高三数学二轮复习立体几何新题型的解题技巧1新人教A

立体几何新问题型的解题技术【命题的倾向】高考中立体几何命题具有以下特点1 .线面的位置关系强调平行和垂直，以垂直关系为焦点2 .多面体中的线面关系论证，空间“角”和“距离”的计算经常出现在解答问题中3 .多面体和单纯多面体的概念、性质在选择问题上较多，出现了填空问题4 .有关三角柱、四角柱、三角锥的问题，尤其是球的问题是高考命题的热点这类题目的分数一般在17-22分钟之间，问题类型一般是一个选题，一个填空问题，一个解答问题【试验点透视】(a )版.把握两条直线所成的角和距离的概念，关于异面直线的距离，只要计算已经给出的垂线的距离即可.把握斜线的平面上的投影、直线与平面所成的角、直线与平面的距离的概念.把握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.(b )版理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法、乘数理解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算把握空间矢量的数积的定义及其性质，把握用直角坐标计算空间矢量数积的公式。理解直线的方向向量、平面的法线向量、向量在平面内的投影等概念理解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式画直角柱、正角锥的直观图空间距离和角是高考的重点：特别是以两点距离、点到平面的距离、两异面直线的距离、直线与平面的距离以及两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等为命题的重点内容考察空间距离和角度的问题一般作为试题集的中级问题，但是也可以在最后的问题中设置难题。无论是求空间距离还是求空间角，都要按“一作、二证、三算”的顺序完成，即寓证在演算中是本题的一大特色在求空间距离和角度的方法中，有利用传统的几何学方法的方法和利用空间向量的方法。【例题分析】从试验点1点到平面距离求点到平面的距离是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂线足，不用说不会忘记变换法和等体积法的应用典型例题如图1所示，正三角柱的所有奥萨马长度都是中点a.a乙组联赛c.cd.d(I )寻求证据：平面(ii )求出二面角的大小；(iii )求出从点到平面的距离调查目的：本小题为主要直线与平面的位置关系、二面角的大小，从点到平面的距离等知识，调查空间的想象力，逻辑思考能力和运算能力解答过程：解法1:(I )取中点，连接a.a乙组联赛c.cd.do.of.f正三角形正三角柱中，平面平面平面在链接、正方形中，分别为中点在正方形中，平面(ii )以与点相交方式设置，在平面中，作为从(I )得到平面.是二面角的平面角那么，可以用等面积法求出再见二面角的大小(iii )中在正三角柱中，到平面的距离点和平面之间的距离是的，先生是从点到平面的距离解法2:(I )取中点，连接正三角形在正三角柱中，平面是平面xz轴a.a乙组联赛c.cd.do.of.fy创建空间正交坐标系时，将原点作为中点，将方向作为轴的正方向，、是.平面(ii )设平面的法线向量为、使成为平面法线向量从(I )知道平面一个平面法向量是.二面角的大小(iii )从(ii )到平面法线向量是到平面的距离解法2采用平面向量的计算方法，是将难以直接求出的从b点到平面的距离变换为容易求出的从点k到平面的距离的计算方法，数学解题中经常使用的方法即解法采用等体积法时，该方法可以避免复杂的几何构图，看起来更简单，因此可以优先考虑该方法例2 .如图所示，已知两个正四角锥P-ABCD和Q-ABCD高度分别为1和2、AB=4.(I )证明pq平面ABCD；(ii )求异面直线AQ与PB所成的角(iii )求出从点p到平面QAD的距离。目的：本题主要考察直线与平面的位置关系、异面直线所成的角度以及从点到平面距离的基本知识，考察空间想象力、逻辑思维能力和演算能力。q.q乙组联赛c.cpa.ad.do.om过程指南：方法的关键是以适当的方式找到确定的空间距离和角度，方法的第二个关键是掌握利用空间向量确定空间距离和角度的一般方法解答步骤：方法1 (I )取ad的中点，连接PM、QMP-ABCD和Q-ABCD都是正四角锥因此，ADPM、ADQM .所以AD平面PQM .因为是平面PQM所以是PQAD同样是PQAB所以PQ平面ABCD .(ii )连结AC、BD，从PQ平面ABCD和正四角锥的性质可知o位于PQ上，因此p、a、q、c这4点是共面的.因此因此，AQPN、BPN (或其补角)是异形直线AQ与PB所成的角因为所以呢异面直线AQ与PB所成的角(iii )连接om时，所以MQP=45从(I )可知AD平面PMQ，所以将平面PMQ平面QAD.p设为PHQM，是h，PH平面qad.ph长度是从点p到平面qad的距离.再见即从点p到平面QAD距离q.q乙组联赛c.cpa.ad.dz轴yxo.o方法2(I )连接和安装AC、BD；P-ABCD和Q-ABCD都是正四角锥，所以是PO平面ABCD、QO平面ABCD .因此，由于p、o、q三点在一条直线上，所以PQ平面ABCD(ii )从问题可以看出，因为ABCD是正方形的，所以ACBD。(I )、QO平面ABCD .能够分别将直线CA、DB、QP设为x轴、y轴、z轴来确立空间上的正交坐标系(如图所示，根据问题条件，关联的各点的坐标分别是p (0，0，1 )、a (，0，0 )、q (0，0，-2)、b (0，0 ) .所以呢所以呢(iii )至(ii )，点d的坐标为(0，-，0 )，假设平面QAD的法向量得到取x=1从点p到平面QAD的距离试验点2异面直线的距离这类主题主要考察异面直线距离的概念及其求解方法，试验纲要求只把握已经给出的共同垂线段的异面直线距离典型例题在例3中，已知三角锥底面为边的长度为正三角形，棱的长度为2，与底面垂直.构想启发：因为很难找到异面直线CD和SE的垂线，所以把求得的异面直线的距离改变为直线和平面的距离，再改变为从求得的点到平面的距离解答步骤：如图所示，取BD的中点f，连接EF、SF、CF用于中央线、面到平面的距离是两异面直线间的距离直线面之间的距离从直线上的点c转换为平面的距离设为h，根据问题意识，d、e、f分别为AB、BC、BD中点在Rt中在Rt中再见也就是说，可以解开CD和SE之间的距离总结：通过这个例子可以看出求空间距离的过程是不断变化的过程试验点3从直线到平面距离在这样的主题中加上平行平面间的距离，主要考察点面、线面、面间距离的变化典型例题例4 .如图所示，在传感器长度为2立方体中，g为中点，求出从BD到平面的距离.乙组联赛a.ac.cd.do.ogh构想启发：将线面距离转换为点面距离，用从点到平面距离的方法求解解答步骤：分析1平面求出从上述任意点到平面的距离，求出如下点o平面的距离平面另外平面平面，两个平面的交线作为h，平面，即OH是从o点到平面距离.在里面再见即，BD与平面距离相等.解析二平面也求出从上述任一点到平面距离，以下，求出到点b的平面的距离.设从点b到平面的距离为h，设其为三角锥的高度，即，BD与平面距离相等.总结：在直线与平面平行情况下，由于从直线上的各点到平面的距离全部是线面距离，因此求出线面距离的关键是选择适当的点并变换为点面距离试验点4异面直线所成的角这样的主题一般按照定义制作异面直线所成的角，通过解三角形求角。 异面直线所成的角是高考的重点典型例题例5如图所示，其中，通过以斜边.直线为轴旋转而得到，二面角直角二面角.为中点.(I )寻求证据：平面平面(II )求出异形面与直线所成的角的大小构想启发： (II )的关键是根据平行移动将不同面的直线变换为三角形内解答过程：解法1:(I )从题意二面角是直角二面角再见平面平面的平面(II )作、脚为连结(图)时是与异面直线所成角其中包括是再见在里面与异面直线形成的角的大小解法2:(I )同解法1(II )创建空间正交坐标系，如图所示、是与异面直线形成的角的大小总结：求出异形面的直线所成的角度，始终作成最初所成的角度的平面图形。 例如：平移法：在异形面的直线中的一条直线上选择“特殊点”，利用另一条直线的平行线，例如分析一或中央线，分析二补充法：将空间图形补充为熟悉的几何图形的目的是容易发现两个异面直线之间的关系另外，必须特别注意异面直线所成的角的范围例6.(2006年广东卷)如图所示，AF、DE分别为- o、444444444444卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653(I )求出二面角BADF的大小(ii )求出直线BD与EF所成的角度。目的：主题主要考察二面角与异面直线所成角度等基本知识，考察空间想象力、逻辑思维能力和演算能力。工艺指南：以适当的方法找出求出的空间距离和角度，把握利用空间向量求出空间距离和角度的一般方法是很重要的解答过程： ()AD和两圆所在的平面是垂直的adab、ADAF，所以BAF为二面角BADF平面角，因为ABFC是正方形，所以BAF=450即，二面角BADF的大小为450(ii )以o为原点，以有BC、AF、OE的直线为坐标轴，建立空间上的正交坐标系(如图所示)，则为o (0，0，0 )，a (0，0 )，b (0，0 )，d (0，8 )，e (0，0，8 )，f (0，0 )所以呢假设异面直线BD与EF所成角度.直线BD和EF所成的角度试验点5直线与平面所成的角这类问题主要考察直线与平面所成角的做法、证明及计算线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容典型例题例7.(四角锥中，底面为平行四边形，侧面底面为(I )证明；(ii )求出直线与平面所成的角的大小；调查目的：本小题主要调查直线与直线、直线与平面的位置关系二面角的大小，从点到平面的距离等知识，调查空间的想象力，逻辑思考力和演算能力解答过程：解法1:(I )作、脚踏、连接、侧面底面得到底面因此另外，由于是等腰直角三角形由三垂线定理得出d.d乙组联赛c.ca.as(ii )由(I )得知，是根据问题设定的所以，是.面积连接的面积把到平面的距离可以和解以与平面所成的角为例所以，直线和平面形成的我解法2 :(I )垂直脚连接，从侧面底面获得平面；这就是为什么d.d乙组联赛c.ca.as另外，是直角等腰三角形.如图所示，以坐标原点为轴的正方向，确立直角坐标系、所以(ii )如取中点，则连接，取中点，连接、平面内的两条交叉直线，垂直因此，设与平面所成角为与平面所成的角，则与互补.是.、因此，直线与平面所成的角总结：求直线与平面所成的角时，需要注意的问题有(1)判断直线与平面的位置关系，(2)如果直线与平面斜交，结构形成斜线与投影所成的角，证明所论证的角是求角，常用求解三角形的方法求角，结论为直线与平面所成的角试验点6二面角这样的问题主要是如何决定二面角的平面角，把二面角的平面角变成线角放入适当的三角形中解决。 二面角是高考的热点，值得重视典型例题例8如图所示，已知直角二面角、直线与平面所成角为.(I )证明a.a乙组联赛c.cq.qp(II )求出二面角的大小；目的：本题主要考察直线与平面的垂直、二面角等基本知识，考察空间想象力、逻辑思维能力和演算能力a.a乙组联赛c.cq.qpo.oh工艺指南： (I )在平面内越过点作为点，连接因为如此再见了然后，所以再见这就是为什么是平面。 因为是平面(II )