高一数学集合与简单逻辑人教

高一数学集合与简单逻辑第一节 集合课程难点与解析 1集合 （1）集合概念. 和几何中的点、线、面一样，集合是数学中最原始的概念之一，不能用其他基本概念来定义，它们也叫做不定义的概念或原始概念.课本通过几个具体例子对集合进行描述性的说明，这也表明集合概念和其他数学概念一样，是从现实世界中由具体事物抽象出来的，而不是数学家凭空臆造出来的.（2）集合中元素的特性.确定性，对于一个给定的集合，集合中的元素必须是确定的，也就说，对于任何一个作为具体研究对象的元素，都能确定这个元素是这个集合的元素或不是这个集合的元素，两种情况必有且只有一种为真.因此，诸如“高一（1）班个子高的同学”，“比较大的角”，就不能构成集合，因为“个子高”和“比较大”没有一个确定的标准.互异性，对于给定集合中的任意两个元素，它们必定不相同，即集合中的元素是没有重复现象的，因此，一个元素在同一集合中只能出现一次.这个特性在解某些问题时非常重要.无序性，由于集体是指一组对象的全体，而不论这些对象的先后顺序，因此在表示集合时，元素排列的先后顺序不影响集合的表示.（3）集合的表示法 表示一个集合常用下列两种方法： 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号内表示集合的方法叫列举法.当元素个数较多，或集合有无限多个元素，在用列举法表集合时，可以采用省略号，但应很容易按常规看出该集合中元素的规律.如：“小于100的正奇数”集合可以表示为1，3，5，7，9，99；“负整数”集合可以表示为-1，-2，-3，-4，. 描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法.描述法中，竖线前面是这个集合的“代表元素”的一般形式，竖线后面是这个集合元素的公共属性.如：x|x+3=3x-1表示元素x是方程x+3=3x-1的解，即x=2，亦即x|x+3=3x-1=x|x=2=2。所有整数组成的集合可以写成整数，而所有整数的写法就不要当了.用描述法表示集合时要注意些“代表元素”是什么.如：和表示两个不同的集合，前一个集合就是，后一个集合是抛物线上所有点组成的集合.（4）符号“”与“” 表示“属于”的符号“”和表示“不属于”的符号“”（或）仅表示元素与集合之间的关系，而不是两个集合之间的关系. 由集合中元素的确定性，对于任意元素和集合M，在“”和“”这两种关系中，必有且仅有一种关系成立.（5）集合按其中元素的多少对只有有限个元素的集合叫有限集，含有无限多个元素的集合叫无限集.对于只有一个元素的集合有时也叫做单元集. 不含任何元素的集合叫做空集.用“”表示，如：是空集.但不是空集，它是以集合为元素的集合（这个元素是“”），0也不是空集，它有一个元素“0”.（6）常用的数集符号以数为元素的集合叫数集.按约定，常用的数集符号有：N自然数集（非负整数集）；Z整数集；正整数集；Q有理数集；R实数集. 例题解析 例1用另一种表示法写出下列各集合：（1）3的正整数倍的数；（2）1，6，11，16，21，26，.解：（1）可用列举法表示为3，6，9，12，15，； （2）可用描述法表示为被5除余1时的正整数，或表示为例2 已知集合2，,，求实数应满足的条件. 解 ：由集合中元素的互异性，有 即 得 应满足，且 ，且.2、子集（1）子集的定义 对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，即若x,就必有x,则称集合A是集合B的子集. 应注意，“集合B中的部分元素组成的集合A叫集合B的子集”的说法是错误的，因为这和“空集是任何集合的子集”的规定矛盾，也和“任何一个集合是它本身的子集”的结论矛盾.（2）符号“”、“”、“ ”、“ ”、“”、“”.这几个符号仅适用于两个集合之间的关系，而前面的符号“”、“”是用于 元素与集合之间的关系.规定“空集是任何集合的子集”后，任何一个集合是它本身 的子集，即.并且可知“空集是任何非空集合的真子集”，但不能说“空集是任 何集合的真子集”，因为空集不是空集的真子集. 由子集和真子集的定义，容易证明集合的包含关系有传递性，即：若，则；若AB，BC，则AC. （3）集合的相等 若集合A和B，既满足，又满足，则这两个集合相等，即A=B. 因此要证明A=B，只要证明，同时有就可以了.（4）图时表示 如果两个集合A和B有关系AB，可以用右图表示，这个图常称为韦恩图，其中两条封闭曲线内部分别表示集合A和B.韦恩图可以形象地帮助我们考虑集合中的一些问题. 如图 （5）集合的子集个数 一个有n个元素（）的有限集A，它的子集有个，其中包含空集和它本身A.因此，集合A有个非空子集（不含，含A），有个真子集（不含，含），有个非空真子集（不含，A）. 例题解析 例1、判断下列集合之间的关系： （1）A=三角形，B=等腰三角形，C=等边三角形； （2）A=,B=,C=; （3）A=,B=,C=; （4） 解：1）ABC. （2）， CAB. （3） ABC. （4） 当时，2k+1是奇数，k+2是整数， AB.例2、（1）已知集合A=x|ax+1=0,B=x|，求满足条件AB 数a组成的集合M；解： B=2，3 由AB，A=，或A=2，或A=3. 若A=，a=0；若A=2,；若A=3,a= 3. 全集与补集（1） 全集是一个相对的概念，它含有与研究的问题有关的各个集合的全部元素，通常用“U”表示全集. 在研究不同问题时，全集也不一定相同，如在实数范围内讨论问题时，实数集R就是全集U；在有理数范围内讨论问题时，有理数集Q就是全集U.（2） 补集也是一个相对的概念，若集合A是集合S的子集，则S中所有不属于A的元素组成的集合称为S中子集A的补集（余集），记作 sA，即 sA=x|. 当S不同时，集合A的补集也不同. 如：A=1，2，3，4，5，若S=1，2，3，9 则 sA=6，7，8，9；若S=1，2，3，4，5，6，则 sA=6.由补集的定义，知 s ( sA )=A. 例题解析 已知全集U=1，3，A=1，x，求 UA. 解：由全集的概念，A， 或 当x=3时，与集合中元素的互异性矛盾. UA=3. 同步习题 一、 填空题1、“被3除余2的自然数”可以用描述法表示为_.2、已知集合A=x|x=2n-1,nz,B=,则集合A与集合B的关系为A_B.3、若S=x|x=,A=x|x=,则 SA=_.4、若集合A=x|1x2,B=x|xa,且AB，则实数a的取值范围是_.二、 解答题5、设，集合A=2，B=5，xy+4，且A=B，求x，y.。三、 选作题6、已知集合A=1，1+d，1+2d，B=1，q，q2，若A=B，求实数d和q的值. 答案解析 一、1 2= 3 4二、5 或 三、选作题6由集合中元素的互异性， 若 -， 若 -， 第三节 交集与并集课程难点与解析 1交集 （1）交集的定义 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，用符号“AB”表示，实际上“AB”是由所有集合A和集合B的公共元素所组成的集合，用集合的方法，可以表示为：AB= AB也可以用韦恩图中的阴影部分表示如下： （2）交集的性质 （3）交集的定义、集合相等的定义和补集的定义，很容易证明：AA=A，A=，AB= BA，(AB) C=A(BC)。对A=证明如下：假设存在元素则由交集定义，得与空集中的定义矛盾，所以集合A中不存在任何元素，即A=此外，还容易证明AB= B与B等价，这个结论在解题时会用到.（4）交集与方程组，不等式组求方程组的解集，即求方程组中每一个方程的解集的交集，求不等式组的解集，即求不等式组中每一个不等式的解集的交集。 例题解析 例1 已知集合A=，B=求AB.解 ：若 令 则 例2 已知A=,求实数P的数值范围. 解 ： 由 （1）若 （2）若此时应要求方程，没有正根.如方程有一零根， 负根.则，则，由（1），（2）知2. 并集 （1）并集的定义 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的并集，用符号“表示，实际上“”是由集合A和集合B中所有元素组成的集合，但集合A与集合B中的公共元素在中只能出现一次。用集合的写法，可以表示为. 应注意：这里“”中“或”的意义包含三种情况：（2）并集的性质由并集的定义、集合相等的定义及补集的定义，很容易证明： 由交集和并集的定义，也容易证明：此外，还容易证明：（3）并集与方程方程f(x)g(x)=0的解集，是方程f(x)=0的解集与方程g(x)=0的解集的并集。 例题解析 例3已知平面上的点并说明它们的几何意义。解： 实际上直线互相平行，例4已知集合=，求实数b,c,m的值.解： 又 同步习题 一、填空题1已知集合A=B=则AB=_,AB=_.2满足AB=的集合A，B共有_对.二、解答题3已知，求实数的值.4已知集合M=,求实数a的的值.三、选作题5已知集合.6若用n(A)表示有限集A的元素个数。（1）已知n(A)=20，n(B)=15,n(AB)=28,求n(AB); (2)已知n()=4,n()=18,n(A)=10,求n(B). 答案解析 一、 填空1. 2. 9三、解答3解 4解 ， 若 这时若这时不符合集合中元素的互异性。若这时M=5解： . 方程6 若用n(A)表示有限集A的元素个数。（1）已知n(A)=20，n(B)=15,n(AB)=28,求n(AB); (2)已知n()=4,n()=18,n(A)=10,求n(B).解：（1）设n()=x,画出韦恩图.由图及n(A)=20,n(B)=15,知左边一块应填上20-x,右边一块应填上15-x.n, (20-x)+x+(15-x)=28.x=7,即n=7.(2)设集合B中不属于A的元素有x个，画出韦恩图. 由n=4,中间一块应填上4.由n(A)=10,左边一块应填上10-4=6.n =18,6+4+x=18, x=8.n(B)=4+8=12.1、4 含绝对值不等式解法1、5 一元二次不等式解法课程难点与解析1、和型的不等式（1）解含绝对值的不等式的基本方法体现了“化归”的数学思想，即将含绝对值的不 等式化归为不含绝对值的“普通不等式”，在化归时要注意绝对值的含意.（2）对含绝对值的不等式，一般地有如不结论：当, 或当，的解集为； .当，的解集为；的解集为R. 例题解析 例1 求不等式2x-15的解集. , 解：原不等式可以化为不等式组 . 由，2x-11 或 2x-1-1, x1 或 x0.由，-52x-15, -2x3. 原不等式的解集为x|-2x0,或1x3. 评析 本题也可以根据绝对值的意义来解.原不等式可以变形为.由绝对值的意义，|表示数轴上坐标为x的点到坐标为的点的距离，而该距离等于的点的坐标是0和1，该距离等于的点的坐标是-2和3，由数轴可见，原不等式的解是x|-2x0,或1x3.例2（1）解方程：|x-3|+|x+2|=6； （2）解不等式：|x-1|+|x+2|5. 解（1）零点为3，-2，分三段讨论. 当x3,方程为x-3+x+2=6,x=. 方程的解集为,. (2)零点为1，-2，分三段讨论. 当x-2,不等式为(1-x)-(x+2)-3, -3x-2; 当-2x1,不等式为(1-x)+(x+2)5,31,不等式为(x-1)+(x+2)5,x2, 1x2. 不等式的解集为x|-3x2.评析 所谓“零点”，即使绝对值为零的x的值.若有n个零点,则分n+1个情况讨论.由于每种情况都可以去掉绝对值符号，就把含有绝对值的方程或不等式转化为普通的方程或不等式去解.在每一种情况求方程或不等式的解时，所求得的解必须满足相应的条件.上面的方法是解含有绝对值的问题的基本方法。这两题也可以从绝对值的几何意义直接得到它们的解.解（1）|x-3|+|x+2|=6,即求数轴上到3和-2的对应点距离和等于6的点所对应的数.由数轴知，3-（-2）=5，所以该点在3对应点的右边或在-2对应点左边个单位，即x=或x=-.解(2)|x-1|+|x+2|5,即求数轴上到1和-2对应点距离和小于5的点所对应数的范围.由数轴知，1-（-2）=3，所以x应满足-3x0(0）：的情况图象不等式不等式的解0ax2+bx+c0xx2ax2+bx+c0x1x0xx1ax2+bx+c0x0xRax2+bx+c0x对于含有等号的不等式或a0的情况，类似地可以由图像得出不等式的解，但习惯上解一元二次不等式时，常使二次项系数a0; （2）4+3x-x20; （3）1+x-x20; （4）1-2(x-1)20.解：（1）整理得 2x2+3x-20,方程2x2+3x-2=0的解是x1=-2,x2=， 原不等式的解集是x|-2x0,方程x2-3x-4=0的解是 x1=-1,x2=4. 原不等式的解集是x|x-1,或x4.(3)整理，得x2-x-1=0的解是 x1=,x2= 原不等式的解集是x|x0; （2）2x2+4x+30; （3）x2+6x+90. 解（1）0，方程x2-x+1=0无实数根， 原不等式的解集是R. （2）2x-1.2已知关于x的不等式x2+ax+b0的解集是x|-2x3,求不等式bx2-ax+10的解集.3已知关于x的方程(k-1)x2+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围.三、选作题已知m、n是关于x的方程x2-2x+t=0的两个实数根，m3+n3有没有最大或最小值？如有，请求出最值；如没有，请说明理由. 答案解析 一、填空题1、解：由绝对值的定义得， ，或，或. 2、解 当t+10,即t0,即t-1时，-(t+1) 2x+1t+1,-t-22xt,不等式的解集为x|. 评析 所谓“关于x的不等式”是指除x以外的其他字母均表示常数.由于t+1的符号不确定，因此这里需对t的不同情况分别求解.另外，对于含有几个绝对值的方程或不等式，可以用零点分段的方法除去绝对值符号：二、解答题1解 (1) |4x-3|x+1, -(x+1) 4x-3x+1, 即 x-14x-3, 4x-3x+1. 由得 ， 由得 . 原不等式的解集为 x|. (2) |3x+5|2x-1, 3x+52x-1, 或 3x+5-6, 由得 x.原不等式的解集为x|xR.2解 若方程x2+ax+b=0的根为x1、x2(x1x2),则不等式x2+ax+b0的解集是x|x1xx2. 由题意知，x1=-2,x2=3. a=-(x1+x2)=-1,b=. 不等式bx2-ax+10,即-6x2+x+10. ,方程的两根为 . 所求不等式的解集是x|x0. 由，得k1. 由，k2+2k+1-4k2+40,3k2-2k-50，方程3k2-2k-5=0的两根为 x1=-1,x2=, 不等式的解为-1k. 实数k的取值范围为-1k）所有至少有n个能一定否定形式不是不都是不相等不大于（）有些至多有n-1个不能不一定 同步习题1指出下列复合命题的形式以及构成它们的简单命题是什么？（1）6是18和24的公因数；（2）x(A;(3) 矩形的对角线相等且互相平分；（4）方程2若用“1”表示“真”，用“0”表示“假”，对于命题p和q的下列几种情况列出命题“p或q”，“非（p或q）”，“（非p）且（非q）”，“非（非p）”的真值表：（1）p真，q真； （2）p真，q假；（3）p假，q真； （4）p假，q假.3写出命题“直角均相等”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假.4已知原命题如下，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.（1） （1）若则 （2） 若则或或. 答案解析 1解 （1）该命题是“p且q”的形式，p：6是18的因数，q：6是24的因数. （2）该命题是“非p”的形式，p： （3）该命题是是“p且q”的形式，p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分. （4）该命题是“p或q”的形式，p：xq: 题号pqp或q非（p或q）非p非q（非P）且(非q)非（非p）（1）11100001（2）10100101（3）01101000（4）00011110 评析：由表中可以看出，“非（p或q）”与“（非p）且（非q）”的真值相同，“非（非p）”与“p”的真值相同.3解 原命题可改写为“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”，是真命题.逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是直角，是假命题.否命题：如果两个角不都是直角，那么这两个角不相等，是假命题.逆否命题：如果两个角不相等，那么这两个角不都是直角，是真命题.评析：有些命题不是很明显的pq的形式，在写它的逆命题，否命题，逆否命题之前，应先将它改写为条件，结论的形式.4解 （1）逆命题：若则且是假命题. 否命题：若或是假命题. 逆否命题：若是真命题. （2）逆命题：若是真命题. 否命题：若是真命题. 逆否命题；若是真命题.第1、8 充分条件和必要条件课程难点与解析 1反证法数学证明的方法可以分为直接证法和间接证法两种.由已知条件和有关公理、定理、公式出发，通过逻辑推理证得结论的方法叫直接证法，用除此以外的办法证明结论的方法叫间接证法.反证法是间接证法的一种若要证的命题是“”，反证法是假设为真，即不成立，并根据有关公理、定理、公式进行逻辑推理，得出矛盾因为公理、定理、公式正确，推理过程也正确，产生矛盾的原因只能是“假设为真”，由此假设不成立，即“为真”这里的“矛盾”可以是与条件矛盾，即推得“”，可以是和公理、定理或熟知的结论矛盾，也可以是和“假设为真”矛盾 例题解析 例1 用反证法证明：若、是的三个内角，则其中至少有一个角不大于证 假设、都大于，即，则有 与三角形三个内和等于矛盾 因此假设不成立，即、中至少有一个角不大于评析 本题中的、中至少有一个小于或等于，因此为、中没有一个小于或等于，即，且，且一般来说，涉及“至少”、“最多”的问题，常用反证法进行证明.例2用反证法证明：若，且，则中至少有一个不于 证 假设都小于，即，则有另一方面，由已知有 .与由假设推得的结论矛盾，中至少有一个不小于.2充分条件和必要条件充分条件和必要条件是十分重要的数学概念，必须准确理解“充分”、“必要”的涵义.与之间的因果关系有四种情况：，且，称是的充分不必要条件；，且，称是的必要不充分条件；，且，称是的充分必要条件；，且，称是的既不充分又不必要条件.是的充分条件即，可以从字面上理解为“若真则充分保证也为真”， 是的必要条件即，可以从字面上理解为“若要真，必须要真”.当时，既可以称是的充分条件，也可说成“的充分条件是”. 当时，既可以称是的必要条件，也可说成“的必要条件是”. 例题解析 例3 指出下列各题中是的什么条件（指“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，或“既不充分又不必要条件”）： （1）：抛物线经过点A（1，0）， ：； （2）：为偶数，且为偶数， ：为偶数； （3）：， ：； （4）：， ：; (5) :, 或 ， ：. 解：（1）若真，即，故. 若真，即，则，抛物线 经过点A（1,0），故. 是的充要条件. （2）若真，即为偶，且为偶数，则为偶数，故. 若真, 即为偶数，则、可能都是奇数，因此. 是的充分不必要条件. （3）若真，即，则，为或，故， . 是的既非充分又非必要条件. （4）显然，（当，时，），又若真，即 ，则，且，故真，. 是的必要不充分条件. （5）解方程 是增根，： . 若真，即“或”不一定有，. 若真, 即，则“或”必真，. 是的必要不充分条件. 评析：判断是的什么条件，应从和能否成立两个方面进行考虑. 例4 已知是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，是的充要条件，是的必要不充分条件.（1）是的什么条件？（2）是的什么条件？（3）是的什