高二数学空间向量及其运算知识精讲人教实验

高二数学空间向量及其运算知识精讲一. 本周教学内容：第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 二. 教学目的1、掌握空间向量的相关概念及基本性质2、掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及它们的运算律3、掌握空间向量的直角坐标运算及相关公式三. 教学重点、难点理解空间向量与平面向量在概念与性质及运算规则上的区别与联系，掌握空间向量的各种概念、性质、运算规则。四. 知识分析1、空间向量的概念及其加减与数乘运算（1）在空间，具有大小和方向的量叫做向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。我们规定起点与终点重合的向量叫零向量，记为；模为1的向量称为单位向量；与模相等但方向相反的向量称为的相反向量（2）空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量对应运算的推广（3）空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律： 2、空间向量的基本定理（1）如果表示向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量；（2）平行于同一平面的向量叫做共面向量空间任意两个向量总是共面的（3）共线向量定理：对空间任意两个向量, 的充要条件是存在实数x，使；推论：如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点 O ，点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t，使其中向量 叫做直线 l 的方向向量。（4）共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量 与向量 , 共面的充要条件是存在唯一的一对实数x，y，使。推论：空间一点P位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对 x , y ，使；或对空间任一定点 O ，有；或（其中x + y + z = 1）。（5）空间向量分解定理：如果三个向量，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使。 说明：表达式叫做向量，的线性表示式或线性组合；空间向量分解定理告诉我们，如果三个向量，不共面，则，的线性组合能生成所有的空间向量，这时，叫做空间的一个基底，记做，其中，都叫做基向量。3、另外需要注意：（1）顺次连结空间中 n 个向量的终点、始点，若能构成一个封闭图形，则它们的和向量为零向量。（2）证向量共面的关键是找到实数或实数对 x、y 。 （3）以下图形的向量结构，在几何题的证明中常被采用，我们必须熟悉和掌握：平行四边形ABCD中，和 的向量表示，；平行六面体的对解线向量，对于向量、和的分解式=+；三角形ABC中BC边上的中线向量 对向量、的分解式；在四面体OABC中，G 为三角形 ABC 的重心，则向量对于向量、和的分解式。4、两个向量的夹角如图，已知两个非零向量 、，在空间中任取一点O，作，则叫做向量， 的夹角，记作，。我们规定：0，且，如果，900，那么向量与互相垂直，记作 。5、两个向量的数量积空间两个向量，的数量积（或内积）定义为性质：（1） （2） （3） （4）运算律：（1）（2） （交换律）（3） （分配律）说明：（1）利用向量的数量积可以解决几何中垂直问题，夹角及距离问题等，其主要根据就是向量运算的几何意义，在具体应用中要注意以下几点： 垂直问题两向量数量积为零，注意零向量 求角问题两向量的夹角，注意角范围的统一 距离问题向量的模，注意向量的垂直 （2）使用向量解决立体几何问题，其前提是用向量表示的相应线段，而选择一个合适的基底是进行这种向量表示的基础，所以进行向量运算之前就是向量的分解分解时应注意观察图形，结合已知条件，正用或逆用好向量加法与减法的几何意义。6、如果，是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 ，存在一个有序实数组x , y , z ，使得我们称为向量，上的分向量。若，为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量（我们称它们为单位正交基底），以，的公共起点O为原点，分别以，的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz ，那么，对于空间任一向量，一定可以把它平移，使向量的起点与原点O重合，得到向量，由空间向量分解定理可知，存在有序实数组 x , y , z 使得，我们把x，y，z称作向量在单位正交基底，下的坐标，记作。7、向量的直角坐标运算设，则设，则这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 8、夹角和距离公式设，则在空间直角坐标系（图）中，已知 ，则其中 dAB 表示 A 与B 两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式【典型例题】例1. 如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E是上底面A1B1C1D1的中心，求下列各式中x、y、z的值。（1）； （2）。解析：（1）又，所以 x1，y1，z1（2）又，所以点评：由，求x、y、z时，先用、表示，其系数就分别为x、y、z。例2. 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点。（1）用向量法证明：E、F、G、H四点共面；（2）用向量法证明：BD/平面EFGH；（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有解析：证明：（1）连结EG则 由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面。（其中）（2）因为所以EH/BD。又面EFGH，面EFGH所以BD/平面EFGH。（3）连OM，OA，OB，OC，OD，OE，KG由（2）知同理所以所以EG、FH交于一点M且被M平分所以点评：此题主要考查共线、共面向量定理及中点坐标公式的应用第（2）步的证明还利用了线面平行的判定定理例3. 如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且（1）求证：；（2）当的值为多少时，能使平面？请给出证明。解析：（1）证明：设，依题意，设中两两所夹角为，于是，。（2）解：若使平面，只须证。由当时，同理可证当|a|=|c|时，时，平面。点评：掌握用向量描述几何情形的方法。例4. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB = AC = 1，ACD = 90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B、D之间的距离。所以，即B、D之间的距离为。点评：求两点间的距离或某线段长度的方法：把此线段用向量表示，然后用，通过向量运算去求得。例5. 已知空间三点A(0，2，3)、B(2，1，6)、C(1，1，5)（1）求以为边的平行四边形的面积；（2）若，且，求向量的坐标。解析：（1）即（2）设，则由已知可得：解得或点评：此题考查两向量的数量积，夹角及两向量垂直的坐标表示，还考查了两点间距离公式和平行四边形面积的求法。例6. 如图，直棱柱ABCA1B1C1，BCA900，棱AA1 = 2，M，N分别是A1B1，A1A的中点。（1）求的长；（2）求的值；（3）求证：解析：（1）依题意得B（0，1，0），N（1，0，1）（2）（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），（0，1，2）（1，1，2），=（0，1，2），=3，。证明：（3）（0，0，2），M（，2）（1，1，2），=（，0）。点评：本题已知条件和结论具有一定的解题方向性，它明确告诉我们用向量的方法，因此，用向量法解立体几何问题是今后高考的一个方向，应引起足够的重视。模拟试题 1. 空间任意四个点A、B、C、D，则等于（ ）A. B. C. D. 2. 已知正方体ABCD中，E、F分别为底面和侧面的中心，若则x与y的值分别为（ ）A. 1，1B. ，1C. ，D. 3. O、A、B、C为空间四边形的四个顶点，点M、N分别是边的中点，且，用a，b，c表示向量为（ ）A. B. C. D. 4. 在空间平移ABC到，连接对应顶点，设，M是的中点，N是的中点，用基底a，b，c表示向量等于（ ）A. B. C. D. 5. 已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且AB=2，CD=1，则a与b所成角是（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90 6. 空间四边形OABC中，OA=OB，CA=CB，E、F、G、H分别为OA、OB、BC、CA的中点，则四边形EFGH是（ ）A. 菱形B. 平行四边形C. 正方形D. 矩形 7. 已知空间两个动点A（m，1+m，2+m），B（1m，32m，3m），则的最小值为（ ）A. B. C. D. 8. 如图所示空间直角坐标系中，正方体ABCD棱长为1，则等于（ ）A. （0，1）B. （，0，1）C. （0，1）D. （，0，1） 9. 从空间一点P发出三条射线PA、PB、PC，在PA、PB、PC上分别取，点G在PQ上，且PG=2GQ，H为RS的中点，则_。 10. 已知D、E、F分别为ABC中BC、CA、AB上的点，且，设，则_。 11. 如果，且，则|a|=_，|b|=_。 12. 已知（0，5，10），c=（1，2，2），ac=4，|b|=12，则=_。13. 如图，在平行六面体中，设，分别是中点，（1）用向量表示； （2）化简：；14. 已知平行六面体ABCD-ABCD中，AB=3，AD=4，AA=5, BAA=DAA=BAD=60，求AC的长。15. 已知空间四边形OABC中，M、N、P、Q分别为BC、AC、OA、OB中点，若AB=OC，求证：PMQN。 16. 如图，棱长为1的正方体ABCD，E、F、G是的中点。（1）求证：EFCF；（2）求与所成角的余弦；（3）求CE长。参考答案18：D C B D C D C C9. 10. 11. 2， 12. 12013. 解：（1）14.