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求数列通项公式的类型及方法递推公式是给出数列的基本方式之一,在近几年高考题中占着不小的比重。2008年高考数学19份理科试卷,共19道数列部分的解答题,其中有17道涉及递推数列,(福建卷理科有两道题涉及数列问题,江苏卷、江西卷中数列题不涉及递推),说每卷都有数列问题,数列必出递推也不为过。例题:已知数列中各满足以下条件,请分别求出该数列的通项公式(1). 或(2). 或方法一:公式法:有递推公式确定该数列的类型,根据条件求首项、公差或公比,直接利用公式求通项公式(3).解:由得则当n1时,= 当n=1时满足上式 所以该数列的通项公式为方法二:叠加法:递推式为an+1=an+f(n),只要f(1)+f(2)+f(n-1)是可求的,可用叠加法求出。(4).解:由得则当n1时, 当n=1时满足上式 所以该数列的通项公式为方法三:累乘法:递推式为an+1= f(n)an,可用累乘法来求解。(5).解:是以为首项,2为公比的等比数列。即方法四:构造法:形如此类问题可化为,即数列是一个以p为公比的等比数列.这种递推关系式还可演变为三种难度稍大的递推关系式: 及它的解法是恰当地构造辅助数列,转化为该类型的解法.下面各举一例说明:(6). 解:作,则,代入已知递推式中得:.令 这时且显然,所以.小结:递推关系形如:(, 为常数且,)的数列令与比较解出系数x,y构造等比数列 (7). 解:将已知递推式两边同除以得:,设,故有:,从而.小结:形如:的数列(为常数且)常化为 ,构造等比数列解出(8). (2008年高考陕西理22)已知数列的首项,()求的通项公式;解:(),又, 是以为首项,为公比的等比数列,小结:递推关系形如:的数列,可采用取倒数方法转化成为形式利用前面的方法解决。(9). 解: 可得当n1时, 由-可得 即所以该数列是以1为首项,公比为的等比数列,则可得方法五: Sn法:求与前n项和Sn有关的数列通项时,通常用公式作为桥梁,将Sn转化为的关系式求或将转化为S
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