平面向量的数量积在解析几何中的应用辅导不分本

平面向量的数量积在解析几何中的应用http:/www.DearEDU.com尹建堂 在解析几何中涉及到长度、角度、垂直等的诸多问题中，如能适当地构造向量，利用向量的数量积的几何意义和运算法则，将其转化为向量的运算，往往使问题简捷获解。一、与长度有关的问题通过向量的数量积可以计算向量的长度，这给解决线段长度问题拓宽了思路，提供了方便。这里常用的公式有：；若，则；若，则A、B两点的距离公式为。 例1. 在OFQ中，1，该三角形面积。以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，求：（I）用c表示；（II）的最小值及此时点Q的坐标；（III）最小时的椭圆方程。 分析：本题重点是对（I）的求解。取图1的坐标系后设，则可用表示。如何消去，将其转化为，则是解题的关键。根据面积条件易求；再由条件及可求得，从而可消去，得到的关于c的表达式。 解：（I）取坐标系如图1所示。设Q（），又F，则图1 ， 因为 所以 又，得， 即 所以，故知 于是，得 （II）由（I）知，当且仅当时，此时点Q坐标为（） （III）设椭圆方程为，由（II）知Q，又点Q在椭圆上，得 所以所求椭圆方程为。二、与角度有关的问题设向量都是非零向量，夹角为，则；若，则。以上是解决有关夹角问题的重要公式，称为夹角公式。利用上述公式，就能比较方便、容易地解决涉及角的诸多问题。 例2. 给定抛物线，F是C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，设l的斜充为1，求与夹角的大小。 分析：设出后，不难用韦达定理求出，于是容易求出及，再用夹角公式即可获解。 解：由焦点F（1，0）， 则， 代入，整理，得 设、，则 于是有 所以 所以与夹角的大小为。 例3. 已知两点M（1，0）、N（1，0），且点P使，成公差小于零的等差数列。 （I）点P的轨迹是什么曲线？ （II）若点P的坐标为，记为与的夹角，求。 分析：（I）设P（x，y），求出各有关向量的坐标，利用数量积公式，将题设条件转化为即所求轨迹方程；（II）求夹角公式，结合（I）知0，先求出，进而求出。 解：（I）设P（x，y），则M（1，0）、N（1，0），得 ， （2，0） 所以 于是，是公差小于零的等差数列，等价于 所以点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆（除去两端点）。 （II）因为点在右半圆上， 所以 则 所以 因为 所以 ， 所以。三、与垂直有关的问题 对于非零向量，有；若，则。这是体现“垂直”内涵的等式，借此可把解析几何复杂的位置关系转化为纯粹的向量运算。所以解析几何中涉及到垂直问题（垂直的判断或应用），利用这些向量关系式求解是非常方便的。 例4. 已知直线和圆，问是否存在实数b，使从点A（3，3）发出的光线被直线l反射后与圆O相切于点？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由。 分析：假设存在这样的b，则OB垂直于反射线所在直线AB（A为A关于l的对称点），利用的条件便可获解。 解：假设存在满足条件的实数b，易得点A（3，3）关于直线的对称点A（3b，3b），则反射光线所在的直线为AB，如图2图2 因为 ， 又 则 解得 所以符合所给条件的实数b存在，其值为4。 评注：本题解法虽多，但利用向量知识求解显得简捷明快。 例5. 如图3，过抛物线的对称轴上任一点P（0，m），作直线交抛物线于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点，设P分有向线段所成的比为，试证：。图3分析：欲证得结论，需要分别求出的坐标，为此设，AB：，将其代入抛物线方程后求出，且易求出各有关向量坐标及的坐标表示，然后通过向量运算和向量垂直的充要条件使结论获证。 证明：依题意设，代入，得 （*） 设，则由（*），得 由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得 ，从而得 因点Q与点P关于原点对称，则Q（0，m），从而得： ， 于是 所以。 通过以上各例使我们体会到：（1）利用向量数量积求解