第八课时等比数列二

第八课时 等比数列(二)教学目标：灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；提高学生的数学素质，增强学生的应用意识.教学重点：1.等比中项的理解与应用.2.等比数列定义及通项公式的应用.教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.教学过程：.复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式.讲授新课根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质? (1)若a，A，b成等差数列a，A为等差中项.那么，如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则即，即G2ab反之，若G2ab，则，即a，G，b成等比数列a，G，b成等比数列G2ab (ab0)总之，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G，(a，b同号)另外，在等差数列中，若mnpq，则amanapaq，那么，在等比数列中呢？由通项公式可得：ama1qm1，ana1qn1，apa1qp1，aqa1qq1不难发现：amana12qm+n2，apaqa12qp+q2若mnpq，则amanapaq下面看应用这些性质可以解决哪些问题?例1在等比数列an中，若a3a5100，求a4.分析：由等比数列性质，若mnpq，则amanapaq可得：解：在等比数列中，a3a5a42又a3a5100，a410.例2已知an、bn是项数相同的等比数列，求证anbn是等比数列.分析：由等比数列定义及通项公式求得.解：设数列an的首项是a1，公比为p；bn的首项为b1，公比为q.则数列an的第n项与第n1项分别为a1pn1，a1pn数列bn的第n项与第n1项分别为b1qn1，b1qn.数列anbn的第n项与第n1项分别为a1pn1b1qn1与a1pnb1qn，即为a1b1(pq)n1与a1b1(pq)npq它是一个与n无关的常数，anbn是一个以pq为公比的等比数列.特别地，如果an是等比数列，c是不等于0的常数，那么数列can是等比数列.例3三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数.解：设m，G，n为此三数由已知得：mnG14，mnG64，又G2mn，G364，G4，mn10或即这三个数为2，4，8或8，4，2.评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径.课堂练习课本P50练习1，2，3，4，5.课时小结本节主要内容为：(1)若a，G，b成等比数列，则G2ab，G叫做a与b的等比中项.(2)若在等比数列中，mnpq，则amanapaq .课后作业课本P52习题 5，6，7，9等比数列(二)1已知数列an为等比数列，且an0，a2a42a3a5a4a625，那么a3a5的值等于（ ）A.5 B.10 C.15 D.202在等比数列中，a11，qR且|q|1，若ama1a2a3a4a5，则m等于 （ ）A.9 B.10 C.11 D.123非零实数x、y、z成等差数列，x1、y、z与x、y、z2分别成等比数列，则y等于（ ）A.10 B.12 C.14 D.164有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.5在数列an和bn中，an0，bn0，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a11，b12，a23，求anbn的值.6设xy2，且xy，xy，xy，能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.7有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.等比数列(二)答案1已知数列an为等比数列，且an0，a2a42a3a5a4a625，那么a3a5的值等于（ ）A.5 B.10 C.15 D.20分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定基本量a1和q，再求a3a5的方法是不行的，而应寻求a3a5整体与已知条件之间的关系.解法一：设此等比数列的公比为q，由条件得a1qa1q32a1q2a1q4a1q3a1q525即a12q4(q21)225，又an0，得q0a1q2(q21）5a3a5a1q2a1q4a1q2(q21)5解法二：a2a42a3a5a4a625由等比数列性质得a322a3a5a5225即(a3a5)225，又an0，a3a55评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，以达到简化解题过程、快速求解的目的.2在等比数列中，a11，qR且|q|1，若ama1a2a3a4a5，则m等于 （ ）A.9 B.10 C.11 D.12解：ama1a2a3a4a5a15q1+2+3+4a15q10a15q111又a11，amq111，m11. 答案：C3非零实数x、y、z成等差数列，x1、y、z与x、y、z2分别成等比数列，则y等于（ ）A.10 B.12 C.14 D.16解：由已知得y12答案：B4有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.解：设所求的四个数分别为a，xd，x，xd则解得x4，代入、得解得或故所求四个数为25，10，4，18或9，6，4，2.5在数列an和bn中，an0，bn0，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列，a11，b12，a23，求anbn的值.分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转换.解：由题意知：an+1，an (n2)代入得2bn即2 (n2)成等差数列，设公差为d又b12，b2，d（n1）（n1），bn（n1）2，当n2时，an 且a11时适合于式，故 .评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.6设xy2，且xy，xy，xy，能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.分析：先由xy2，可知xyxyxy，下来只需讨论 和xy的大小关系，分成两种情况讨论.解：xy2，xyxy，xyxy，而 1xy当 xy时，由 ，xy，xy，xy顺次构成等比数列.则有解方程组得x75，y5所求等比数列为，2，12，70.当 xy时，由xy， ，xy，xy顺次构成等比数列则有解方程组得y，这与y2矛盾，故这种情况不存在. 7有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.分析一：从后三个数入手.解法一：设所求的四个数为 ，xd，x，xd，根据题意有，解得或所求四个数为3，6，12，1