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2.2.3 向量的数乘(2)【课前预习】一 回顾复习对于两个向量()、,(1)如果有一个实数,使得,那么与共线吗?(2)如果与共线,是否存在一个实数,使?二新知感受预习课本P70相关内容,填要点,并找出不理解的地方先在课本上作出记号.1.如果 (),则称向量可以用非零向量线性表示。2.一般地,对于两个向量()、,有如下的向量共线定理:(1)如果有一个实数,使(),则与是 ;(2)反之,已知与()是共线向量,那么有且只有一个实数,使 。 说明:(1)为什么要求呢?若=,则与总共线;而时,则不存在实数,使=成立;而=时,无论取什么值,=总成立,不唯一。(2)对于式子,当时,;当时,若与同向时,若与反向时,。(3)式子,时,可以改写成但由于两个向量不定义除法运算,所以一定不能写成【概念运用】1. 已知,都是非零向量,且。问:向量与共线吗?2. 已知是单位向量,向量的模为2,若,则实数= 。3.已知,且,不共线。问:向量与共线吗?4. 已知点C是线段AB上一点,且AC=2CB,试用分别表示,.【典型例题】BDACE例1 如图,分别为的边和中点,求证:与共线,并将用 线性表示。例2 设非零向量与不共线。 (1)如果=+,求证:A、B、D三点共线。(2)若与共线,求实数的值。例3 中,C是直线AB上一点,。求证:。向量的数乘(2)课堂作业1.点C在线段AB上,且,则。2.设、是两个不共线的向量,若与是共线向量,求k的值。3.设与不共线,求证:三点共线。4. 已知不共线,设,,均为实数,且满足,求证:A,B,P三点共线。【练习反馈】1.设,下列说法中,正确的是 。()不存在向量和,使得;()若,则;()若,则与共线;()若,且,则与是共线向量。2已知,是不共线的两个向量,其中共线的向量有 。3. 设两非零向量不共线,且,则实数k= 。4.已知,向量不共线,若,则x= ,y= 。5.如图(P71第6题),在中,D是AC上点,E是AB上点,且,记,则= (用、表示)。6.在中,已知D是AB边上一点,若,则= 。7.已知M、N是ABC的一边BC上的两个三等分点, 若=,=,则=_ _。8.如图(P71第7题),在中,是上的一点,且CB=2AC,设试用表示=_ _。AMDCBE9如图,已知平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点M
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