江苏徐州高三数学期中质量抽测

江苏省徐州市2019届高三数学上学期期中质量抽测试题（含解析）一填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置1.已知集合，则_【答案】2，4【解析】【分析】由集合A与集合B，根据交集的关系，即可求出两集合的交集【详解】，故填.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为_【答案】2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为，则，则的实部为.点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.3.某水产养殖场利用100个网箱养殖水产品，收获时测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有_个网箱产量不低于50 kg【答案】82【解析】【分析】根据频率分布直方图，可求出不低于50kg的频率，然后再根据频率即可求出结果.【详解】由频率分布直方图，可知不低于50kg的频率为：（0.040+0.070+0.042+0.012）50.82，所以网箱个数：0.08210082.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的，以及频率的基本概念，考生熟练掌握相关概念是解决本题的关键.4.如图是一个算法的流程图，则输出的的值是_.【答案】【解析】由程序框图，得运行过程如下：；，结束循环，即输出的的值是7.5.已知双曲线的离心率为，则实数m的值为 【答案】4【解析】试题分析：由题意，解得考点：双曲线的离心率6.已知袋中装有大小相同、质地均匀的2个红球和3个白球，从中一次摸出2个，恰有1个是红球的概率为_【答案】【解析】【分析】利用列举法能求出“从中一次摸出2个，恰有1个是红球的”的所有情况，然后再根据古典概型求出概率【详解】设2个红球编号为，3个白球编号为，任取个，所有可能为：基本事件共有10个，恰有1个是红球的有6个，所以，所求概率为：.【点睛】本题主要考查古典概率等基础知识，是基础题，解题时要认真审题，列出所有的基本事件，求出满足要求的基本事件是解决本题的关键.7.已知等差数列的前项和为，则的值为_【答案】24【解析】【分析】首先根据等差数列的前项和公式和等差中项，即可求出的值，再根据等差数列的通项公式和，即可求出，进而求出的值.【详解】因为，所以，132，即11132，所以，12又，所以，18，因为，所以，可求得：24【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的前项的公式，熟练掌握通项公式和等差数列的前项的公式是解决本题的关键.8.已知函数，若，且，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】首先根据题意，可得，可令1，所以，进而，m，n，k都是整数，再根据，进而求出结果.【详解】令1，则，m，n，k都是整数，因为，所以，所以，的最大值为.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，根据得到1，是对本题的重要突破，熟练掌握三角函数的公式是解决本题的关键.9.已知奇函数是R上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】由于函数只有一个零点，所以方程=0只有一个x的值，进而可得，由于函数是R上的单调的奇函数，所以方程=0有且只有一个解，再根据判别式即可求出结果.【详解】函数只有一个零点，只有一个x的值，使=0，即成立函数是奇函数，只有一个x的值，使成立，又函数是R上的单调函数，只有一个x的值，使，即方程=0有且只有一个解，解得.【点睛】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性和函数的零点；函数零点的基本问题之一是零点的个数，包括：直接求零点的个数；求在某区间内的零点个数；已知零点个数,求参数的值(或取值范围)解决该类问题常用到：函数的零点转化为的解，或者函数的图像与函数的图像交点的横坐标10.如图，已知正方体的棱长为1，点为棱上任意一点，则四棱锥的体积为_【答案】【解析】【分析】连结AC交BD于O点，由线面垂直的判定定理可证平面，进而可得AO就是点P到平面的距离，求出AO，由锥体体积公式进而求出结果.【详解】连结AC交BD于O点，则有平面，所以，AO就是点P到平面的距离，即高；又矩形的面积为；所以，四棱锥的体积为V.【点睛】本题关键是先根据图证明出平面，进而求出AO就是点P到平面的距离，这是本题解答的关键点；此类问题基本解题方法就是先求出高，然后再根据体积公式求出体积.11.在平行四边形中，若 ,则的值为_【答案】【解析】【分析】用表示出，再代入平面向量的数量积计算公式，即可求出结果【详解】如下图，因为，所以，DEDCAB，所以， 12【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算的几何意义，选择适当基底、向量加（减）法运算的基本法则和熟练掌握数量积公式是解决此类问题的关键12.已知正实数 满足，则 的最小值为_【答案】18【解析】【分析】首先根据 ，然后再根据基本不等式可得，即可求出结果.【详解】因为2+又1，所以，即，当且仅当，即时，取等号.【点睛】基本不等式应用条件： 注意运用基本不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； 熟悉一个重要的不等式链：基本不等式求最值的常见的方法和技巧：利用基本不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造；利用基本不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造；用基本不等式求最值等号不成立。求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法.13.过点的直线与圆交于两点，若是的中点，则实数的取值范围是_【答案】或【解析】【分析】由切割线定理可知，又为中点，所以，即，进而求出，即可求出结果.【详解】如图，依题意知，圆与轴相切于点，设圆心为,由切割线定理，得：，又为中点，所以，即，得，所以， 或。【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，本题的关键是根据切割线定理得到是解决本题的关键.14.已知函数，若有三个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】对进行分类讨论，分（1）0， 0和0三类情况，集合导数的性质和数形结合即可求出结果.【详解】（1）0时，只有一个零点，不合题意；（2）0时，0，在R上单调递增，所以，不可能有3个解，也不合题意。（3）0时，得画出函数：的图象，如图：当时有三个零点，其中有唯一的零点，有两个零点，即在有两个零点.，0，得x=x在（0，）递减，在（，）递增，0，解得：【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，考查了转化、数形结合的数学思想. 函数零点的基本问题之一是零点的个数，包括：直接求零点的个数；求在某区间内的零点个数；已知零点个数,求参数的值(或取值范围)解决该类问题常用到：函数的零点、函数的图像与函数的图像交点的横坐标二解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15.在中，角的对边分别为，已知.（1）求角的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）根据三角形内角和的可得，解方程可得，进而求出的值；（2）根据同角的基本关系可得，再根据三角形内角和的关系可得，再根据正弦定理可得，最后根据面积公式即可求出结果.【详解】解：（1） 或（舍）在中，；（2）在中， ， 由正弦定理：又，则 .【点睛】本题主要考查了三角形内角和的正余弦关系，同时考查了正弦定理、余弦定理的应用，熟练掌握公式是解决问题的关键.16.如图，在三棱锥中， 分别为，的中点，点在上，且底面.（1）求证：平面； （2）若，求证：平面平面.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由中位线知：DE/AC，可证：DE/平面SAC；（2）由SD平面ABC，知SDAC，又SFAC，SD与SF交于点S，所以，AC平面SFD，然后再根据面面垂直的判定定理，即可证明出结果.【详解】在三角形ABC，由中位线定理知：DE/AC，又DE面SAC，AC面SAC所以DE/平面SAC;（2）由SD平面ABC，知SDAC，又SFAC，SD与SF交于点S，所以，AC平面SFD，所以，平面SAC平面SFD【点睛】本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定定理，熟练掌握判定定理的条件是解决本题的关键.17.已知椭圆，过右焦点的直线与椭圆交于两点，且当点是椭圆的上顶点时，线段的中点为（1）求椭圆的方程；（2）延长线段与椭圆交于点，若，求此时的方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可以知，可求出点的坐标，又点在椭圆上，将点的坐标代入椭圆方程，即可求出，进而求出椭圆方程；（2）当直线与垂直或与轴重合时，不满足题意，故可设直线方程为：，由可知四边形为平行四边形，可得点为线段的中点，再根据点差法即可求出结果.【详解】（1）由题意可以知，、，设则点在椭圆上 解得椭圆的方程为：（2）当直线与垂直或与轴重合时，不满足题意可直线方程为：设、由可知四边形为平行四边形点为线段的中点由为线段的中点，点、在椭圆上则可得又可解得点在椭圆上整理得解得或舍去可知的方程为即.【点睛】本题主要考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的方程及有关性质和点差法是解决本题的关键.18.某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域I）设计成半径为1km的扇形，中心角（）.为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域II）和休闲区（区域III），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形，其中点，分别在边和上已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元.（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值；（2）试问：当为多少时，年总收入最大？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，所以与全等.可得，根据面积公式，可求得观赏区的面积为，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求，解不等式即可求出结果.（2）由题意可得种植区的面积为，正方形面积为，设年总收入为万元，则，利用导数在函数单调性中的应用，即可求出结果.【详解】（1），所以与全等.所以，观赏区的面积为，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求，即，结合可知，则的最大值为.（2）种植区的面积为，正方形面积为，设年总收入为万元，则，其中，求导可得.当时，递增；当时，递增.所以当时，取得最大值，此时年总收入最大.【点睛】题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，以及导数在求最值的应用.19.设函数， （1）当时，求函数的在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性，并写出单调区间；（3）当时，若函数有唯一零点，求实数的值【答案】（1）（2）见解析（3）1【解析】【分析】先对进行求导，可得，（1）当时，利用导数的几何意义和点斜式方程，即可求出结果；（2）对a进行分类讨论，利用导数函数单调性中的应用，即可求出结果；（3）令极大值横坐标值为：，可得，根据题意分析可得有唯一零点，再根据导数在函数单调性中的应用，即可证明出结果.【详解】解：时，所以切线为：分类讨论，在定义域上单调递增 ，；， ，；， 令极大值横坐标值为：，那么，故函数两端都无穷小有唯一零点这里要证明唯一解：令，得证综上所述：【点睛】本题主要考查了导数在函数单调性中的应用，利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论讨论点大体可以分成以下几类：1、根据判别式讨论；2、根据二次函数的根的大小；3、定义域由限制时，根据定义域的隐含条件；4、求导形式复杂时取部分特别常常只需要转化为一个二次函数来讨论；5、多次求导求解等20.已知数列各项均为正数，,，且对任意恒成立（1）若，求的值；（2）若，（i）求证：数列是等差数列；（ii）在数列中，对任意，总存在，（其中），使构成等比数列，求出符合条件的一组 【答案】（1）7（2）见解析【解析】【分析】（1）令数列为，可得，进而求出结果；（2），假设一奇数使得：，可得，进而可构造一组解为，.【详解】（1）令数列为，所以（2），假设一奇数使得：，综合得：可构造一组解为，.【点睛】本题考查了递推关系、数列的通项公式、等比数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题数学II（附加题）21.如图，O的半径OB垂直于直径AC，D为AO上一点，BD的延长线交O于点E，过E点的圆的切线交CA的延长线于点P.求证：PD2PAPC【答案】见解析【解析】【分析】利用切线的性质、圆的性质、切割线定理即可得出【详解】连结OE，因为PE切O于点E，所以OEP=900，所以OEB+BEP=900，因为OB=OE，所以OBE=OEB，因为OBAC于点O，所以OBE+BDO=900故BEP=BDO=PDE，所以PD=PE，又因为PE切O于点E，所以PE2=PAPC，故PD2=PAPC【点睛】熟练掌握切线的性质、圆的性质、切割线定理是解题的关键22.已知矩阵M，且属于特征值2的一个特征向量为，在平面直角坐标系xoy中，眯A（0,0），B（1,0），C（2,3）在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为，求的面积.【答案】6【解析】【分析】因，所以，所以，即 根据，即可求出结果.【详解】因，所以，所以，即 故【点睛】主要是考查矩阵的变换以及对应的三角形的面积计算，考查了基本的运算能力，属于基础题。23.在极坐标系中，直线l的极坐标方程为+10.以极点O为坐标原点，极轴正方向为x轴正方向建立平面直角坐标系xoy，曲线C的参数方程为（为参数，r0），若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB，求r的值.【答案】1【解析】【分析】运用同角的平方关系和，参数方程和极坐标方程为普通方程，再由直线和圆相交的弦长公式，计算即可得到r【详解】由，得，即直线l的方程为 由，得曲线的普通方程为，故曲线C是圆心坐标为，半径为的圆 ， 所以，圆心到直线的距离，由，则【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，主要考查直线和圆相交的弦长公式的运用，熟练掌握公式是解题关键24.对于实数x，y，若满足x11，y21，求x2y+1的最大值【答案】5【解析】【分析】先将配凑成的和（差）的形式，再利用绝对值不等式，求出的最大值，即可求出结果.【详解】由 ， 当且仅当时，取“”.可知，的最大值为5.【点睛】形如使恒成立型不等式.具体解法：利用和差关系式：，结合极端性原理即可解得，即： ；.25.在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次.（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后