抛物线定义的妙用人教_第1页
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文档简介

抛物线定义的妙用邱兆理 许少华对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题思路，提高思维能力。现举例说明如下。一、求轨迹（或方程）例1. 已知动点M的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（ ）A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对解：由题意得：即动点到直线的距离等于它到原点（0，0）的距离由抛物线定义可知：动点M的轨迹是以原点（0，0）为焦点，以直线为准线的抛物线。故选C。二、求参数的值例2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点距离为5，求m的值。解：设抛物线方程为，准线方程：点M到焦点距离与到准线距离相等解得：抛物线方程为把代入得：三、求角例3. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为，则_。A. 45 B. 60 C. 90 D. 120图1解：如图1，由抛物线的定义知：则由题意知：即故选C。四、求三角形面积例4. 设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若，。求OPQ的面积。解析：如图2，不妨设抛物线方程为，点、点图2则由抛物线定义知：又，则由得：即又PQ为过焦点的弦，所以则所以，点评：将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能。五、求最值例5. 设P是抛物线上的一个动点。（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线的距离之和的最小值；（2）若B（3，2），求的最小值。解：（1）如图3，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是由抛物线的定义知：点P到直线的距离等于点P到焦点F的距离。于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小。显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为，即为。图3（2）如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点，则，则有即的最小值为4图4点评：本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解。六、证明例6. 求证：以抛物线过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。证明：如图5，设抛物线的准线为，过A、B两点分别作AC、BD垂直于，垂足分别为C、D。取线段AB中点M，作MH垂直于H。
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