a )=。ii、互斥事件可能发生例320个产品中有15个正品，5个次品，从中选择3个求出(1)有1件次品的概率(2)至少有1件次品的概率解(1)从20个产品中选择3个的方法，其中正好有1个不合格品的方法。正好不合格品的概率P=(2)法一从20个产品中选出3个，其中1个是事件a 1，2个是事件a 2，3个都是事故A3的概率P(A1)=，另外一方面，由于事件A1、A2、A3相互排他，所以有3件中至少1件不合格品的概率P(A1 A2 A3)=P(A1) P(A2) P(A3)=法律二记从20个产品中取3个，3个都是正品作为事件a，取3个，至少1个次品是对立事件的概率加法式P()=例4的扑克牌有心形、黑桃、俱乐部、四角形4种花色，分别为13张，合计52张，从1张洗牌中选择4张，求出4张中至少有3张黑桃的概率。解从52张卡片中选择了4张，分为“4张中至少有3张黑桃”、“正好有3张黑桃”和“4张全部有黑桃”，有很多种方法注意至少在讨论情况时，要明确分类。、相互独立事件同时发生的概率例5猎人以距离100米射击了一野兔，命中率为0.5，如果没有射中第一次射击，猎人就进行了第二次射击，距离为150米，如果没有射中第二次射击，猎人就进行了第三次射击，发射瞬间的距离为200米。 猎人命中概率与距离的平方成反比，求出猎人命中野兔的概率。解记三次射击顺序为事件a、b、c，其中，求出k=5000 .打中兔子的几率例6必须制造一个机械零件。 甲机床的不良率为0.05，乙机床的不良率为0.1，它们的生产是独立的。 从他们制造的产品中，分别任意抽出一个，求得(1)其中至少有一个废品的概率(2)其中至少有一个废品的概率解：将事件a作为“从甲机床提取的是废品”的b是“从乙机床提取的是废品”P(A)=0.05，P(B)=0.1(一)至少有一个废品的概率；(2)废品多的概率iv，概率内容的新概念很多，本课就学生容易犯错误做如下总结类型1“不可等”和“可等”混淆投掷2枚骰子，求出得分之和为6的概率误投两枚骰子的分数之和为2、3、4、12共计11种基本事件，因此概率为P=不能解析以上的11种基本事件，例如分数和2只有(1，1 )，分数之和6是(1，5 )、(2，4 )、(3，3 )、(4，2 )、(5，1 )共计5种。 实际上投掷2枚骰子是36种基本事件，因为这是可能的，“分数之和为6”的概率是P=。类型2“排他”与“对立”的混淆例2将红、黑、白、蓝四张牌随机分为甲、乙、丙、丁四人，每人分一张，案件“甲分红牌”和“乙分红牌”为()对立事件b .不可能事件c .相互排斥但不对立的事件d .以上不同误解a分析本问题错误的原因是“互斥”和“对立”，两者的联系和差异主要表现如下(1)两个事件对立，必须是排他的(2)互斥概念应用于多个事件，但是对立概念只应用于两个事件(3)两个事件互斥不应该同时发生，即最多只发生一个事件，但只发生事件“给甲分红牌”和“给乙分红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件恰好发生一个，一个也没有发生，两个都有可能不发生，所以应该选择c类型3“排他”与“独立”的混淆例3甲投篮命中率为O.8，乙投篮命中率为0.7，每人3次，两人正好2次命中的概率是多少如果误将“甲方正好2次”定为事件a，“乙方正好2次”定为事件b的话，两人正好是事件A B，P(A B)=P(A) P(B ) :分析本问题的错误原因，是将相互独立同时发生的事件视为排他性事件，两人理解为刚好2次“甲方正好2次”和“乙方正好2次”之和。 排他性事件是指两个事件不能同时发生，两个事件相互独立，一个事件的发生对另一个事件的发生没有影响，描绘了两个事件之间的关系，但描绘的关系根本不同。解：“甲方正好两次”为事件a，“乙方正好两次”为事件b，a、b相互独立因为两个人正好碰上事件AB，所以P(AB)=P(A)P(B)=0.169四、高考题选说1甲、乙两人参加普遍知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选题6个，判断题4个，甲、乙两人依次抽出1个。(I )甲方提取选择问题，乙方提取判断问题的概率是多少？(ii )甲、乙两人中至少有一人提取选题的概率是多少(2000年新课程)如图2所示，通过a、b、c这三种不同元件与两个系统N1、N2连接，在元件a、b、c都正常动作的情况下，系统N1正常动作，在元件a、b、c都正常动作的情况下，系统N2正常动作， 已知系统n-2正常操作，并且部件a、b和c正常操作的概率依次为0.80、0.90和0.90。 分别求出系统N1、N2正常动作的概率P1、p23某公司6名员工通过互联网开展工作，1名员工接入互联网的概率为0.5 (独立)。(I )求出至少3人同时上网的概率；(ii )至少有多少人同时上网的概率低于0.3？ (2002年新课程)共有43种产品，合格率分别为0.95、0.95和0.95，分别抽取1份进行检测(I )正好求出不合格的概率；(ii )至少求出2个不合格概率(精度到0.001 ) (2003年新课卷)从10名学生(其中6人、4人)中随机选择3人参加考试。 每个女生能够通过考试的概率，每个男生能够通过考试的概率如下(I )被选中的三个同学中，至少有一个男学生的概率()10名同学中女学生甲和男学生乙同时当选，考试合格的概率(2004年全国卷I )解：本小题主要考察组合、概率等基本概念、独立事件和互斥事件的概率和运用概率知识解决实际问题的能力，满分为12分解： (I )随机选择的三个同学中，至少有一个男学生的概率是1-； 6分(ii )甲、乙获选，考试合格的概率为 12分众所周知，6.8支队伍中有3支队伍弱，通过抽签将这8支队伍分为a、b两组，每组求4支队伍(I)a、b两组中有一组正好有两队弱队存在的概率(ii)a组至少有两个弱队的概率。 (2004年全国卷ii )解： (I )解法1 :三弱队在同一组的概率所以小组刚好有两个弱队的概率解法二：恰好有两个弱队存在的概率(ii )解法1:a组至少有2个弱体队的概率解法2:a、b两组至少有两个弱队的概率是1，因为a组和b组至少有两个弱队的概率是相同的，所以a组至少有两个弱队的概率是7 .某学生参加科学知识竞赛需要回答三个问题。 竞赛规则中，1、2、3题正解分别规定为100分、100分、200分、0分。 该学生回答1、2、3题的概率分别为0.8、0.7、0.6，假定各题有无正确答案互不影响。(I )求该同学获得300分的概率；(ii )寻求该同学获得至少300分的概率(2004年全国卷iii )8 .男子4人和女子2人中任意3人参加演讲比赛(I )寻求被选中的三人为男子的概率；(ii )求选出的三人中正好有一个女孩的概率(iii )求出被选中三人中至少有一个女孩的概率(2004年天津卷)9 .某地区有5家工厂，由于电力不足，规定每家工厂必须选择一周以内的停电日假定工厂间的选择互不影响(I )寻求五个工厂星期日停电的概率；(ii )寻求至少两家工厂同日停电的概率(2004年浙江卷)10 .众所周知，甲、乙参加英语口语考试，在候补的10道题中，甲能正确解答其中的6道题，乙能正确解答其中的8道题。 每次考试都是从候补中随机抽出3题进行测试，至少正确答案2题合格。(I )分别求出甲、乙两人考试合格的概率；(ii )求甲、乙至少一人通过考试的概率(2004年福建卷)11 .甲、乙、丙3台机床分别独立加工同一部件，甲的机床加工的部件为一等品，乙的机床加工的部件不是一等品的概率，乙的机床加工的部件为一等品，丙的机床加工的部件不是一等品的概率，甲、丙的2台机床加工的部件为一等品的概率，以(I )求出甲、乙、丙三台机床各自的加工部件为一等品的概率(ii )从甲、乙、丙加工的零件中逐一检查，求出至少有一等品的概率(2004年湖南卷)12 .为防止某些突发事件，可以采取甲、乙、丙、丁四种独立的预防措施。 单独采用甲、乙、丙、丁的预防措施后，该突发事件不发生的概率(记为p )和必要费用为：预防措施甲乙丙丁p0.90.80.70.6费用(万元)90603010预防方案可以单独采用一项预防措施，也可以并用一些预防措施，总费用不超过120万元前接下来，为了使这个突发事件不发生的概率达到最大，请决定预防方案(2004年湖北卷)解：方案一：单独采用一项预防措施的费用均不超过120万元。 由表可知，通过采取甲方措施，不发生该突发事件的概率最大，其概率为0.9方案2 :联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，表明联甲、丙两种预防措施不发生该突发事件的概率最大，其概率为1-(1-0.9)(1-0.7)=0.97。方法3 :联合采用3种预防措施，费用不超过120万元，只能联合采用乙、丙、丁3种预防措施。 在此情况下，不发生突发事件的概率为1-(1- 0.8 ) (1- 0.7 ) (1- 0.6 )=1- 0.024=0.976综合上述三项预防方案，在总费用不超过120万元的前提下，乙、丙、丁三项预防措施并用，不发生这一突发事件的概率最大。13 .甲、乙、丙三人每次命中目标的概率分别为0.7、0.6、0.5(I )三人向各方向射击一次，求出至少一人命中目标的概率和正好两人命中目标的概率(ii )若甲单独向目标射击三次，求出正好两次命中的概率(2004年重庆卷)14 .从数字1、2、3、4、5中随机提取3个数字(允许重复)以构成3位，其各位的数字之和等于9的概率为(d )A.B.C.D15.(本小题满分12分)接待中心有a、b、c、d 4个热线电话，在某一时刻电话a、b所占概率均为0.5，电话c、d所占概率均为0.4，各电话所占概率不相互影响。 假定那个时刻部的电话所占。 求随机变量的概率分布及其期望。解：本小题主要考察离散型随机变量分布列和数学期待等概念。 运用概率知识考察解决实际问题的能力。 满分为十二分解： P(=0)=0.520.62=0.09P(=1)=0.520.62 0.520.40.6=0.3p (=2)=0. 520.620.520.40.60.520.42=0. 37P(=3)=0.520.40.6 0.520.42=0.2P(=4)=0.520.42=0.04因此，得到随机变量