圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析

圆锥曲线焦点三角形问题常见类型解析圆锥曲线中的三角形问题（特别是与焦半径相关的三角形问题）是解析几何中的一个综合性较强的重点内容。下举例谈谈圆锥曲线焦点三角形问题常见类型。一、定值问题例1. 椭圆上一点P，两个焦点， 的内切圆记为，求证：点P到的切线长为定值。证明：设M与PF1F2的切点为A、B、C，如图1，因M是PF1F2的内切圆，所以|F1A|=|F1C|、|F2C|=|F2B|，|PA|=|PB|； |F1C|F2C|=2c， |F1A|F2B|=2c，由椭圆第一定义知 |PF1|PF2|=2a ， |PA|F1A|PB|F2B|=2a， 2|PA|=2a2c 即 |PA|=ac为定值证毕 点评：圆锥曲线定义不仅是推导圆锥曲线方程及性质的基础, 而且也是解题的重要工具.对于有些解析几何问题,若从圆锥曲线的定义上去思考，往往会收到避繁就简,捷足先登的解题效果。二、动点轨迹问题 例2、已知椭圆上一动点P，两个焦点， 的内切圆记为，试求圆心M的轨迹方程。解析： 如图1，设PF1F2=、PF2F1=，M(x，y)则在PF1F2中由正弦定理及椭圆的定义有，由等比定理有即，又由合分比定理知。由斜率公式知：由前述不难看出，不论P位于椭圆上（异于长轴两端点）何处，总有整理得(ac)x2(ac)y2=(ac)c2(y0)证毕点评：由上获得的方程不难看出，PF1F2的内切圆圆心M始终在包含于原椭圆内的一小椭圆上移动如果中出现两个角，可以考虑应用正弦定理。同时从解题过程，不难得到一个重要的结论： 已知椭圆上一点P及两焦点，若，则椭圆的离心率为。三、方程问题例3. 如图2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P，且的面积为，双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程。解析：设双曲线的方程为，。在PF1F2中，由余弦定理，得，即 ，又因为，所以，所以，所以即，又因为，所以。故所求双曲线方程为。点评：如果在中仅知一个角，我们经常要联想到余弦定理解决问题。四、最值.范围问题例4、 已知曲线C的方程为，A（1，0），B（1，0），过点B的直线l与曲线C交于M，N两点，若MAN为钝角，求直线l的倾斜角为的取值范围。解：（1）若lx轴，则l的方程为，（不合题意）。（2）若l与x轴重合，则MAN（不合题意）。（3）若l与x轴、y轴不垂直，设，代入曲线C的方程得：所以因为MAN为钝角，所以所以，所以。所以倾斜角的范围是：点评：有关三角形角的大小问题可用向量形式转化求解。如在中，F1PF2为锐角；F1PF2为直角；F1PF2为钝角。五、开放性问题例5、已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点下面四个命题：的内切圆的圆心必在直线上；的内切圆的圆心必在直线上；的内切圆的圆心必在直线上； 的内切圆必通过点其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）解析：设的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|PB|，|F1A|F1M|，|F2B|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|PF2|2a，故|F1M|F2M|2a，而|F1M|F2M|2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|F2M|2a可得（xc）（cx）2a解得xa，显然