高一数学 指数函数 人教 知识精讲

用心 爱心 专心1 高一数学高一数学 指数函数指数函数 人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 指数函数 二. 重点、难点： 指数函数在底数和两种情况的图象和性质如下表所示： x ay 1a10 a 1a10 a 图象 y=1 (0,1) x y (a1) y=ax O y=1 (0,1) O (0a1) y=ax y x （1）定义域 R （2）值域), 0( （3）过点（0，1） ，即时，0x1y （4）时，0x1y 时，0x10 y （4）时，0x10 y 时，0x1y 性质 （5）在 R 上是增函数在 R 上是减函数 本节重点是指数函数的图象和性质 【典型例题典型例题】 例 1 试比较，三者之间的大小关系。 8 . 0 8 . 0a 8 . 09 . 0 2 . 1,8 . 0cb 解：解：由于指数函数在 R 上是减函数，则由，故 x y8 . 09 . 08 . 0 9 . 08 . 0 8 . 08 . 0 在中，当时，由，故 x y8 . 08 . 0x08 . 018 . 0 8 . 0 在中，当时，由，故。 x y2 . 18 . 0x08 . 012 . 1 8 . 0 因此，综上所述，有 8 . 08 . 0 2 . 118 . 0 8 . 08 . 09 . 0 2 . 18 . 08 . 0 例 2 设，试确定的大小关系。10 a1 nm aanm nmaa, 解：解：由，故指数函数为减函数，又由，故。10 a x ay 1 nm1 nm aa 由，则指数函数为增函数，又，故，同理。1n x ny 10 a1 a n1 a m 又由，故。1)( a a a n m n m aa nm 所以。 mnaa aanm1 例 3 已知，试判定的奇偶性。) 1, 0( 1 ) 1( )( aa a ax xf x x )(xf 解：解：显然定义域为 R。)(xf 当时，0x0)0()()(fxfxf 当时，此时0x0)(xf 用心 爱心 专心2 ) 1( 1 1 ) 1( 1 ) 1( 1 ) 1)( )( )( x x x x x x x x ax a a ax a ax a ax xf xf 1 ) 1)(1 ( ) 1)(1 ( ) 1)(1( ) 1)(1( xxx xxx xx xx aaa aaa aa aa 即)()(xfxf 所以，对任意为偶函数。)(),()(,xfxfxfRx 例 4 （91 全国高考文科）设，解关于 x 不等式0a1a 224 ) 1 ( 2axx a a 解：解：原不等式 224 2axx aa （1）当时，上式10 a02 224 axx 222 1111axa 或 2222 111111|11axaaxa 22 1111axa （2）当时，原不等式1a022 224224 axxaxx 由，故此式对任意均成立，所以解集0)1 (444 22 aaRx ),(x 综上，原不等式解集为：当时，10 a ；当时，)11,11()11,11( 2222 aaaax1a 。),(x 例 5 已知函数，其中，是 R 上的增函数，求 a 的)( 2 )( 2 xx aa a a xf 1, 0aa 取值范围。 解：解：设，且，则Rxx 21,21 xx )( 2 )( 2 )()( 1122 22 12 xxxx aa a a aa a a xfxf )()( 2 2 2112 2 xxxx aaaa a )( 1 )( 2 2 12 21 12 2 xx xx xx aa aa aa a ) 1 1)( 2 2 21 12 2xx xx aa aa a 由，且为增函数，故 a 应满足，0 1 1, 0 21 xx aa a)(xf0)(2( 12 2 xx aaa 则或 0 02 12 2 xx aa a 0 02 12 2 xx aa a 则或。2a10 a 例 6 设。)2()(, 1 1 1)( |x fxg x xf （1）写出函数与的定义域。)(xf)(xg （2）函数与是否具有奇偶性，并说明理由。)(xf)(xg 用心 爱心 专心3 （3）求出函数的单调递减区间。)(xg 解：解： （1）因，故定义域为。1x)(xf), 1 () 1,( 因，故，定义域为。012 | x 0x)(xg), 0()0,( （2）因的定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数。)(xf)(xf 因，故函数为偶函数。)()2()2()( | xgffxg xx )(xg （3）设，且，由于), 0(, 21 xx 21 xx )2()2()()( | 12 12 xx ffxgxg ) 12)(12( 22 12 1 12 1 12 21 12 xx xx xx 由，故，即函数在 2112 22, 012, 012 xxxx 0)()( 12 xgxg)(xg 上是减函数，又由为偶函数，则在（）上为增函数。), 0()(xg)(xg0, （3）还可利用复合函数单调性结论来解，令， 1 1 1)( u uf t tuu2)( ，则，列表如下：|)(xxtt)()(xtufxg x )0,(), 0( |)(xxt t tu2)( 1 1 1)( u uf )()(xtufxg 故在上是减函数。)(xg), 0( 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题： 1. 如图，指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， x ay x by x cy x dy 则 a、b、c、d 的大小关系是（ ） A. B. dcba1cdab1 C. D. dcba1cdba1 1 O y (1) (2) (3) (4) x 2. 函数满足且，则与的大cbxxxf 2 )()2()(xfxf3)0(f)( x bf)( x cf 小关系是（ ） A. B. )()( xx cfbf)()( xx cfbf C. D. 不能确定)()( xx cfbf 3. 已知函数的图象过点（1，7） ，其反函数图象过点（4，0） ，则的baxf x )()(xf 表达式为（ ） 用心 爱心 专心4 A. B. 43)( x xf34)( x xf C. D. 52)( x xf25)( x xf 二. 填空题： 1. 函数的最小值为 。)22(244 xxxx y 2. 函数的单调递减区间为 。 12 212 xx y 3. 已知函数的值域为1，7，则定义域为 。3234 xx y 三. 解答题： 1. 已知，试求函数，并1),( 2 1 )( aaaxf xx 1)( 2 xxxg)(xfgy 讨论它的奇偶性。 2. 已知函数， 52132 22 ) 2 1 ()(,) 2 1 ()( xxxx xgxf （1）求使成立的 x 值；)()(xgxf （2）求使、均为增函数的单调区间；)(xf)(xg （3）求和的值域。)(xf)(xg 用心 爱心 专心5 【试题答案试题答案】 一. 选择题： 1. B 2. A 3. B 二. 填空题： 1. 2. 3. 2)0,(2, 1 1,( 三. 解答题： 1. 解：由，则1)(, 1),( 2 1 )( 2 xxxgaaaxf xx 1)()()( 2 xfxfxfg 1)( 2 1 )( 2 1 2 xxxx aaaa 2 )( 2 1 )( 2 1 xxxx aaaa | 2 1 )( 2 1 xxxx aaaa 由，当时，1a0x xxxxxxx aaaaaxfgaa )( 2 1 )( 2 1 )(, 当时，0x xxxxxxx aaaaaxfgaa )( 2 1 )( 2 1 )(, 故 0, 0, )( xa xa xfg x x 当时，0x0 x)()( )( xfgaaxfg xx 当时，0x0 x)()(xfgaxfg x 当时，0x)(1)( 0 xfgaxfg 综上，对内的任意 x，有，故为偶函数。Rx)()(xfgxfg)(xfg 2. 解： （1）由 52132 22 ) 2 1 () 2 1 ( xxxx 52132 22 xxxx ，即的解集为（2，3）065 2 xx32x)()(xgxf （2）的减区间为；的减区间为，132 2 xxy 4 3 ,(52 2 xxy 1,( 而为减函数，故使均为增函数的单调区间为。 x y) 2 1