河北沙河二十冶综合学校高中分校高中数学《1.5定积分的概念》导学案新人教选修22_第1页
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1.5定积分的概念【知识体系】1. 定积分的概念 一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：，其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是（2）用定义求定积分的一般方法是：分割：等分区间；近似代替：取点；求和：；取极限：（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功 2定积分的几何意义 如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积。说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号 轴上方面积减轴下方的面积3. 定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 性质2 （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质3 （定积分的线性性质）性质4 （定积分对积分区间的可加性）性质5 若，则性质6如果在区间上有，则 【方法点拨】1. 求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割在区间中任意插入各分点，将它们等分成个小区间，区间的长度，第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值第三步：求和第四步：取极限。说明：（1）归纳以上步骤，其流程图表示为：分割以直代曲求和逼近（2）最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值2. 一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在ab内所作的位移【范例延展】例1：求图中阴影部分是由抛物线，直线以及轴所围成的平面图形的面积S。 思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？ （2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？练习：求围成图形面积例2. 汽车以速度作匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：km/h），那么它在01(单位：h)这段时间内行驶的路程（单位：km）是多少？（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即
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