高一数学空间中的垂直关系人教实验B知识精讲

高一数学空间中的垂直关系：人文教育实验B版:这是教育信息一、教学内容：空间中的垂直关系二。学习目标1.掌握垂直于平面的直线的定义、判断定理和性质定理，并能用它们来演示和解决相关问题；2.掌握平面垂直于平面的概念、判断定理和性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决相关问题；3.在研究垂直问题时，要善于运用“变换”和“降维”的思想，通过线、线、面、面之间的平行和垂直关系的变换来解决问题。Iii .知识要点1.垂直于平面的直线的定义：如果一条直线垂直于平面上的任何一条直线，那么这条直线就是垂直于平面。2.垂直线和平面的确定：常用方法包括：(1)判断定理：abab；(线和平面的垂直性质定理)(3)，a a (平面对平面平行性定理)(4) ，=l，al，aa(表面垂直性质定理)3、直线垂直于平面的性质定理：(1)如果两条直线垂直于一个平面，那么两条直线是平行的。(a,bab)(2)当直线垂直于平面时，则直线垂直于平面中的任何直线()4.点到平面距离的定义：这个平面的垂直线是从平面外的一点画出的。该点与垂直脚之间的线段长度称为从该点到平面的距离。特别注意：从点到表面的距离可以垂直于表面，但是应该考虑垂直脚的位置。如果不能确定垂直脚的位置，通常采用从该点到表面上某一条线的垂直线来证明垂直脚是表面的垂直脚。5、平面与平面垂直的定义和判断定理：(1)定义：如果两个相交平面的交线垂直于第三平面，并且通过两个平面和第三平面的相交而获得的两条交线彼此垂直，则这两个平面称为彼此垂直。注：平面 平面(2)判断定理：如果一个平面通过另一个平面的垂直线，那么这两个平面相互垂直。(缩写为：垂直线和平面，垂直面和平面)6.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面上垂直于它们的交线的线垂直于另一个平面。(缩写为：垂直面、垂直线和平面)。)思维方式：确定两个相交平面垂直度的常用方法是：线与面垂直，面与面垂直；有时使用定义也是一种方法。典型例子例1，(1)直线m，n和平面， 的一个充分条件是()a、mn,m,n B、mn,=m,nc、mn,n,m D、mn,n,m(2)让A和B是不同平面上的直线，并给出以下命题：(1)只有一个平行于直线B的平面穿过直线A；(2)只有一个垂直于直线B的平面穿过直线A；(3)有两个平行平面分别穿过直线A和直线B；有两个平面分别穿过相互垂直的直线A和直线B。错误的命题是()a、和 B、和 C、和 D，仅(3)假设平面 平面，m是中的直线，n是中的直线，而mn，男：；B: n c: m或北部；D: m和n.在四个结论中，有三个是不正确的()解：(1)对于A，平面和可以平行或相交，但不垂直。对于b，平面中的直线n垂直于两个平面的交线m。直线n不一定垂直于平面，平面和也不一定垂直。对于d，m ，mn，n 和n ，所以。只有c是正确的，mn，n 是m 和m， 是由平面垂直于平面的判断定理得到的。所以选择c。(2)正确。如果A上的任何一点与B的平行线B相交，则ab确定唯一平面。(2)错误：假设它是真的，b是飞机，是飞机，是飞机，但是a和b的不同平面不一定是(4)正确。从另一个角度考虑，当两个垂直面分别取一条直线时，会出现各种不同的平面，总而言之，只有(2)错了选项d(3) C是正确的。举一个反例：在任何平面上画一条与交线平行的直线m(或n)，在另一个平面上画一条与交线垂直的直线n(或m)来翻转a、b和d项。思考提示：解决这些问题的关键是要注意它是在空间而不是平面上。例2，如图所示，ABCD是直角梯形，dab= ABC=90，AB=BC=a，AD=2a，PA平面ABCD。PA=a .(1)核查：PCCD.(2)找出从点B到直线PC的距离。(1)证明：取AD的中点E，接交流、电容，ABCE是正方形，CED是等腰直角三角形，AC CD，PA飞机公司，AC是PC在ABCD平面上的投影，PCCD(2)解决方案：如果BE已连接，AC已转移到o，则BEAC，BEPA，ACpa=a， BE飞机包装如果o在h中用作OHPC，那么BHPC，PA=a，AC=a，PC=a，欧=，* BO=a，BH=是请求者。例3。在斜三棱镜a1b1c 1-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面是BB1C1C底面ABC(1)如果d是BC的中点，验证adcc1；(2)穿过侧面BB 1C的对角线BC1的平面穿过侧边m。如果AM=MA1，验证横截面MBC1侧面bb1c；(3)AM=MA1是截面MBC1平面BB1C的充要条件？请陈述你判断的理由。命题意图：本主题主要考察垂直线、平面和垂直面的判断和性质。知识支持：垂直线、平面和垂直面的判断和性质。曲解分析：(3)当结论被证明是必要的时，应重新造辅助线。技能与方法：本课题属于知识组合的范畴，关键在于课题的条件思考和分析，掌握做这些题目的一般技巧和方法，以及如何熟练地制作辅助线。(1)证明：ab=AC，d为BC的中点，ADBC*底部ABC侧BB1C1C，AD侧BB1C1CADCC1(2)证明：延长B1A1和BM相交于N，连接C1NAM=MA1，NA1=A1B1* A1 B1=A1 C1，A1C1=A1N=A1B1C1NC1B1底面NB1C1侧面BB1C1C，C1N侧BB1C1CC1NB侧bb1c1c段MBC1侧bb1c1c段(3)解法：结论是肯定的，充分性已由(2)证明。以下证据是必要的。如果m在e中用作MEBC1，*mbc1侧BB1C截面ME侧BB1C1C，也 ad 侧BB1C1CMEAD，M，e，d，共面AM侧BB11C 1，AMDECC1AD，DECC1D是BC的中点。E是BC1的中点AM=DE=AA1，AM=MA1即截面的充要条件例4。如图所示，在正三棱锥a-BCD中，BAC=30，AB=a，平行于AD和BC的EFGH横截面分别在点e、f、g、h与AB、BD、DC、CA相交(1)确定四边形EFGH的形状并解释原因(2)设P为边上的一个点。当接入点是一个值时，PBC飞机EFGH，请提供证明(1)证据：AD/面对EFGH，面部粉刺面部EFGH=汞，面部粉刺 AD/HG。同样，环境系数汞，EFGH是一个平行四边形-BCD是一个规则的三角金字塔，底面上A的投影o是BCD的中心，DOBC，ADBC，HGEH，四边形EFGH是矩形(2)在p点使用CPAD连接BP，ADBC，AD飞机公司汞铝，HG平面BCP，HG平面EFGH平面BCP平面EFGH，在RtAPC中，CAP=30，交流=AB=a，AP=a实例5，如图所示，在直三棱镜ABC-A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ABC=90，2AB=BC=BB1=a，A1CAC1=D，BC1B1C=E，横截面ABC1与横截面A1B1C在DE处相交。验证：(1)A1B1飞机bb1c1c；(2)a1cbc1；(3)DE飞机BB1C1C。证明了(1)三棱镜ABC-A1B1C1是直三棱镜。侧面垂直于底面。即平面A1B1C1平面bb1c1c，也公元前AB ，A1B1B1C1A1B1飞机BB1C。(2)根据主题，四边形BB11C 1是正方形。BC1B1C，而A1B1飞机bb1c1c， A1C在平面BB1C上的投影是B1C，从三条垂直线定理看A1CBC1(3)直三棱镜的边都是矩形的，而D和E分别是它们所在一侧对角线的交点。D是A1C的中点，e是B1C的中点，DEA1B1，尽管(1) A1B1平面BB1C是已知的，DE飞机BB1C1C。思维启示：选择合适的方法证明直线和平面是垂直的。本次讲座涉及的主要数学思维方法1、直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情况，应熟悉直线与平面垂直定义、判断定理、性质定理，并可根据情况灵活应用。2.注意线面垂直和线垂直的关系和转换。3.距离不能与垂直分开。因此，解决距离问题的过程实质上是证明线-面关系(平行和垂直)和解决三角形的过程。值得注意的是，“制作、证明、计算和解答”是立体几何计算中不可缺少的一步。4.当证明两个平面垂直时，一般的方法是从现有的直线中找出平面的垂线。如果没有这样的直线，可以通过制作辅助线来解决，制作辅助线要有理论依据，有利于证明，不能随意添加。当一个平面是垂直的时，通常需要利用性质定理使相交线在一个平面上垂直，从而将其转化为线与平面的垂直。解决这些问题的关键是掌握“垂直线”、“垂直线与面”和“垂直面与面”之间的转换条件和应用。模拟试题(回答时间：50分钟)一、选择题1、如果表示直线，表示平面，在下列条件下，能使的是()甲、乙、c、D、2、已知直线和正直线是两条不同的直线，如果是平面直线，如果是直线，那么；(2)如果是，那么；(3)如果是，那么；(4)如果是，那么。上述判断是正确的()a、 B、 C、 D、*3。在长方体ABCD-A1B1C 1 D1中，如果底面是一个有2条边和4个高度的正方形，则从A1点到AB1D1截面的距离为()甲、乙、丙、丁、4.在直二面角-l-中，直线、直线b、a、b和l斜交，然后()a，a不垂直于b，但是aBB，a可以垂直于b，或者ab。c，a不垂直于b，a不平行于b，d，a不平行于b，但也许是ab*5，如图所示，ABCD-A1B1C1D1是立方体，下面的结论是错误的()A.BD平面CB1D1 B，AC1BD由c、AC1平面CB1D、非平面直线AD和CB1形成的角度为606、设两条直线、两个平面，下面四个命题，正确的命题是()a，如果等于形成的角度，那么b，如果，那么c，如果，那么d，如果，那么第二，填空7.在直的四棱柱中，当底部的四边形满足条件时，就有(注意：只填写一个你认为正确的条件，不考虑所有可能的情况)*8。将三角形金字塔顶点在平面上的投影设为，并给出以下命题：(1)如果是，那么是(2)如果两者相互垂直，那么是(3)如果，是中点，那么(4)如果，那么是心外的正确命题的序号是9.让X，Y和Z是具有不同空间的直线或平面。对于以下四种情况，正是_ _ _ _ _ _ _ _(填写序列号)使得“XZ和Y ZX Y”成为真正的命题。X、y和Z是直线X和y是直线，Z是平面Z是直线，X和y是平面X、y和Z是平面三。回答问题*10。如图所示，正三棱镜ABCA1B1C1的所有边都是相等的，D和E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上，并且满足BF: FC=1: 3。(1)如果m是AB的中点，验证：BB1平面EFM；(2)验证：英孚BC；11.如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C 1 D1的底面为菱形，且C1CB=C1CD=BCD=，证明：c1c86bd*12。如图所示，p是ABC所在平面和PA平面ABC之外的一个点。如果o和q分别是ABC和PBC的垂直度，测试证书：OQ平面PBC。试题答案1、2、3.分析：如图所示，如果假设A1 C1B1 D1=O1，B1D1A1O1、B1D1AA1和B1D1平面为AA1O1，那么相交线为AO1的平面AA1O1平面AB1D1在平面AA1O1中穿过A1，在h中成为A1HAO1，那么很容易知道A1H的长度是从a1点到AB1O1截面的距离，在Rt中A1O1A1A=hAO1=，答：4.分析：如图所示，取l上的一个点p，分别在和到p上做aa，bb。在a 上取a点，a代表ACl，垂直的脚代表c，然后APB是一个直角三角形，所以APB是一个锐角。答：c5、D6、D7、8、9.分析：是一个假命题，反例是当直线X、Y和Z位于立方体的三个公共点边时， 是一个真命题，是一个假命题，反例是当平面X、Y和Z位于立方体的三个公共点边时。回答： 10.(1)证明：连接的EM、MF、87M、E分别是正三棱镜的边缘AB和AB1的中点。BB1ME，BB1飞机EFM，BB1飞机EFM。(2)证明：取BC的中点n，用正三棱镜