排列组合与二项式定理本章小结

排列 组合与二项式定理 本章小结例1 如图所示，、为个区域，现备有种颜色为个区域涂色，涂色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域只涂一色共有多少种不同的涂色方法？分析：显然处于中央，与其他区域都相接，因此它的地位比较特殊，应优先考虑本题可分解为三类涂法：用颜色涂；用种颜色涂；用种颜色涂显然用种颜色涂不可能解：本题有三类涂法第一类：用种颜色涂，显然有种涂法第二类：用种颜色涂，显然有类涂法：与涂同一色，其余三区各涂一色；与涂同一色，其余三区各涂一色，故涂法种数是（是指先选出种颜色）第三类：用种颜色涂，那么与、与、三部分区域各涂一色，故有种涂法（是指先选出种颜色）综上，涂法总数是：种说明：给图形涂色问题与具体的图形开关有关，需要仔细分析图形特征另外，对有些题目，一眼看去好像很繁杂，无从下手；这时我们可以从最简单的研究起，然后逐次研究其他的问题比如本题最简单的情况是种颜色个区域；复杂的情况是种颜色、种颜色涂个区域复杂的问题分解之后往往就会变得简单，然后先从最简单的情况研究起这是一种常用的解题策略例2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 解：（1）先排歌唱节目有种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：43200. （2）先排舞蹈节目有中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：2880种方法。 说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。如本题（2）中，若先排歌唱节目有，再排舞蹈节目有，这样排完之后，其中含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求。例3 5名男生、2名女生站成一排照像：（1）两名女生要在两端，有多少种不同的站法？（2）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？（3）两名女生要相邻，有多少种不同的站法？（4）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？（5）女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？（6）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？解：（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排；（种）；（2）中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生；（种）；（3）把两名女生当作一个元素，于是对六个元素任意排，然后解决两个女生的任意排列；（种）；（4）把男生任意全排列，然后在六个空中（包括两端）有顺序地插入两名女生；（种）；（5）七个位置中任选五个排男生问题就已解决，因为留下两个位置女生排法是既定的；（种）；（6）采用排除法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的个，再去掉女生乙在右端的个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的种排除了两次，要找回来一次（种）例4 车间有名工人，其中名男工是钳工，名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这名工人里选派名钳工，名车工修理一台机床，问有多少种选派方法解法1：设、代表位老师傅，都不在内的选法有：种；，都在内且当钳工的选法有：种；，都在内且当车工的选法有：种；，都在内，一人当钳工，一人当车工的选法有：种；，有一人在内当钳工的选派方法有：种；，有一人在内当车工的选派方法有：种；共有(种)解法2：名钳工有名选上的派出方法是：种；名钳工有名被选上的方法是：；名钳工有名被选上的方法是：种一共有(种)解法3：名女车工都在的选派方法：种；名女车工有人在内的派选方法：种；名女车工有名在内的派选方法：种；一共有(种)说明：解法1是以老师傅为主考虑的；解法2是以钳工为主考虑的；解法3是以车工为主考虑的例5 某仪表显示屏上一排有七个小孔，每个小孔可以显示0或1，若每次显示出其中的三个孔，但相邻的两个孔不能同时显示，则这个显示屏可以显示的不同信号种数是多少？解：=80例6 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的得系数为：，由已知：，通项公式为为有理项，故是4的倍数，依次得到有理项为说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项类似地，的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17项例7求证：；证明：(法1)，此式左右两边展开式中的系数必相等左边的系数是，右边的系数是，等式成立(法2)设想有下面一个问题：要从个不同元素中取出个元素，共有多少种取法？该问题可有两种解法一种解法是明显的，即直接由组合数公式可得出结论：有种不同取法第二种解法，可将个元素分成两组，第一组有个元素，第二组有个元素，则从个元素中取出个元素，可看成由这两组元素中分别取出的元素组成，取法可分成类：从第一组取个，第二组不取，有种取法；从第一组取个，从第二组取个，有种取法，第一组不取，从第二组取个因此取法总数是而该问题的这两种解法答案应是一致的，故有例8填空：(1) 除以的余数_；(2) 除以的余数是_.分析(1)：将分解成含的因数，然后用二项式定