坐标系与参数方程全国高考新课程卷试题分析与启示

备注：此论文于2015年4月已发表在教学考试（理论版2双月刊）杂志上。 坐标系与参数方程试题分析与启示 甘肃省渭源县第一中学 何伟军 “坐标系与参数方程”是新课标新增内容,是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化.从2007年到至今已经走过整整八年的考试历程，研究它的命题规律，有助于把握命题动向，整体感知，有利于实施具体的备考计划，这成为高考备考独一无二的选择.纵观历年考题，我们可以从以下几个方面分析：1、 坐标系与参数方程试题的综合分析1、坐标系与参数方程考点分析 题型不变、第23题位置固定不变，文理同题不变，分值10分不变，命题本源是选修4-4：坐标系与参数方程,是以直线、圆参数方程和极坐标方程、仅以及椭圆的参数方程为背景，求曲线的交点坐标、点的轨迹的参数方程、弦长、取值范围等；考题涵盖考纲所涉及的知识点，现分析如下：直线方程圆方程椭圆方程参数 考点分析极坐标参数极坐标参数2007以圆心在极轴和过极点垂直于极轴直线上的圆的极坐标方程为载体，化极坐标方程为直角坐标方程，并求两圆公共弦所在直线的方程.2008以直线和圆的参数方程为载体，判断曲线，说明公共点的个数，并将两曲线“压扁”后交点与原来是否相同.2009以圆和椭圆的参数方程为载体，化其为普通方程，并求圆上的定点与椭圆上动点的中点到已知直线距离的最小值.2010以直线和圆的参数方程为载体，求两曲线交点坐标和P点的轨迹的参数方程2011以圆的参数方程为载体，求满足条件另一动点的轨迹.求射线被圆所截的弦长.2012以椭圆参数方程和圆的极坐标方程为载体，求内接正方形顶点的直角坐标和距离平方和取值范围.2013以圆和射线的参数方程为载体，求动点的轨迹的参数方程；判断轨迹是否过原点.2014以圆心在极轴的圆的极坐标方程为依托，化极坐标方程为参数方程，并已知该圆上一点的切线方程，求切点.2、试题源于课本 课本是什么？课本是数学知识结构的外在呈现，是高中教学的依据；课本是试题的基本来源；是高考命题的主要依据；是中低档题的直接来源；是解题能力的生长点.集中考察八年坐标系与参数方程考题，分析对比，不难发现大多数试题的产生都是课本中的例习题、探究和思考为源题，在此基础上组合、加工和发展的结果，如表2所示.年份2007200820092010人教A版选修P.15习题1.3第1（3）、4（3）题（以下简称P.15T1(3)、4（3）P.24例2、P.26习题2.1T（4）、P.7例2、选修21P.48T6P.24例2、P.26习题2.1T4（4）、P.38例1P.39习题2.3T1、P.24例2人教A版必修P.1294.2.2例2、P.132习题4.2A组T9、P.144复习参考题A组T4.必修P.127例1必修P.133B组T5（1）必修4.2P.127例1、P.128练习T4、P.132练习T1、4.2A组T5年份2011201220132014人教A版选修P.24例2、P.15习题1.3T2（1）（4）、P.12习题1.2T3P.25例4（1）、P.13例1、P.10例2、P.12习题1.2T1P.25例4（1）、P.35习题2.2T5P.12探究、P.15T4（3）、P.24思考人教A版必修P.89例6；必修P.113习题2.5A组T1必修P.133T2必修P.96中点坐标公式;必修P.132A组T1二、命题方法再现 由表1所考查的知识点和表2所涉猎的课本题不难看出，大多数考题由课本题变化而来.课本习题为素材的变式题，通过变形、延伸与拓展来命制高考数学题.这些题目（1）选编源题，采用串并方式的仿制题；（2）精编源题，与三角函数巧结合，“题”高一筹；（3）改装源题条件，深层加工，力图创新；（4）课本源题做“引子”，传承精髓，题在书外，理在书中.下面我们将遴选高考真题，分别给予剖析. 1.选编源题，采用串并方式的仿制题； 1.1并联方式，重现源题 案例1（2007年全国新课标卷）和的极坐标方程分别为 （）把和的极坐标方程化为直角坐标方程； （）求经过，交点的直线的直角坐标方程 解析：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位 （），由得所以即为的直角坐标方程同理为的直角坐标方程 （）由解得即，交于点和过交点的直线的直角坐标方程为 源题：（1）把极坐标方程，化为直角坐标方程； （2）已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系. 思考：考题第（）问是课本习题重现，剥去极坐标“外装”后，第()问也是必修2所学内容，是课本源题的重现，背景熟悉，朴实无华，基本上是并联方式构成命题. 2.2、串联方式，多层“拼接”、叠加 案例2（2008年全国新课标卷）已知曲线C1：，曲线C2： （）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数； （）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，.写出，的参数方程.与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由. 解析：（）是圆，是直线的普通方程为，圆心，半径的普通方程为因为圆心到直线的距离为，所以与只有一个公共点 （）压缩后的参数方程分别为：（为参数）：（为参数）化为普通方程为：，：，联立消元得，其判别式，所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同 源题：（1）把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：；（为参数） （2）已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求出它们交点坐标.（3)在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.；.（4）求直线和椭圆的交点坐标.思考：考题两问，考题其实由课本4道题稍加“包装”“拼接”叠加而成.若把源题（2）的直线方程和圆方程化为参数方程后就与考题相差无几.换言之，考题以参数方程“包装”，化为普通方程后，发现两题形异质同，而这正是高考命题的基本依据和发源地.高考复习中单打一显然不能应对多层次组合的考题，串通教材为提高能力之为，只有平时扎实的基础才能从容不迫应对综合考题.2. 精编源题，与三角函数精巧结合，“题”高一筹2.1与三角交汇，主体结构和源题基本一致 案例3：（2009年全国新课程卷）已知曲线C：（t为参数），C：（为参数）.（）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值.w.w.w.k. 解析：（）为圆心是（，半径是1的圆.是以坐标原点为中心，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. （）当时，为直线，到的距离，从而当时， 源题：（1）把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：(为参数）； （为参数）； （2）在椭圆上求一点，使点到直线的距离最小，并求出最小距离. 思考：考题设置两问，第（）课本习题类型，第（）中中点的坐标和课本和椭圆上的点完全类似，主体结构和课本题基本一致，直接取材于课本，选编源题，与三角函数精巧结合，串通例习题的思想方法，“题”高一筹.2.2将源题抽象化、模型化，求解参数化 案例4(2012年全国新课标卷)已知曲线的参数方程是(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为 （）求点的直角坐标； （）设为上任意一点，求的取值范围. 解析:（）点的极坐标为点的直角坐标为 （）设；则 (为参数） 源题：（1）在图1-9中，用点分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标. （2）已知点的极坐标分别为，求它们的直角坐标. (3)已知点，点在圆上运动，求的最大值和最小值. 思考：以椭圆的参数方程和圆的极坐标方程为载体，已知圆内接正方形的一个顶点的极坐标，求其它各顶点的坐标，此问与源题相似，将源题抽象化、模型化就是考题，将考题生活化、具体化就是源题，这是常见命题方法，该题目就是课本源题的深层次变形.第（2）问是将源题（3）中的圆改编为椭圆参数的方程后，从题干到设问就“酷似”考题.因此扎根教材，夯实基础策略永远不变. 3.改装源题条件，深层加工，力图创新 3.1 变更源题载体，构成形异质同题 案例5 （2010年全国新课程卷）已知直线C1（t为参数），C2（为参数）. （）当=时，求C1与C2的交点坐标； （）过坐标原点作的垂线，垂足为，为中点，当变化时，求点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线. 解析：（）当时，的普通方程为，的普通方程为.联立方程组，解得与的交点为. （）的普通方程为.A点坐标为，故当变化时，点轨迹的参数方程为： （为参数），点轨迹的普通方程为.故点轨迹是圆心为，半径为的圆. 源题：（1）设直线经过点、倾斜角为.求直线的参数方程；求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积.（2）求直线被圆截得的弦的长. （3）已知是直角坐标原点，是抛物线上异于顶点的两动点，且并与相交于点，求点的轨迹方程. 思考：两题有极大的相似性，第（）与课本题十分接近，如果把必修中4.2直线、圆的位置关系一节的题目的普通方程用参数方程改装，就已经相差无几了.第（）问与源题（3）外形稍有不同，一个是以定圆与动直线为载体，求以过原点与动直线的垂线段的中点轨迹；一个是以定抛物线与动直线为载体，求过原点与动直线垂直时垂足的轨迹.两者都有垂直的情结，都是以动直线中参数为变量来表示点的轨迹方程的，求解问题思想方法一脉相承，试题所承载的知识、思想方法没变. 3.2 多重组合，深层加工，交汇创新 案例6（2011年全国新课标）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线 （）求的方程； （）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求. 解析（）设，则由条件知.由于点在上，所以，从而的参数方程为（为参数）（）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为所以.源题：（1）圆的半径为2，是圆上的动点，是轴上的定点，是的中点.当点绕作匀速圆周运动时，求点的轨迹的参数方程. （2）在极坐标系中，求适合下列条件的直线或圆的极坐标方程：过极点，倾斜角是的直线；圆心在，半径为的圆. （3）在极坐标系中，已知两点，求两点间的距离. 思考： 多重组合的痕迹从源题上可以看得出来，从源题的问题再设计和改动，并赋予向量进行条件的改装，第（I）问条件中点满足，与源题中是的中点高度吻合.求曲线的参数方程和求轨迹方程是类似的，即“建系、设点、列式、化简”.第（）问可在源题中找到“影子”，也可找到解决问题的方法，这就是求极坐标系下的两点间的距离除了转化成直角坐标方程，在同一极角下两点间的距离，可以用极经的差来计算.关键要掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系.3.3紧扣教材立意、创新，推陈出新 案例7 （2013年全国新课标卷）已知动点都在曲线 （为参数上,对应参数分别为与,为的中点. ()求的轨迹的参数方程； ()将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点. 解析：()依题意有， 因此.的轨迹的参数方程为（为参数，） ()点到坐标原点的距离.当时，故的轨迹过坐标原点. 源题：（1）经过抛物线的顶点任作两条互相垂直的线段和，以直线的斜率为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程.（2）圆的半径为2，是圆上的动点，是轴上的定点，是的中点.当点绕作匀速圆周运动时，求点的轨迹的参数方程. 同案例6源题（1）相同.思考：两题外形基本一致，结构相同，紧扣教材立意，属于课本试题的多层改装.第()问，是将源题中抛物线改为圆，并以圆的参数方程呈现，改为，并且以直线的斜率为参数，其实与直线的倾斜角有关，这样两题从本质也是相同的.第()用两点之间的距离公式转化为关于参变量的三角函数，精巧构思、与三角结合，天衣无缝，具有深度和“一箭双雕”功效，有力考查学生灵活运用知识解决问题能力.实现同一源题，不同的“组装”，衍生不同题，辐射不同的考点的目的.4.课本源题做“引子”，传承精髓，题在书外，理在书中 例8（2014年全国新课标卷）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为， （）求C的参数方程； （）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（）中你得到的参数方程，确定D的坐标. 解析：（）的普通方程为可得的参数方程（为参数，） （）设.由（）知是以为圆心，1为半径的上半圆.因为在点处的切线与垂直，所以直线与的斜率相同. . 故的直角坐标为，即 源题：（1）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，求半径为，圆心坐标为的圆的极坐标方程. （2）把极坐标方程化为直角坐标方程. （3）把圆化为参数方程. （4)判断直线与圆的位置关系.如果有公共点，求出公共点的坐标. 思考：考题源于教材“探究”“思考”的问题中，串通教材改编，第（）问结合必修2的内容，用切线、垂直、合情推理，精巧构思，拾级而上，给人以耳目一新的感觉. 明确参数是该圆的离心角，离心角的正切值就是等于，即，抓住这一关键.研究教材，抓住知识要点，挖掘知识形成过程中蕴含的思想方法是高考复习的重要目标.二、备考启示1、研读考纲和考试说明,重视回归课本我们应认真研读考纲和考试说明，明确“考什么”、“考多难”、“怎么考”这三个问题.对比考纲研究直线、圆、椭圆的极坐标方程和参数方程与应用；研究高考试题，不难发现试题有如下特征：极坐标与直角坐标、参数与普通方程的互化，是属于课本最基本的内容，只变其形不变其质，万变不离其宗.题目以“极参”包装，考查点的轨迹、直线与圆、椭圆位置关系的量.与必修2中直线与圆珠联璧合，通常可化为普通方程解决.选修课本与必修相比少了练习题、B组题，总复习参考题，由此选修课本中的习题很珍贵，非常具有代表性，在习题教学中，要突破照本宣科和就题论题的教学模式，越是到复习的后期，我们教师就越要有“花招”，以“大显身手”，充分以课本例习题为题根，引导学生分析、整合、拓展、创新进行新的构建，进行“一题多变”训练，同时链接高考，剖析同根同源查证.我们必须带着“考纲”回归课本，特别是考纲上与往年不同的地方，近几年没有考到的点，一定要重点复习，做到不遗漏，扎实的基础是智取的法宝. 2、注重交汇综合，提升解决问题的能力学科内跨章节知识交汇问题常常是命题的高频考点，直线、圆、椭圆的极坐标方程只是在两种坐标系下“数”的“外现”，而参数方程与普通方程是同一动点轨迹“数”的直接和间接关系的两种表达