高二数学双曲线的几何性质文人教

1 高二数学高二数学 双曲线的几何性质双曲线的几何性质（文）（文） 人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 双曲线的几何性质 二. 本周教学重、难点： 1. 重点：双曲线的几何性质 2. 难点：直线与双曲线的交点，弦长问题，用第二定义求双曲线方程 三. 知识归纳： A1 A2 B1 B2 O x y 【典型例题典型例题】 例 1 等轴双曲线的两个顶点分别为、，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于 1 A 2 A M、N 两点，求证： （1） （2）， 180 21 NMANMANAMA 21 NAMA 12 证明：证明：（1）不妨设等轴双曲线的方程为1 2 2 2 2 a y a x 设直线 MN 的方程为 如下图，易求得 )(abbx),( 22 abbN y x A1A2 O M N ab ab ba ab xNA 22 1 tan ab ab ab ab xNA 22 2 tan ) 2 tan(cot tan 1 tan 22 2 1 xNAxNA xNA xNA 2 又均为锐角 xNAxNA 21 ,xNAxNA 21 90 即 90 21 xNAxNA 根据对称性， 180 21 MNAMNA （2）仿（1）可求得),( 22 abbM 1 2222 21 ab ab ab ab kk NAMA ，同理可证NAMA 21 NAMA 12 例 2 已知双曲线的焦点坐标是和，1 2 2 2 2 b y a x )0, 0(ba) 0 , ( 1 cF ) 0 , ( 2 cF 是双曲线上的任一点，求证：，其中是),( 00 yxP| 01 exaPF| 02 exaPFe 双曲线的离心率。 证明：证明：双曲线的两焦点为、，相应的准线方程分别是1 2 2 2 2 b y a x ) 0 , ( 1 cF ) 0 , ( 2 cF 和。 c a x 2 c a x 2 双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率 ，e c a x PF | | 2 0 1 e c a x PF | | 2 0 2 化简得，| 01 exaPF| 02 exaPF 例 3 在双曲线上求一点 P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。1 916 22 yx 解：解：设 P 点的坐标为，、分别为双曲线的左、右焦点。),(yx 1 F 2 F 双曲线的准线方程为 5 16 x | 5 16 | | | 5 16 | | 21 x PF x PF P 在双曲线的右支上 |2| 21 PFPF 5 16 | 5 16 |2 22 x PF x PF 5 48 x 把代入方程得 5 48 x1 916 22 yx 119 5 3 y 所以 P 点的坐标为)119 5 3 , 5 48 ( 例 4 已知双曲线方程为，双曲线左支上一点到直线的距离是1 22 yx),(baPxy ，求。2ba 解：解： 点到的距离为，故 ),(baPxy 22 2 | ba 2ba 又点 P 在双曲线左支上，故 0ba2ba 3 又，即 1 22 ba1)(baba 2 1 ba 例 5 时，讨论方程表示何种曲线。Rk 1)2( 4 2 2 kyk k x 解：解：（1）当时，方程为，表示过原点的两条相交直线。1kxy 15 15 （2）当时，方程为1k01k02 k04 k ，表示焦点在轴上的双曲线。1 ) 1)(4( 2 1 22 kk x k k y y （3）当时，方程为21k01k02 k04 k k k y kk x 2 1) 1)(4( 22 ，表示焦点在轴上的双曲线。1x （4）当时，方程为，表示两条平行直线。2k6x （5）时，若，方程变为表示圆，当时，方程为42 k3k4 22 yx3k 表示焦点在轴上的椭圆。1 2 1 ) 1)(4( 22 k k y kk x y （6）时，无轨迹。4k （7）时，方程为，表示焦点在轴上的双曲线。4k1 ) 1)(4( 2 1 22 kk x k k y y 例 6 经过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线 交 C 于 A、B 两点。1 2 : 2 2 y xC 2 F 60l （1）求；（2）求的周长。| ABABF1 解：解：（1）由，得焦点、，离心率1 2 : 2 2 y xC)0 , 3( 1 F)0 , 3( 2 F3e 直线 的倾斜角为 直线 的方程为l 60l)3(3xy 由方程组，消去，得关于的一元二次方程 1 2 )3(3 2 2 y x xy yx （*）01136 2 xx 设、，且，则、是方程（*）的两个相异实数根，由),( 11 yxA),( 22 yxB 21 xx 1 x 2 x 根与系数的关系，得，36 21 xx11 21 xx 16114)36(2| 2 AB （2）由焦半径公式 得)()(| 2111 exaexaBFAF)(2 21 xxea 220363 4 的周长ABF136| 11 BFAFAB 例 7 在双曲线上支上有不同的三点、与焦点1 1312 22 xy ),( 11 yxA) 6 , ( 0 xB),( 22 yxC 的距离成等差数列。 （1）求的值；（2）求证：线段 AC 的中垂线经过某一)5 , 0(F 21 yy 定点，并求出这个定点坐标。 （1）解法一：解法一： ，33)56()026(| 22 BF 2 1 2 1 )5(|yxAF 又 在双曲线上 ),( 11 yxA 12 15613 2 12 1 y x 2 1 2 1 2 12 1 2 1 2 )125( 12 1 )5( 12 15613 )5(| yy y yxAF 由 A、B、C 在双曲线的同一支上，即上半支上 ,32 1 y0125 1 y 同理可求得)125( 32 1 | 1 yAF)125( 32 1 | 2 yCF 由于 |2|BFCFAF36)125( 32 1 )125( 32 1 21 yy 12 21 yy 解法二：解法二： 双曲线的实半轴长为，虚半轴，半焦距，与焦点32a13b5c 对应的准线方程为，由双曲线第二定义知)5 , 0(F 5 12 y 32 5 | 5 12 | | 1 y AF 32 1 y0 5 12 1 y) 5 12 ( 32 5 | 1 yAF 同理 ) 5 12 ( 32 5 | 2 yCF33) 5 12 6( 32 5 |BF |2|BFCFAF12 21 yy 解法三：解法三：双曲线的离心率， 32 5 a c eaeyaeyAF 11 | | 2 aeyCF ，aey 2 33326 32 5 |BF 又 36|2|BFCFAF362)( 21 ayye 12 21 yy （2）证明：证明：线段 AC 中点) 6 , 2 ( 21 xx M 21 21 xx yy kAC 线段 AC 的垂直平分线方程为 ) 2 (6 21 12 21 xx x yy xx y )(2 12 2 2 2 1 12 21 yy xx x yy xx ，两式相减得1 1312 2 1 2 1 xy 1 1312 2 2 2 2 xy )( 12 13 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 又 代入12 21 yy)(13 21 2 2 2 1 yyxx 5 得 恒过点 2 13 6 12 21 x yy xx yx yy xx y 12 21 2 25 ) 2 25 , 0( 例 8 （1）不论为何实数，直线与双曲线总有公共点，求的bbkxy12 22 yxk 取值范围？ （2）过原点作直线 ，若它与双曲线相交，求直线 的斜率的取值范围。l1 34 22 yx l （3）过双曲线的右焦点 F 作渐近线的垂线，交双1 2 2 2 2 b y a x )0, 0(bax a b y 曲线的左、右两支分别为 A、B 两点，求双曲线的离心率的取值范围。 解：解：（1） 渐 kk | 2 2 2 2 k （2） 或1 43 22 xy 渐 kk | 2 3 k 2 3 k （3） 渐 kk | a b b a | 22 ab 222 aac 22 2ac 2 2 2 a c 2 2 e2e 【模拟试题模拟试题】（答题时间：60 分钟） 一. 选择 1. 中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为（ 3 5 y ） A. B. C. D. xy 4 5 xy 5 4 xy 3 4 xy 4 3 2. 双曲线的左焦点为 F，点 P 是左支上位于轴下方的任一点，则直线 PF1 22 yxx 的斜率的取值范围是（ ） A. B. ), 1 () 0 , (), 1 ) 0 , ( C. D. ), 1 () 1,(), 1 ) 1,( 3. 双曲线的焦点到准线的距离是（ ）1 79 22 yx A. B. C. 或 D. 或 4 7 4 25 4 7 4 25 4 23 4 9 4. 与双曲线有共同的渐近线，且准线方程为的双曲线的标准方程1 169 22 yx 5 32 y 为（ ） A. B. 1 3664 22 xy 1 3664 22 yx 6 C. D. 1 6436 22 xy 1 ) 9 96 () 9 128 ( 2 2 2 2 xy 5. 已知点 P 在双曲线上，则（ ）1 169 22 yx A. P 到双曲线中心的距离的最小值为 9 B. P 到双曲线的准线的最小距离为 3 C. P 到双曲线的焦点的最小距离为 2 D. P 到双曲线的焦点既没有最大值也没有最小值 6. 双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为（ ） A. B. C. D. 23 2 6 32 7. 方程所表示的双曲线的渐近线方程是（ ）) 2 ( 1cossin 22 yx A. B. xytanxytan C. D. xycotxycot 8. 双曲线的一条准线是，则实数为（ ）42 22 mymx1ym A. B. C. D. 2 3 2 3 3 2 3 2 二. 填空 1. 双曲线实轴长与虚轴长的和为 2，则焦距的最小值为 。 2. 若一直线 平行于双曲线 C 的一条渐近线，则 与的公共点个数为 。llc 3. 已知 PQ 为过双曲线的一个焦点 F 且垂直于实轴的弦，是另一个焦点，若 F 则双曲线的离心率是 。 2 QFP 4. 若点 P 在双曲线上，则 P 到双曲线的渐近线的距离的取值范围是 1 9 2 2 y x 。 三. 解答题 1. 双曲线与圆有公共点，圆在 A 点的切线与双曲线的渐近线平行，17 22 yx) 1, 4( A 求双曲线的标准方程。 2. 已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为、，左准线1 2 2 2 2 b y a x 21e 1 F 2 F 为 ，能否在双曲线的左支上找到一点 P，使得是 P 到 的距离与等比中项？l| 1 PFld| 2 PF 3. 已知直线与双曲线交于 A、B 两点。1 axy13 22 yx （1）若以 AB 为直径的圆过坐标原点，求实数的值。a （2）是否存在这样的实数，使 A、B 两点关于直线对称？若存在，请求出axy 2 1 的值；若不存在，说明理由。a 【试题答案试题答案】 7 一. 1. D 2. A 3. C 4. A 5. C 6. B 7. B 8. D 二. 1. 2. 1 3. 4. 22110 10 3 , 0( 三. 1. 解： 点 A 与圆心 O 的连线的斜率为 过 A 的切线的斜率为 4 4 1 双曲线的渐近线方程为 设双曲线方程为xy4 16 2 2 y x 点在双曲线上 ，) 1, 4( A 16 1 16 16 255 双曲线的标准方程为1 255 16 255 22 yx 2. 解：设在左支上存在 P 点，使dPFPF| 2 2 1 由双曲线的定义知 即e d PF | 1 | 12 PFePF 又 解得 aPFPF2| 12 1 2 | 1 e a PF 1 2 | 2 e ae PF 因在中有 21F PFcPFPF2| 21 c e ae e a 2 1 2 1 2 解得012 2 ee2121e ，与已知矛盾1e211 e21e 符合条件的点 P 不存在 3. 解：（1）由消去，得（1） 13 1 22 yx axy y022)3( 22 axxa 依题意即且（2） 0 03 2 a 66a3a 设，则),( 11 yxA),( 22 yxB )4( 3 2 )3( 3 2 2 21 2 21 a xx a a xx 以 AB 为直径的圆过原点 OBOA 0 2121 yyxx 但 1)