江苏启东中学高二数学期中理

江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期期中考试高二数学（理科） （考试用时：120分钟 总分：160分）1、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.命题：的否定是_2.抛物线的准线方程是，则_.3.若直线与圆有两个不同交点，则点与圆的位置关系是_4.若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_5.已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆C的方程是_6在平面直角坐标系中，直线与直线互相垂直的充要条件是_.7. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程为_8.若命题有是假命题，则实数的取值范围是_9.已知为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，如果线段的中点在 轴上，且，则的值为_10.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为_11.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为_12.点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是_13.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，若椭圆上存在点，使得，则该离心率的取值范围是_14.在平面直角坐标系中，已知圆，动点在直线上，过点分别作圆的切线，切点分别为，若满足的点有且只有两个，则实数的取值范围是_二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分14分）已知p：|x3|2，q：(xm1)(xm1)0，若p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围16.（本题满分14分）已知命题：指数函数在上单调递减，命题：关于的方程的两个实根均大于3.若或为真，且为假，求实数的取值范围17.（本题满分15分）设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F22，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值18.（本题满分15分）已知圆过两点，且圆心在直线上.(1)求圆的方程；(2)设是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值19.（本题满分16分）已知椭圆的中心为坐标原点，椭圆短轴长为，动点,在椭圆的准线上(1)求椭圆的标准方程(2)求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；(3)设点是椭圆的右焦点，过点作的垂线，且与以为直径的圆交于点，求证：线段的长为定值，并求出这个定值20.（本题满分16分） 已知椭圆的离心率为，其右焦点到直线的距离为.(1) 求椭圆的方程；(2) 过点的直线交椭圆于两点求证：以为直径的圆过定点江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期期中考试 高二数学（附加题） （考试用时：30分钟 总分：40分）【必做题】每题10分，共计40分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21.过顶点任作互相垂直的两条直线与，设与轴交于点，与轴交于点,求线段的中点的轨迹方程.22.已知，求：（1） 线段的中点坐标和长度；（2） 到两点距离相等的点的坐标满足的条件.23.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，是棱上一点，且.(1) 求直线与所成角的余弦值；(2) 求二面角的余弦值 24.如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，.(1) 求证：；(2) 求直线与平面所成角的正弦值；(3) 线段上是否存在点，使平面若存在，求出；若不存在，说明理由 江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期期中考试 高二数学（理科） （考试用时：120分钟 总分：160分）1、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.命题：的否定是_解析全称命题的否定是存在性命题答案xR，sin x22.抛物线的准线方程是，则_.解析抛物线的标准方程为x2y，由条件得2，a.答案3.若直线与圆有两个不同交点，则点与圆的位置关系是_解析 由题意得圆心(0,0)到直线axby1的距离小于1，即d1，所以有1，点P在圆外答案 在圆外4.若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_解析焦点(c,0)到渐近线yx的距离为b，则由题意知b2a，又a2b2c2，5a2c2，离心率e.答案5.已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆C的方程是_解析若圆C与圆O内切，因为点C在圆O外，所以rC15，所以rC6.答案(x4)2(y3)2366在平面直角坐标系中，直线与直线互相垂直的充要条件是_.解析 x(m1)y2m与mx2y8垂直1m(m1)20m.答案 7. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程为_解析 由已知得解之得双曲线方程为1.答案 18.若命题有是假命题，则实数的取值范围是_解析 “xR，有x2mxm0”是假命题，则“xR有x2mxm0”是真命题即m24m0，4m0.答案 4m09.已知为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，如果线段的中点在 轴上，且，则的值为_解析 设N为PF1的中点，则NOPF2，故PF2x轴，故PF2，而PF1PF22a4，PF1，t7.答案 710.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为_解析由题意，圆(x2)2(y1)24的圆心(2，1)在直线axby10上，所以2ab10，即2ab10.因为表示点(a，b)与(2,2)的距离，所以的最小值为，即(a2)2(b2)2的最小值为5.答案511.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为_解析 PF1PF210，PF110PF2，PMPF110PMPF2，易知M点在椭圆外，连结MF2并延长交椭圆于P点，此时PMPF2取最大值MF2，故PMPF1的最大值为10MF21015.答案 1512.点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是_解析由条件MFx轴，其半径大小为椭圆通径的一半，R，圆心到y轴距离为c，若PMQ为钝角，则其一半应超过，从而，则2acb2，即2ac(a2c2)，两边同时除以a2，则e22e0，又0e1，0e.答案13.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，若椭圆上存在点，使得，则该离心率的取值范围是_解析因为PF1ePF2，PF1PF22a，所以PF1，PF2，因为e(0,1)，所以PF1PF2.由椭圆性质知acPF1ac，所以acac，即acac，即a2c22ac(ac)2，即e22e10.又0e1，所以1e1.答案1,1)14.在平面直角坐标系中，已知圆，动点在直线上，过点分别作圆的切线，切点分别为，若满足的点有且只有两个，则实数的取值范围是_答案：(，4)解析：设点P坐标为(x，y)，因为PB2PA，所以PB24PA2，即PO44PO24，即(x4)2y244(x2y21)，整理得3x23y28x160.(解法1)该方程表示一个圆，圆心(，0)，r.因为点P有且只有两个，所以直线和圆相交，故0，整理得3b28b800，解得b(，4)二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知p：|x3|2，q：(xm1)(xm1)0，若p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围解 由题意p：2x32，1x5.p：x5.q：m1xm1，q：xm1.又p是q的充分而不必要条件，2m4.16.已知命题：指数函数在上单调递减，命题：关于的方程的两个实根均大于3.若或为真，且为假，求实数的取值范围解：若p真，则f(x)(2a6)x在R上单调递减， 02a61， 3a.若q真，令f(x)x23ax2a21，则应满足 a.又由已知“p或q”为真，“p且q”为假，则应有p真q假，或者p假q真 若p真q假，则 a无解 若p假q真，则 0)，根据题意得：解得ab1，r2，故所求圆M的方程为(x1)2(y1)24.(2)由题意知，四边形PAMB的面积为SSPAMSPBMAMPABMPB.又AMBM2，PAPB，所以S2PA，而PA，即S2.因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可，即在直线3x4y80上找一点P，使得PM的值最小，所以PMmin3，所以四边形PAMB面积的最小值为Smin222.19.已知椭圆的中心为坐标原点，椭圆短轴长为，动点,在椭圆的准线上(1)求椭圆的标准方程(2)求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；(3)设点是椭圆的右焦点，过点作的垂线，且与以为直径的圆交于点，求证：线段的长为定值，并求出这个定值解(1)由2b2，得b1.又由点M在准线上，得2.故2.所以c1.从而a.所以椭圆的方程为y21.(2)以OM为直径的圆的方程为x(x2)y(yt)0，即(x1)221.其圆心为，半径r .因为以OM为直径的圆被直线3x4y50截得的弦长为2，所以圆心到直线3x4y50的距离d.所以，解得t4.故所求圆的方程为(x1)2(y2)25.(3)法一由平面几何知ON2OHOM.直线OM：yx，直线FN：y(x1)由得xH.所以ON2 |xH|xM|22.所以线段ON的长为定值.法二设N(x0，y0)，则(x01，y0)，(2，t)，(x02，y0t)，(x0，y0)因为，所以2(x01)ty00.所以2x0ty02.又，所以x0(x02)y0(y0t)0.所以xy2x0ty02.所以|为定值.20. 已知椭圆的离心率为，其右焦点到直线的距离为.(1) 求椭圆的方程；(2) 过点的直线交椭圆于两点求证：以为直径的圆过定点(1) 解：由题意，e，e2，所以ab，cb.又，ab1，所以b1，a22，故椭圆C的方程为y21.(2) 证明：当ABx轴时，以AB为直径的圆的方程为x2y21.当ABy轴时，以AB为直径的圆的方程为x2(y)2.由可得由此可知，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q(0，1)下证Q(0，1)符合题意设直线l的斜率存在，且不为0，则方程为ykx，代入y21并整理得(12k2)x2kx0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以(x1，y11)(x2，y21)x1x2(y11)(y21)x1x2(kx1)(kx2)(1k2)x1x2k(x1x2)(1k2)k0，故，即Q(0，1)在以AB为直径的圆上综上，以AB为直径的圆恒过定点(0，1)江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期期中考试 高二数学（附加题） （考试用时：30分钟 总分：40分）【必做题】每题10分，共计40分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21.过顶点任作互相垂直的两条直线与，设与轴交于点，与轴交于点,求线段的中点的轨迹方程.解：设P(x,y),则M(2x,0),N(0,2y),由2PA=MN,得：x+2y-5=022.已知，求：（3） 线段的中点坐标和长度；（4） 到两点距离相等的点的坐标满足的条件.解：(1)AB中点坐标（2,3，）.,.(2) 由PA=PB得：4x-8y+6z+7=023.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，是棱上一点，且.(1) 求直线与所成角的余弦值；(2) 求二面角的余弦值解：(1) 如图，分别以AB，AD，AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0，)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)设P(x0，y0，z0)，由，得(x0，y0，z02)(0，2，2)， x00，y0，z0，点P坐标为. ，(1，0，0)设直线AB与CP所成的角为，则cos .(2) 设平面APC的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则令y12，则x14，z11，m(4，2，1)设平面SCD的一个法向量为n(x2，y2，z2)，因为(1，0，0)，(0，2，2)，所以令y21，则z21，n(0，1，1)设二面角APCD的大小为，由于cosm，n，所以由向量m，n的方向，得cos cosm，n.24.如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，.(1) 求证：；(2) 求直线与平面所成角的正弦值；(3) 线段上是否存在点，使平面若存在，求出；若不存在，说明理由(1) 证明：取AB中点O，连结EO，DO.因为EBEA，所以EOAB.因为四边形ABCD为直角梯形，AB2CD2BC，ABBC，所以四边形OBCD为正方形，所以ABOD.所以AB平面EOD.所以ABED.(2) 因为平面ABE平面ABCD，且EOAB，所以EO平面ABCD，所以EOOD.由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以O