高三数学：函数苏教知识精讲

高三数学专题：函数苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：专题：函数二. 教学内容：1、高考要求（1）了解映射的概念，理解函数的概念. （2）了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程. （3）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图像和性质. （4）理解对数的概念，掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图像和性质. （5）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 2、热点分析 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新。以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。 考试热点：考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象。函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点。考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想。3、复习建议（1）认真落实本章的每个知识点，注意揭示概念的数学本质函数的表示方法除解析法外还有列表法、图象法，函数的实质是客观世界中量的变化的依存关系；中学数学中的“正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，三角函数”称为基本初等函数，其余的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成的. 要把基本初等函数的图象和性质联系起来，并且理解记忆；掌握函数单调性和奇偶性的一般判定方法，并能联系其相应的函数的图象特征，加强对函数单调性和奇偶性应用的训练；注意函数图象的变换：平移变换、伸缩变换、对称变换等；掌握复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；（2）以函数知识为依托，渗透基本数学思想和方法数形结合的思想，即要利用函数的图象解决问题；建模方法，要能在实际问题中引进变量，建立函数模型，进而提高解决应用题的能力，培养函数的应用意识。（3）深刻理解函数的概念，加强与各章知识的横向联系 要与时俱进地认识本章内容的“双基”，准确、深刻地理解函数的概念，才能正确、灵活地加以运用，养成自觉地运用函数观点思考和处理问题的习惯；高考范围没有的内容例如指数不等式（方程）、对数不等式（方程）等不再作深入研究；导数可用来证明函数的单调性，求函数的最大值和最小值，并启发学生建构更加完整的函数知识结构。所谓函数思想，实质上是将问题放到动态背景上去考虑，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线等问题。【典型例题】例1. 设是R上的偶函数，且在区间上递增，若成立，求a的取值范围。解：故为所求。例2. 关于x的不等式232x3x+a2a30，当0x1时恒成立，则实数a的取值范围为 .解：设t=3x，则t1,3，原不等式可化为a2a32t2+t,t1,3.等价于a2a3大于f（t）=2t2+t在1,3上的最大值.答案：（,1）（2,+）例3. 设是定义在上的奇函数，的图象与的图象关于直线对称，而当时，（c为常数）。（1）求的表达式；（2）对于任意，且，求证：；（3）对于任意，且，求证：1.解：（1）设g（x）上点与f（x）上点P（x，y）对应， ；在g（x）图象上g（x）定义域为x2,3，而f（x）的图象与g（x）的图象关于直线x=1对称，所以，上述解析式是f（x）在1，0上的解析式f（x）是定义在1,1上的奇函数，f（0）=0，c=4 所以，当x0，1时，x1，0，f（x）=f（x）= 所以 （2）当x0，1时，所以 （3），即 例4. 设函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足 存在正常数a，使f（a） = 1，求证：（1）f（x）为奇函数；（2）f（x）为周期函数，且一个周期为4a。证明：（1）令x =x1 - x2 则f（ - x） = f （ x2 - x1）= f （x1 x2 ）= f （x），f （x）为奇函数。（2）f（ x+a ） = fx （ a ） =f （x+2a ）=f （ x+4a）=f （x） f （x）是以4a为周期的周期函数。例5. 已知函数f（x）=logm（1）若f（x）的定义域为，（0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以说明；（2）当0m1时，使f（x）的值域为的定义域区间为 （0）是否存在？请说明理由.解：（1）x3或x3.f（x）定义域为,3设x1x2，有当0m1时，f（x）为减函数，当m1时，f（x）为增函数.（2）若f（x）在上的值域为0m1, f（x）为减函数.即即,为方程mx2+（2m1）x3（m1）=0的大于3的两个根 0m故当0m时，满足题意条件的m存在.例6. 已知函数f（x）=x2（m+1）x+m（mR）（1）若tanA,tanB是方程f（x）+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m5;（2）对任意实数,恒有f（2+cos）0，证明m3;（3）在（2）的条件下，若函数f（sin）的最大值是8，求m.解：（1）证明：f（x）+4=0即x2（m+1）x+m+4=0.依题意： 又A、B锐角为三角形ABC内两内角A+Btan（A+B）0，即m5（2）证明：f（x）=（x1）（xm）又1cos1，12+cos3，恒有f（2+cos）0即1x3时，恒有f（x）0即（x1）（xm）0mx但xmax=3，mxmax=3（3）解：f（sin）=sin2（m+1）sin+m=且2,当sin=1时，f（sin）有最大值8.即1+（m+1）+m=8，m=3例7. 已知函数的定义域为实数集。（1）求实数m的所有允许值组成的集合M；（2）求证：对所有，恒有 。证明（1）的定义域为实数集（2）令例8. 设=，（a0,a1），求证：（1）过函数y=f（x）图象上任意两点直线的斜率恒大于0；（2）f（3）3。解：（1）令t=，则x=，f（x）= （tR）f（x）= （xR）设，f（）f（）=（1）a1时，f（）f（），f（x）在（,+）上单调递增（2）0a1时，f（）f（），f（x）在（,+）上单调递增时，恒有f（）0（2）f（3）=a0，a1 上述不等式不能取等号，f（3）3例9. 已知函数f（x）=lg（的定义域为（0，+），问是否存在这样的a,b，使f（x）恰在（1，+）上取正值，且f（3）=lg4，若存在，求出a,b的值，若不存在，说明理由。解：由，得，a1b0，1，xlog又f（x）定义域为（0，+），log=0，k=1，f（x）=lg设01b0，a a，b b0 ab a b，01，lgf（1）=lg（ab）f（x）在（1，+）上取正值，lg（ab）=0 ab=1 （1）又f（3）=lg4 lg=lg4， =4 （2） 解（1）（2）得：，b=，即有在，b=时满足题设条件。例10. 设二次函数f（x）= ax2 +bx+c （a0且b0）。（1）已知|f（0）|=|f（1）|=|f（-1）|=1，试求f（x）的解析式和f（x）的最小值；（2）已知f（x）的对称轴方程是x=1，当f（x）的图象在x轴上截得的弦长不小于2时，试求a, b, c满足的条件；（3）已知|b|0 a=1 c=-1 此时b=+1 f（x）=x2 + x-1于是 f（x）=（x + ）2 f（x） （2）依题意即b=-2a，a0且b0 b0，c0，b0且b=2a为所求 （3）方法1： |2b|=|（a+b+c）-（a-b+c）|a+b+c|+|a-b+c|2 |b|1 又|b|a| 1 又|c|=|f（0）|1 又|f（而f（x）所示开口向上的抛物线且|x|1，则|f（x）|的最大值应在x=1或x=-1或x=-时取到，因|f（-1）|1, |f（1）|1, |f（-）| 故|f（x）|得证。 方法2：令f（x）=uf（1）+vf（-1）+（1-u-v）f（0） 则f（x）=（a+b+c）u+（a-b+c）v+（1-u-v）cax2 +bx+c=a（u+v）+b（u-v）+c f（x）=而|f（1）| 1, |f（-1）|1, |f（0）|1 x-1, 1 =|x|=综上，当|f（0）|1, |f （-1）|1, |f（-1）|1, |x|1时，|f（x）|方法3：我们可以把，和当成两个独立条件，先用和来表示. , , . 当时，所以，根据绝对值不等式的性质可得：， 综上，问题获证. 【模拟试题】一、选择&填空1. 函数y=|log2x|的图象是（ ） 2. 函数（ ）3. 设函数的定义域为，有下列三个命题：（1）若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；（2）若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；（3）若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值.这些命题中，真命题的个数是 （ ） A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 若函数，则该函数在上是（ ）A. 单调递减无最小值 B. 单调递减有最小值C. 单调递增无最大值 D. 单调递增有最大值5. 设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（ ）A. 且B. 且C. 且D. 且6. 函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 7. 是定义在R上的以3为周期的奇函数，且则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 58. 是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）A. 5B. 4C. 3D. 29.在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称. 现将的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数的表达式为（）A. B. C. D. 10.函数的图象大致是（ ）11.在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 312.函数f（x）的定义域是 （）A. ，0 B. 0， C. （，0） D. （，）13. 命题“若，则”的否命题为_。14. 函数的定义域为_。15. 若，则k =_。16. 已知a，b为常数，若，则_。17. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f （x）的图象关于直线对称，则f （1）+ f （2）+ f （3）+ f （4）+ f （5）=_. 18. 设函数，则函数的定义域为_。 19. 若正整数m满足二、解答题1. 设函数的定义域为集合M，函数的定义域为集合N. 求：（1）集合M，N；（2）集合，. 2. 函数的定义域为集合M，函数的定义域为集合N. 求：（1）集合M，N；（2）集合，. 3. 设函数，且在闭区间0，7上，只有（）试判断函数的奇偶性； （）试求方程在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论.4.已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）x22x. （）求函数g（x）的解析式； （）解不等式g（x）f（x）|x1|； （）（文20）若h（x）g（x）f（x）1在1，1上是增函数，求实数的取值范围. 5. 已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）. （1）若方程有两个相等的根，求的解析式； （2）若的最大值为正数，求a的取值范围.试题答案一、选择&填空 1. A2. B3. C4. A5. C6. D7. D8. B9. A10. D 11. B12. A 13. 若，则 14. 15. 1 16. 2 17. 0 18. 19. 155二、简答题 1. 本小题主要考查集合的基本知识，考查逻辑思维能力和运算能力. 解：（1）（2）. 2. 本小题主要考查集合的基本知识，考查逻辑思维能力和运算能力.解：（1）（2）. 3. 解: （I） 由于在闭区间0，7上，只有，故. 若是奇函数，则，矛盾. 所以，不是奇函数. 由, 从而知函数是以为周期的函数. 若是偶函数，则. 又，从而. 由于对任意的（3，7上，又函数的图象的关于对称，所以对区间7，11）上的任意均有. 所以，这与前面的结论矛盾. 所以，函数是非奇非偶函数. （II） 由第（I）小题的解答，我们知道在区间（0，10）有且只有两个解，并且. 由于函数是以为周期的函数，故. 所以在区间2000,2000上，方程共有个解. 在区间2000,2010上，方程有且只有两个解. 因为，所以，在区间2000,2005上，方程有且只有