电动力学数学基础(复旦整理)

Let there be light ? ? ? 1.1 ? 1.2 ? 1.3 ? 1.4 ? 1.5 ? 1.6 Dirac delta ? 1.7 ? ?2 Let there be light ? ? 1.1 ? ? ? ? v? ? r ? ? m? q ? 1. ? ?commutative? ? A + ? B = ? B + ? A ?associative? ( ? A + ? B) + ? C = ? A + ( ? B + ? C) ?3 Let there be light ? ? 2. ? ?distributive? ( ? A + ? B) = ? A + ? B ? ? A ? B = ? A + ( ? B) 3. ? (dot product, scalar product) ? A ? B = | ? A| ? B|cos ? A ? B = ? B ? A ? A ( ? B + ? C) = ? A ? B + ? A ? C ? A ? A = | ? A|2= A2 ?4 Let there be light ? ? 4. ? (cross product, vector product) ? A ? B = | ? A| ? B|sin n ? A ? B = ? B ? A ? A ( ? B + ? C) = ? A ? B + ? A ? C ? A ? A = 0 ? ? A = Ax ex+ Ay ey+ Az ez ? A + ? B = (Ax+ Bx) ex+ (Ay+ By) ey+ (Az+ Bz) ez ? A ? B = AxBx+ AyBy+ AzBz A = ? ? A ? A = ? A2 x + A2 y + A2 z ?5 Let there be light ? ? ? A ? B = AxBx+ AyBy+ AzBz= ? i,j ijAiBj ij? Kronecker delta, ij= ei ej= ? 1if i = j 0if i ?= j ? A ? B = ? ? ? ? ? ? ex ey ez AxAyAz BxByBz ? ? ? ? ? ? = ? i,j,k ijkAiBj ek ijk? Levi-Civita symbol ? Levi-Civita tensor ijk= ei ( ej ek) = 1if ijk = 123, 231, 312 1if ijk = 132, 213, 321 0otherwise ?6 Let there be light ? ? Levi-Civita ? 1. ? ei ej= ? k ijk ek 2. ?ijk= ikj 3. ? ijkmnk ? ? k ? = imjn injm= ? ? ? ? imin jmjn ? ? ? ? 4. ? n = j? ijkmjk ? ? j,k ? = imjj ijmj= 3im im= 2im 5. ? m = i? ijkijk ? ? ? ? i,j,k ? = 2ii= 6 ?7 Let there be light ? ? ? 1. ? (scalar triple product?) ? A( ? B ? C) = ? B( ? C ? A) = ? C( ? A ? B) ? A ( ? B ? C) = ? ? ? ? ? ? ? AxAyAz BxByBz CxCyCz ? ? ? ? ? ? ? 2. ? (vector triple product) ? A ( ? B ? C) = ( ? A ? C) ? B ( ? A ? B) ? C ? A ( ? B ? C) ?= ( ? A ? B) ? Cnot associative ? A ( ? B ? C) + ? B ( ? C ? A) + ? C ( ? A ? B) = 0 ?8 Let there be light ? ? ? ? ? r = x ex+ y ey+ z ez r = |? r| = ? r ? r =?x2 + y2+ z2 er= ? r/r ? d?l d? r = dx ex+ dy ey+ dz ez ? ? R ? r ? r ? = (x x?) ex+ (y y?) ey+ (z z?) ez ? r ?fi eld point ? ? r ? ?source point? R = | ? R|= ?(x x?)2 + (y y?)2+ (z z?)2 ?9 Let there be light ? ? 1.2 ? ? ? T = T x ex+ T y ey+ T z ez ? dT= T x dx + T y dy + T z dz = (T) (d?l) = |T|d?l|cos ? ? T ? T ? ? T ? ?10 Let there be light ? ? ? ? T = T x ex+ T y ey+ T z ez= ? ex x + ey y + ez z ? T del ? ? = ex x + ey y + ez z ?11 Let there be light ? ? ? ? Aa=T? (gradient) ? A ? B= ? v? (divergence) ? A ? B= ? v? (curl) ? ? v= ? ex x + ey y + ez z ? (vx ex+ vy ey+ vz ez) = vx x + vy y + vz z ?12 Let there be light ? ? ? ? v= ? ex x + ey y + ez z ? (vx ex+ vy ey+ vz ez) = ? ? ? ? ? ? ? ex ey ez x y z vxvyvz ? ? ? ? ? ? ? = ex ?v z y vy z ? + ey ?v x z vz x ? + ez ?v y x vx y ? ? r= ?x2 + y2+ z2 x ex+ ?x2 + y2+ z2 y ey+ ?x2 + y2+ z2 z ez r= x r ex+ y r ey+ z r ez= = ? r r = er ?13 Let there be light ? ? r = ? r r = er,f(u) = df du u ? A(u) = (u) d ? A(u) du , ? A(u) = (u) d ? A(u) du r2= 2rr = 2? r 1 r = 1 r2 r = 1 r2 er= ? r r3 ? r = ? ex x + ey y + ez z ? (x ex+ y ey+ z ez) = 3 ? r = ? ? ? ? ? ? ? ex ey ez x y z xyz ? ? ? ? ? ? ? = 0 ?14 Let there be light ? ? ? ? ? (f + g) = f + g ( ? A + ? B) = ? A + ? B ( ? A + ? B) = ? A + ? B ? k ? (kf) = kf (k ? A) = k ? A (k ? A) = k ? A ?15 Let there be light ? ? ?fg, ? A ? B,f ? A, ? A ? B (fg)= f(fg) + g(fg) ? 1.?f?g?f 2.?g?f?g = gff + fgg ? ? C(fg) = g ? Cf = f ? Cg ? ? (fg)= gf + fg (f ? A)= f (f ? A) + A (f ? A) ? 1.?f? ? A?f 2.? ? A?f?A = ? A (ff) + f(A ? A)? ? C (f ? A) = ? A ( ? Cf) = f( ? C ? A) ? ? (f ? A)= ? A f + f ? A ?16 Let there be light ? ? (f ? A)= f (f ? A) + A (f ? A) ? 1.?f? ? A?f 2.? ? A?f?A = ? A (ff) + f(A ? A) ? ? C (f ? A) = ? A ( ? Cf) = f( ? C ? A) ? ? (f ? A)= ? A f + f ? A ?17 Let there be light ? ? ( ? A ? B)= A ( ? A ? B) + B ( ? A ? B) ? 1.? ? A? ? B?A 2.? ? B? ? A?B = ? B (A ? A) ? A (B ? B) ? ? C ( ? A ? B) = ? B ( ? C ? A) = ? A ( ? C ? B) ? ? ( ? A ? B)= ? B ( ? A) ? A ( ? B) ?18 Let there be light ? ? ( ? A ? B)= A ( ? A ? B) + B ( ? A ? B) ? 1.? ? A? ? B?A 2.? ? B? ? A?B = ( ? B A) ? A ? B(A ? A) + ? A(B ? B) ( ? A B) ? B ? ? C ( ? A ? B) = ( ? B ? C) ? A ? B( ? C ? A) = ? A( ? C ? B) ( ? A ? C) ? B ? ? ( ? A ? B)= ( ? B ) ? A ? B( ? A) ( ? A ) ? B + ? A( ? B) ?19 Let there be light ? ? ? ( ? B )= ? (Bx ex+ By ey+ Bz ez) ? ex x + ey y + ez z ? = Bx x + By y + Bz z =? ? ( ? B ) ? A= ? Bx x + By y + Bz z ? (Ax ex+ Ay ey+ Az ez) =Bx Ax x ex+ By Ax y ex+ Bz Ax z ex + Bx Ay x ey+ By Ay y ey+ Bz Ay z ey + Bx Az x ez+ By Az y ez+ Bz Az z ez ?20 Let there be light ? ? ( ? A ? B)= A( ? A ? B) + B( ? A ? B) ? 1.? ? A? ? B?A 2.? ? B? ? A?B = ? B (A ? A) + ( ? B A) ? A + ? A (B ? B) + ( ? A B) ? B ? ? B ( ? C ? A) = ? C( ? A ? B) ( ? B ? C) ? A ? C( ? A ? B) = ? B ( ? C ? A) + ( ? B ? C) ? A ? C( ? A ? B) = ? A ( ? C ? B) + ( ? A ? C) ? B ? ? ( ? A ? B)= ? B ( ? A) + ( ? B ) ? A + ? A ( ? B) + ( ? A ) ? B ?21 Let there be light ? ? ? ? ? (f) ? (f) ? ? ?( ? A) ? ( ? A) ? ( ? A) ? (f)= ? ex x + ey y + ez z ? ? exf x + ey f y + ez f z ? = 2f x2 + 2f y2 + 2f z2 2f? f ? Laplacian, ? ?22 Let there be light ? ? ? Laplacian?2 2= = x2 + y2 + z2 2f= 2f x2 + 2f y2 + 2f z2 ?Laplacian? 2 ? A= ? 2 x2 + 2 y2 + 2 z2 ? (Ax ex+ Ay ey+ Az ez) = ?2A x x2 + 2Ax y2 + 2Ax z2 ? ex+ ?2A y x2 + 2Ay y2 + 2Ay z2 ? ey + ?2A z x2 + 2Az y2 + 2Az z2 ? ez?Laplacian? 2 ? A= (2Ax) ex+ (2Ay) ey+ (2Az) ez ex, ey, ez? ?23 Let there be light ? ? ? (f) = ( )f = 0 ? ( ? Cg) ( ? Cf) = ( ? C ? C)gf = 0 (g) (f) = (gg) (ff) = (g f)gf ?= 0 ?( ? A) ?= 2 ? A ? ( ? A) = ( ) ? A = 0 ? ? B ( ? C ? A) = ? A ( ? B ? C) = ( ? B ? C) ? A ?24 Let there be light ? ? ? Laplacian? ( ? A) = ( ? A) ( ) ? A = ( ? A) 2 ? A ? ? B ( ? C ? A) = ? C( ? B ? A) ( ? B ? C) ? A ? Laplacian? 2 ? A = ( ? A) ( ? A) 2 ? A = (2Ax) ex+ (2Ay) ey+ (2Az) ez? ? ? R = ? r ? r ? ? r = x ex+ y ey+ z ez, ? r ? = x? ex+ y? ey+ z? ez, = ei xi ,?= ei x? i =?g( ? R) = g( ? R) ?25 Let there be light ? ? ? ? ? A ? a ? ( ? A )? r = (Ax x + Ay y + Az z )(x ex+ y ey+ z ez) = ? A ( ? A )r= (Ax x + Ay y + Az z )?x2+ y2+ z2 = (Axx + Ayy + Azz)/r = ( ? A ? r)/r (? a ? r) = (axx + ayy + azz) = ax ex+ ay ey+ az ez= ? a (? a ? r) = r (? a ? r) = ? a ( ? r) = 0 (? a ? r) = r (? a ? r) = ? a( ? r) (? a )? r = 2? a ? ? r = 3 ? (? a )? r = ? a ?26 Let there be light ? ? (? a ? r)? r= (? a ? r) ? r + (? a ? r) ? r = ? a ? r + 3? a ? r = 4? a ? r (? a ? r)? r= (? a ? r) ? r + (? a ? r) ? r = ? a ? r ? r ? A(r)= r ? r ? A(r) + A ? r ? A(r) = ( ? r) ? A(r) ? r ? A(r) = ? r ? A?(r) r = ? r ? A?(r) ? r/r = 0 ? ? A?(r) ? r ? r ?27 Let there be light ? ? (r)(? a ? r)= (r) (? a ? r) + (r) (? a ? r) = ?(r)r (? a ? r) = ?(r) r ? r (? a ? r) = 0 ? E0sin(?k ? r t)= ( ? E0) ? 0 sin(?k ? r t) ? E0 sin(?k ? r t) = ? E0 cos(?k ? r t)(?k ? r) = ? k ? E0cos(?k ? r t) ? (?k ? r) = ? k ?28 Let there be light ? ? ? ? a ? r r3 ? = (? a ) ? ? r r3 ? + ? a ? ? r r3 ? = (? a ) ? ? r r3 ? = 1 r3 (? a )? r + ? r ? (? a ) 1 r3 ? = ? a r3 + ? r ? 3 r4 ? (? a )r = ? a r3 ?3? r r4 ? (? a ? r) r = ? a r3 3(? a ? r)? r r5 ? ? a ? r r3 ? = ? a ? ? r r3 ? (? a ) ? ? r r3 ? = (? a ) ? ? r r3 ? = ? a r3 + 3(? a ? r)? r r5 ?29 Let there be light ? ? ( ? A )? r= ? ? A ? k ? ? ijk(Aij) ek? ? ? (xl el) = ijk(Aijxl)( ek el)? ? jxl= jl ek el= klm em = ijk(Aijl)(klm em)? jl? ? ?l? ?l = j? = ijkAikjm em? ijk= ikj = ijkmjkAi em ?Levi-Civita ? = 2imAi em?ijkmjk= 2im = 2Ai ei= 2 ? A ( ? A ) ? r= 2 ? A ? A ? ?30 Let there be light ? ? ( ? A )? r= ? ? A ? k ? ? ijk(Aij) ek? ? ? (xl el) = ijk(Aijxl)( ek el)? ? jxl= jl ek el= kl = ijk(Aijl)kl= illAi= 0 ( ? A ) ? r= 0 ? A ? ?( ? A ) ? r = ? A ( ? r) = 0 ( ? A ) ? r= ( ? A r) ? r?(? a ?b) ? c = ? b(? a ? c) ? a(?b ? c) = r( ? A ? r) ? A(r ? r) r( ? A ? r)? ? A? ?(? a ? r) = ? a? ? r = 3 = 2 ? A( ? A ) ? r = 2 ? A ?31 Let there be light ? ? 1.3 ? ? ? ? b aP ? A d?l = ? b aP d?l ? A ? ? a aP d?l ? A ? ? F ? W = ? b aP d?l ? F ? ? b aP f d?l = ? b aP d?lf, ? b aP ? A d?l = ? b aP d?l ? A ?32 Let there be light ? ? ? ? S ? A d? = ? S ? n ? Ad ? ? S ? n ? Ad ? Q = ? S ? n (? v)d ? ? S ? nf d, ? S ? n ? Ad ? ? V f d = ? V d f ? m = ? V d ? ? V d ? A = ex ? V Axd + ey ? V Ayd + ez ? V Azd ?33 Let there be light ? ? ? ? (fundamental theorem for gradients)? ? b aP (f) d?l = ? b aP df = f(b) f(a)? P ? ?(divergence theorem)?(Gausss theorem)? ? S ? n ? Ad= ? V ( ? A)d? ? ? S ? n ? Ad= ? V ( ? A)d? ? S ? nf d= ? V (f)d? ?34 Let there be light ? ? Stokes ?(Stokes theorem)? ? L d?l ? A= ? S ? n ( ? A)?d ? a (?b ? c) = (? a ?b) ? c ? ? L d?l ? A= ? S ?(? n ) ? A ? d ? ? L d?l ? A= ? S ?(? n ) ? A?d ? L d?lf= ? S ?(? n )f? d Green ? ? V (U2V V 2U)d = ? S ? n (UV V U)d ?35 Let there be light ? ? ? ? ? P d?l ? A = ? S ?(? n ) ? A?d = ? S ? n ( ? A)d? ? I1= ? P d?l ? A = ? S ?(? n) ? A?d = ? I2? a ? ? a ? I1= ? a ? P d?l ? A = ? P ? a (d?l ? A)? a? = ? P d?l ( ? A ? a)= ? S ? n ( ? A ? a)d = ? S ? n (? a ) ? A ? a( ? A)d ? ( ? A ? a) = (? a ) ? A ? a( ? A) + ? A( ? a) ( ? A )? a ?36 Let there be light ? ? ? a ? I1= ? S ? n (? a ) ? A ? a( ? A)d ? a ? I2= ? a ? S (? n ) ? Ad = ? S ? a (? n ) ? Ad = ? S ? a (? n ) ? Ad? ? a (?b ? c) = (? a ?b) ? c = ? S ? n ? ? ? ? (? a ) ? ? ? ? (? n ? a) ? ? ? Ad ? ? a (?b ? c) = ? b(? a ? c) (?b ? a)? c = ? S ? n (? a ) ? A (? n ? a)( ? A)?d = ? S ? n (? a ) ? A ? a( ? A)d = ? a ? I1 ?37 Let there be light ? ? ? ? P d?l ? A = ? S1 ?(? n ) ? A?d ? ? S1= 1 2 ? ? rd?l? P ? | ? S1| ? P ? ? ? P ? r d?l= ? P d?l ? r = ? S1 ?(? n ) ? r? d ?( ? A ) ? r = 2 ? A = 2 ? S1 ? nd = 2?S1 ? ? S d? = ? S ? nd= ? S ? n 1 d S = S1+ S2? I S ? nf d = Z V f d ? S1 d? + ? S2 d? = ? V 1 d = 0 ?38 Let there be light ? ? 1.4 ? ? ?dot product, ?(?) ? a ? b = aibj ei ej= aibjij= aibi? ? W = ? F ? l ?cross product, ?(?) ? a ? b = aibj ei ej= aibjijk ek? ? ? L = ? r ? F ?dyadic product?(?) ? a?b = aibj ei ej ? (dyad)? A ? ? ? v ? p? ? v ? s ?39 Let there be light ? ? ? (dyadic product) ? (dyad) ? 1. ? ? a?b ?= ? b? a 2. ?9 ? 6 ? A = ? a?b = a1b1a1b2a1b3 a2b1a2b2a2b3 a3b1a3b2a3b3 , A = Aij ei ej= aibj ei ej 3. ? (transpose)? ( A )T= (? a?b)T= ? b? a = a1b1a2b1a3b1 a1b2a2b2a3b2 a1b3a2b3a3b3 , ( A )T= ajbi ei ej 4. ? a?b + ? c ? d = (aibj+ cidj) ei ej? 5. ? (dyadic)?9 ? Aij ? (tensor)? A ? A = Aij ei ej ?40 Let there be light ? ? ? 1.? a A ?= A ? a ? ? a A= (ai ei) (Ajk ej ek) = aiAjk ei ej ek = aiAjkij ek= aiAik ek ? A ? a = (Ajk ej ek) (ai ei) = aiAjk ej ek ei = aiAjk ejik= aiAji ej 2.? A= ? b? c = bjck ej ek? ? a (?b? c) ?= (?b? c) ? a ? ? a A= ? a (?b? c) = (ai ei) (bjck ej ek) = aibjck ei ej ek = aibjijck ek= (? a ?b)? c ? a (?b? c) = (? a ? b)? c = (?b ? a)? c = ? b (? a? c) ? A ? a = (?b? c) ? a = (bjck ej ek) (ai ei) = aibjck ej ek ei = aickikbj ej= ? b(? c ? a) (?b? c) ? a = ? b(? c ? a) = (?b? a) ? c Let there be light ? ? 3.? a A ?= A ? a ? ? a A = (ai ei) (Ajk ej ek) = aiAjk ei ej ek = aiAjkijl el ek = ijlaiAjk el ek ? A ? a = (Ajk ej ek) (ai ei) = Ajkai ej ek ei = aiAjk ejkil el = kilAjkai ej el= ijlAkiaj ek el 4.? A= ? b? c = bjck ej ek?Ajk= bjck ? ? a A = ijlai Ajk ? ? ? (bjck) el ek = ijlaibj elck ek = (? a ?b)? c ? a (?b? c) = (? a ? b)? c ? A ? a= kil Ajk ? ? ? (bjck)ai ej el = bj ejkilckai el = ? b(? c ? a) (?b? c) ? a = ? b(? c ? a) ?42 Let there be light ? ? 5.? A B = (Aij ei ej) (Bkl ek el) = AijBkl ei ej ek el = AijBkljk ei el= AijBjl ei el? 6.? (trace) ? (trace)? At= Aii= A11+ A22+ A33 ? a (?b C )= (ai ei)(bj ej)(Ckl ek el) = aibjCkl( ej ek)( ei el) = aibjCkl( ei ej) : ( ek el) ? a (?b C )= (? a?b) : C = ? b C ? a A : B = (Aij ei ej) : (Bkl ek el) = AijBkl( ei ej) : ( ek el) = AijBkl( ej ek)( ei el) = AijBkljkil = AijBji? ( ei ej) : ( ek el) ( ej ek)( ei el) ?43 Let there be light ? ? 7.? ? Aij= ij? I = ij ei ej= ei ei ? a I = ai ei ej ej= aiij ej= aj ej= ? a? ? a I = ? a ? I ? a = ? a ? A I = I A = A ? I : A= ( ei ei) : (Ajk ej ek) = Ajk( ei ej)( ei ek) = Ajk(ij)(ik) = Aii= At= I : A = A : I ? A = ? a?b, ? Aii= aibi? I : (? a?b) = aibi= ? a ?b ?44 Let there be light ? ? 8.? ? ? u A = ( A)T ? u? ? u A ?= ( A )T ? u ? u A ?= ( A )T ? u ? A ? u?T= ? u ( A)T ? u A ?T = ( A)T ? u ?(? a B ) ? c = ? a ( B ? c) = ? a B ? c = ? c ( B )T ? a ? u ( A ? v) = (? u A) ? v(? u A) ? v = ? u ( A ? v) B ( A ? u) = ( B A) ? u(? u A) B = ? u ( A B ) ? ?(? w ? u) ? v = ? w (? u ? v) ? = ( A ? u) ? v = A (? u ? v) ( A ? u) B = A (? u B ) ? u (? v ? w) = (? u ? v) ? w ? =? u (? v A) = (? u ? v) A ?45 Let there be light ? ? ? ? u (? v ? w)=? v (? u ? w) (? u ? v) ? w=? v (? w ? u) (? u ? v) ? w ? ? ? u (? v A)=? v (? u A) (? u ? v) A?=? v ( A ? u) (