高一数学典型例题分析等比数列的前n项和

等比数列的前n项和例题解析【例1】 设等比数列的首项为a(a0)，公比为q(q0)，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q解 由Sn=80，S2n=6560，故q1a0，q1，等比数列为递增数列，故前n项中最大项为anan=aqn-1=54将代入化简得a=q1由，联立方程组解得a=2，q=3证 Sn=a1a1qa1q2a1qn-1S2n=Sn(a1qna1qn+1a1q2n-1)=Snqn(a1a1qa1qn-1)=SnqnSn=Sn(1qn)类似地，可得S3n=Sn(1qnq2n)说明 本题直接运用前n项和公式去解，也很容易上边的解法，灵活地处理了S2n、S3n与Sn的关系介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧【例3】 一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数分析 设等比数列为an，公比为q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1，a1q解 设项数为2n(nN*)，因为a1=1，由已知可得q1即公比为2，项数为8说明 运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时，对公比q要分情况讨论有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的【例4】 选择题：在等比数列an中，已知对任意正整数n，有Sn=2n 解 Da1=S1=1，an=SnSn-1=2n-1an=2n-1bn=(an)2=(2n-1)2=22n-2=4n-1【例5】 设0V1，m为正整数，求证：(2m1)Vm(1V)1V2m+1分析 直接作，不好下手变形：右边分式的外形，使我们联想到等比数列求和公式，于是有：(2m1)Vm1VV2V2m发现左边有(2m1)个Vm，右边有(2m1)项，变形：VmVmVm1VV2V2m显然不能左右各取一项比较其大小，试用“二对二”法，即左边选两项与右边的两项相比较鉴于左、右两边都具有“距首末等远的任意两项指数之和均相等”的特点，想到以如下方式比较：VmVm1V2m，VmVmVV2m-1，VmVmVm-1Vm+1，Vm=Vm即2Vm1V2m，2VmVV2m-1，根据“两个正数的算术平均值大于等于其几何平均值”，这些式子显然成立(具体证法从略)说明 本题最大的特点是解题过程中需要多次用到“逆向思考”：C，BD，等等善于进行逆向思考，是对知识熟练掌握的一种表现，同时也是一种重要的思维能力，平时应注意训练【例6】 数列an是等比数列，其中Sn=48，S2n=60，求S3n解法一 利用等比数列的前n项和公式若q=1，则Sn=na1，即na1=48，2na1=9660，所以q1=Sn(1qnq2n)解法二 利用等比数列的性质：Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列 (6048)2=48(S3n60) S3n=63解法三 取特殊值法取n=1，则S1=a1=48，S2n=S2=a1a2=60 a2=12 an为等比数列S3n=S3=a1a2a3=63【例7】 已知数列an中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an2(nN*)，a1=1(1)设bn=an+12an(nN*)，求证：数列bn是等比数列；解 (1) Sn+1=4an2Sn+2=4an+12两式相减，得Sn+2Sn+1=4an+1=4an(nN*)即：an+2=4an+14an变形，得an+22an+1=2(an+12an) bn=an+12an(nN*) bn+1=2bn由此可知，数列bn是公比为2的等比数列由S2=a1a2=4a12，a1=1可得a2=5，b1=a22a1=